2018-2019學年上海市西南位育中學高二上學期期中數(shù)學試題(解析版)

第第#頁共22頁2018.2019學年上海市西南位育中學高二上學期期中數(shù)學試一、單選題. 是“直線小Qx+2yT=0與心x+（o+l）y+6=0平行”的（ ）條件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要【答案】A【解析】兩直線平行等價于。（。+1）—2=0,且6。+1W0,即。=1或。=-2,根據(jù)充分非必要條件的定義可得答案.【詳解】當。=1時,乙：x+2y—1=0,與:x+2y+6=0平行，當《：辦+2〉-1=0與:x+（a+l）y+6=0平行時，4（〃+1）—2=0且6〃+1。0,解得a=1或。=一2.所以“。=1”是"直線小ar+2yT=0與/=：工+（〃+1）＞+6=0平行”的充分非必要條件.故選:A.【點睛】TOC\o"1-5"\h\z本題考查了兩條直線平行的條件以及充分非必要條件,屬于基礎(chǔ)題. 2.已知點。分的比為-不，設(shè)謳=%理，則4的值為（ ）2 3 11A. Be- C?- De—5 5 3 2【答案】D 2—— 2——?【解析】由點夕分［［的比為一§得4尸=一§尸鳥,再將質(zhì)=丸理化為由此可得答案.【詳解】 2 2 >因為點。分而的比為一1,所以語=一§成,硒,由廖=西得々戶+pR=九0月,得qA+pR=一彳月戶，得用二-硒,所以--匚=-2,解得;t=:.2+1 3 2故選:D.【點睛】本題考查了向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.3.曲線y=—JI二7與曲線）葉兇=0的公共點的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BfV=-Jl-X2【解析】聯(lián)立<J 可求得兩個交點的坐標.1>,=-W【詳解】聯(lián)立卜=一步一廠，消去y得—口7= 化簡得[y=-kl 2所以犬=巫,或工=—巫，2 2所以），=_手,所以曲線）,二一JI二7與曲線），+兇=0的公共點為（—孝「￥）和（乎，-日），故選:B.【點睛】本題考查了求曲線的交點,屬于基礎(chǔ)題.X14.關(guān)于X的方程/+一飛-==0有兩個不等實根。和人，那么過點AW"J）,tan<9sm<9 78（4〃）的直線與圓/+），？=1的位置關(guān)系是（ ）A.相交 B.相切 C.相離 D.隨d值的變化而變化【答案】B

【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系得到。+〃和C力，根據(jù)兩點的坐標求出直線方程，再根據(jù)圓心到直線的據(jù)求出距離等于圓的半徑，可得答案.【詳解】TOC\o"1-5"\h\zV 1因為關(guān)于V的方程V+— =0有兩個不等實根。和6,tan0sin0所以a大/7,。+/7= ,ab= -,tail0sin6\o"CurrentDocument"2 12因為過點A(。,標)，b2)的直線方程為y-a2=" (x-a),a-b化簡得(4+與犬_〉_48=0,由圓心到直線的距離公式得]]|0_0_4“_ |ab\_|sin0\ _ |sin8yj(a+b)2+1J(4+/7y+1 I~i~/cos2<9+sin2<9Vtan20V所以過點N。,")，8(4用的直線與圓￡+V=l的位置關(guān)系是相切.故選B【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，由兩點坐標求直線方程，點到直線的距離,直線與圓相切，屬于中檔題.二、填空題5.已知直線/的一個方向向量2=(3.4),且過點(-1,2),則直線/的點方向式方程為……x+1y-2【答案】—=--—3 4【解析】直接寫出直線/的點方向式方程即可.【詳解】因為直線/的一個方向向量2=(3.4),且過點(-1,2),r+1v—2所以直線/的點方向式方程為:—=--.3 4故答案為:x+1y-2故答案為:x+1y-2"1 4~【點睛】本題考查了直線/的點方向式方程，屬于基礎(chǔ)題.6.已知矩陣6.已知矩陣4=「3 1、、2-1；(11}(11}【答案】\/【解析】根據(jù)矩陣的乘法運算法則計算可得.【詳解】所以AB=(3因為矩陣人=>，所以AB=(3因為矩陣人=>，B='3x4+lx5、k2x4-lx5;」7、8(17}故答案為： .【點睛】本題考查了矩陣的乘法運算，屬于基礎(chǔ)題.45x則X的值是.在行列式1X3中，第二行第一列元素1則X的值是789【答案】7【解析】根據(jù)代數(shù)余子式的定義列式計算可得.【詳解】依題意得(―1尸+】(5x9-8%)=11,解得x=7.故答案為7【點睛】本題考查了三階行列式的代數(shù)余子式的計算,屬于基礎(chǔ)題..已知5=(3,4),5=(1,-1),則向量〃在向量B方向上的投影為【答案】—巫2【解析】根據(jù)向量數(shù)量稅的幾何意義計算可得.【詳解】

_ _ ab3xl-4xl近向量”在向量〃方向上的投影為一二=廠 =--十叫我+（-1）- 2故答案為：—巫.2【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題..已知直線/過點A（l,—1）,且與直線〃3x—5），+6=0平行，則直線/的一般式方程為 【答案】3x-5y-8=0【解析】設(shè)直線I的一般式方程為:3x—5）+m=0（/7?豐6），再代入4（1-1）計算出m=-8，可得設(shè)直線/的一般式方程.【詳解】依題意設(shè)直線/的一般式方程為:3x—5y+〃?=0（加手6）,因為直線/過點所以3x1—5x（—1）+m=0,解得帆二-8,所以直線/的一般式方程為：3x-5y-8=0.故答案為：3x-5y-8=0.【點睛】本題考查了根據(jù)兩直線平行求直線方程的一般式，屬于基礎(chǔ)題..直線乙：6x+8y—7=0與心3x+4y+c=0間的距離為2,則實數(shù)c的值為13【答案】13【答案】萬或27

y7【解析】由6x+8），-7=0得3x+4）一/=0,再根據(jù)兩條平行直線之間的距離公式列式解方程可得答案.【詳解】由6x+8y—7=0得3x+4y——=0,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"I cl 13 27所以?2解得c='或c=—J.r^~r=2 2 2G+4-\o"CurrentDocument"13 27故答案為：上或一二.\o"CurrentDocument"2 2【點睛】本題考查了兩條平行直線之間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題..直線無一3》+5=0關(guān)于直線y=x對稱的直線方程為【答案】-3x+y+5=o【解析】在所求直線上設(shè)動點/",），）,則M關(guān)于直線）'=工對稱的點N（y,x）在已知直線上，將N的坐標代入已知直線方程可得答案.【詳解】設(shè)所求直線上任意一個點"。,以，則M關(guān)于直線）'=x對稱的點N（y,x）在已知直線工-3>+5=0上，所以y-3x+5=0,即-3x+y+5=0.故答案為：-3x+y+5=0.【點睛】本題考查了求直線與直線關(guān)于直線對■稱的直線方程,屬于基礎(chǔ)題.x+y>2.已知。是坐標原點，點A（-L1）,若點M。,），）為平面區(qū)域上的一個動）"2點，則方?兩的取值范圍是 .【答案】[0,2]【解析】【詳解】x+y>2,令z=西?兩=—x+y，則y=x+z,畫出｛x<i,對應(yīng)的可行域，可得在點（1,y<21）處取得最小值o,在點（02）處取得最大值2PCCQ=9【答案】-:【解析】根據(jù)題意分析可得＜正,質(zhì)＞=120,再根據(jù)向量的數(shù)量積的定義計算可得答案.【詳解】因為圓C的半徑為3,|迎卜3,所以△CP。為邊長為3的正三角形，所以〈正，質(zhì)〉=120,所以P(?C0=|正|?|西|cosl2(T=3x3x(二)=—2.9故答案為：一：.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積,屬于基礎(chǔ)題.＜4、.已知直線/…人一)，+3=0和直線y=a(x+3)的夾角。在區(qū)間0,—內(nèi)變動,則實數(shù)，的取值范圍為【答案】怦,1)4,科/【解析】設(shè)直線/,的傾斜角為。，由己知可得2＜a＜工或根據(jù)斜率的定義- 6 4 4 3可得答案.【詳解】因為直線k，：X—y+3=0的斜率為I，所以傾斜角為-,4設(shè)直線12的傾斜角為。,則|二一a|g(0,—),12所以工或工<。<生,6 4 4 3所以正<tana<1或1<tana<>/3,3所以坦<a<1或<布.3故答案為：,1u(i,6)./【點睛】本題考查了直線的傾斜角和斜率,屬于基礎(chǔ)題..如圖，已知在以。為圓心，A6為直徑的半圓中，|AB|=4,C是46上靠近點A的三等分點，尸是AB上一點，若衣〃歷;，則而灰=【答案】-6【解析】以。為原點,06所在直線為不軸,建立平面直角坐標系，根據(jù)已知條件求出ZCAO=AFOB=60。，求出A,F、B,C的坐標，求出獷，血的坐標，再根據(jù)向量的數(shù)量枳進行運算即可得到答案.【詳解】以。為原點,06所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系：連接。C,依題意得NCQ4=60，所以ZCAO=ZFOB=60，且OC=O尸=2,所以A(—2,0),F(1,JJ),6(2,0),C(—l，6所以標=前=(—所以A尸?5己=-9+3=—6.故答案為：-6.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積的坐標運算，建立直角坐標系是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題..在平面直角坐標系中，A、3分別是x軸和)'軸上的動點，若以A8為直徑的圓C與直線2x+)」8=0相切，則圓。面積的最小值為【答案】【解析】設(shè)以AB為直徑的圓C與直線2x+y-8=0相切于點。，連CDOC,根據(jù)圖象可知，O,C,。三點共線時,圓的半徑最小，從而圓的面積最小，由原點到直線的距離可求得半徑的兩倍的最小值.從而可求得面枳的最小值.【詳解】圓的半徑為廠，設(shè)以AB為直徑的圓C與直線2x+y-8=0相切于點。，連CD,OC,如圖所示：過O作直線2x+y-8=0的垂線，垂足為石，所以田亨昌二越，V4+1 5所以O(shè)C+8之。石=生叵,當且僅當。,C,。三點共線時等號成立，5所以2r之名叵，所以心生叵，即圓的半徑的最小值為正,5 5 5所以圓C的面積的最小值為^r=—.3-“16笈故答殺為:§?【點睛】本題考查了直線與圓相切，點到直線的距離,屬于基礎(chǔ)題..兩條直線小。/+4），+1=0和3。3+4》+1=0相交于點P（5,—6）,則過點A（q%）,6（%也）的直線方程為【答案】5x-6y+l=0【解析】將點尸（5,一6）的坐標代入的方程，可知4（4,4）,3（4也）都在直線5x-6y+l=0上，由此可得過點4（《也），6（生也）的直線方程.【詳解】因為兩條直線，1：+幻，+1=0和4：%x+N)，+l=0相交于點P(5,-6),所以5q-6[+1=0,5/一64+1=0,所以點4(%，4),6(生也)都在直線5x-6y+l=0上，所以過點A(q，4),6?也)的直線方程為：5x-6y+l=0.故答案為：5x-6y+l=0【點睛】本題考查了求直線方程,屬于基礎(chǔ)題..設(shè)M(T,2),N(2,—2),若動點P(x,y),滿足留必+|附|=5,則二的A取值范圍為【答案】(3,—4]U[0,y)【解析】根據(jù)1PM+|PN|=5=1MNI，可得點P的軌跡為線段MN,求出其方程,根據(jù)其方程可得色的取值范I機X【詳解】因為|MN|=J(—l—2)2+(2+2『=5,且|PM|+|PN|=5,所以點P(x,y)在線段MN上，TOC\o"1-5"\h\z-2-2 4 4 4 2因為&n=F—J=—；，所以直線的的方程為)-2=-；*+1),即)，=—；工+；,2+1 3 3 33\o"CurrentDocument"4 2所以點P的軌跡為線段:y=一一x+-(-l<x<2).’ 3 3。 42c 8匚「I、i)'+2AHF2 j-所以2——_3 3 _43，x= =一；+一x3x8當一l<x<0時，43-48q31一338 8^0<x<2W,_4+3>_4+3=0,3x-32所以工工的取值范圍是4]U[0,+s).X故答案為：(一s,-4]U[0,+8)【點睛】

本題考查了由兩個點的坐標求直線方程，兩點間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.19.在銳角AABC中，tanA=1,。為邊5c上的點，與AAC3的面積分別為2和4,過。作0E_LAB于石，。尸_1_4。于尸，則瓦.方二4【答案】-:【解析】由題意畫出圖象,結(jié)合面積求出smA=巫,cosA=巫,\DE\-\DF\=勺叵，然后代入數(shù)量積公式可得.10 101 11 1 15【詳解】如圖所示：因為△A5O與MCD的面積分別為2和4,1—，—1—，—所以31ABi-|。七|=2,i|AC|.|DF|=4,TOC\o"1-5"\h\z乙 乙所以瓦卜?^,|無|=^^,1 1 |AC|'_ 32所因西?西卜研前,一.……sinA1又tanA=7,所以 -=-3cosA3sinAI將一-=；與sin2A+cos2A=1聯(lián)立，結(jié)合A為銳角解得cosA3su】A=理"亞10 10由白|而卜|衣|sinA=2+4，可得|而卜|衣|=12jI6.2————> 32所以————> 32所以1r4>/1015所以DEDF=\DE\-\DF\cos<DE,DF>=^^-cos(7r-A)=-^^-cosATOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4M3M 4 X ——?\o"CurrentDocument"15 10 54故答案為：一弓?【點睛】本題考查了同角公式，三角形的面積公式，向量的數(shù)量積,屬于中檔題.20.已知10H=4,|麗卜6,OC=xOA+yOB,且x+y=l,NAO8是鈍角，若/（/）=|。4一/。4的最小值為2",貝“無|的最小值是 【答案】5巨19【解析】根據(jù)/（，）=OA-tOB的最小值為2j?，結(jié)合圖象分析可知，當（04—/。母,。用時，直線06上的動點與定點A之間的距離的最小，由此計算出/4。6=莖,再求出|反|2關(guān)于工的表達式,根據(jù)二次函數(shù)求出最小值后，開方可得答案.【詳解】因為/。）=|況-f麗|的最小值為即直線03上的動點與定點人之間的距離的最小值為2有，所以當（。4-1。2），。月時，直線05上的動點與定點A之間的距離的最小，

因為NAO5因為NAO5是鈍角，所以sm（乃—乙4。5）=獨=正,所以萬一/4。5=2,所以ZAOB=—,3因為反=x》+），而，且x+y=l,所以O(shè)C=(xOA+yOB)2=x21OA|2+y2\OB|2+2xyOAOB=16x2+36y2+2x}??4x6x(--)=16x2+36(1-x)2+2x(1-x)x(-12)=76.r-96x+3612」108=76(x 廠+——19 19所以x=時,I反F取得最小值詈，所以|詼|取得最小值筆Z.【點睛】本題考查了向量的線性運算，向量的數(shù)量積，二次函數(shù)求最值,屬于中檔題.21.在平面直角坐標系中，當P（x,y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為當P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線C定義為曲線c的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題：①若點A的“伴隨點”是點A',則點4的“伴隨點”是點A②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；③若曲線c關(guān)于X軸對稱，則其“伴隨曲線"C'關(guān)于y軸對稱；④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.其中的真命題是 （寫出所有真命題的序列）.【答案】②③【解析X詳解】試題分析:對于①，若令PQ1）,則其伴隨點為P'g,-；）,而/（；,-；）的伴隨點為（-L-i）,而不是尸，故錯誤；對于②，設(shè)曲線/。,?。?0關(guān)于x軸對稱,則f（x-y）=0對曲線于（x,y）=0表示同一曲線，其伴隨曲線分別為

=O與/（二^,^^）=0也表示同一曲線，又因為其伴隨曲線分別廣+）廠廠+廠 廠+）廠r+）r為/（中二,一^）=0與/（二V，二7）=0的圖象關(guān)于）'軸對稱，所以正確：③令廣+）廠廠+廠 廠+廠廠+廠單位圓上點的坐標為尸（cosx,sinx）其伴隨點為P'（smx,—cosx）仍在單位圓上，故正V—X確；對于④，直線＞=h+方上取點后得其伴隨點消參后軌跡是圓，工一+'-1一+）廠故錯誤.所以正確的為序號為②③.【考點】對新定義的理解、函數(shù)的對稱性.三、解答題22.利用行列式解關(guān)于工、）'的二元一次方程組x+ay=-6(a-2)x+3y=-2a>【答案】當且4。—1時，原方程組有唯一組解,1=一網(wǎng)上22.利用行列式解關(guān)于工、）'的二元一次方程組。+1 a+1當4=—1時，原方程組無解，當4=3時，原方程組有無數(shù)組解.【解析】先求出系數(shù)行列式Oy,然后討論。，從而確定二元一次方程組解的情況.【詳解】1a / ）由題意得,。= =1*3-。（4-2）=-。-+2。+3=-（。-3）（。+1）,1D=a-2a-21D=a-23=-lS-a(-2a)=2a2-18=2(。-3)(。+3),-6=-2a+6(。-2)=4(〃-3),-2a當。WO,即。。3且。W—l時，原方程組有唯一組L2_2(〃-3)(〃+3)_2m+3)解’一萬二(加3)伍+1)一a+1Dy「4("3) __4D一伍一3)(。+1)a+1當。=0,w0,即。=—1時，原方程組無解,

當。==Dy=0,即。=3時，原方程組有無數(shù)組解.【點睛】本題考查了用行列式解二元一次方程組,屬于基礎(chǔ)題.23.已知在平面直角坐標系中，4(1,2),8(2,-1),。為坐標原點.<1)求A4OB的面積；(2)求A4OB的外接圓的方程.TOC\o"1-5"\h\z( 3V( 1V5【答案】(1) (2) + =<.I 2)V2) 2【解析】(1)利用兩點A3的坐標求出。4,。8的斜率，根據(jù)斜率判斷出。4106、求出兩直角邊的長度后，代入面積公式可求得；⑵求出圓心坐標和半徑后，寫出圓的標準方程可得.【詳解】2-0 -1-0 1 1Q）攵 =2=^7^"=一5'且 =2x（_/）=-1所以。又|°川=彳育=島。5|二正評了=6所以Soab=Lx小乂小=--31(2)由(1)可知圓心為的中點(5,5),半徑為乙乙1 5所以24。8的外接圓的方程為:(x——)2+(y一一)2=2 2【點睛】本題考查了用斜率乘積為-1判斷兩直線垂直，圓的標準方程,屬于基礎(chǔ)題.324.已知a與辦的夾角為:乃，且4=2,b=V2.4(1)求恒+21(2)求31+2〃與￡的夾角夕的大小.【答案】3)275；（2）【答案】3)275；（2）一3

【解析】(1)利用13〃+25|=如工礪計算可得;rlril(3a+2b)a 3"+2。/、㈤(2)利用cos0= --= f= 計算可得.\3a+2b\\a\2g2【詳解】(1)13萬+251=](33+2牙=。9萬？+12萬.B+4/?=J9x4+12x2x5/2xcos^-^4-4x272=5/36-24+8=>/20=25/5.72(2)cos。=|3。+251ml 275x2=(3a+2b)^a3東(2)cos。=|3。+251ml 275x2=所以夕=aiccos.5【點睛】本題考查了求向量的模，向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.25.在AA5C中，點人的坐標為(L2), 邊上的高所在直線方程為2x-3y+l=0,且NC48=工.4(1)求邊A6所在的直線方程；(2)求邊AC所在的直線方程.【答案】(1)3x+2y-7=0;(2)5工一/一3=0或x+5y-ll=0.【解析】(1)先根據(jù)AB邊上的高所在直線的斜率求出邊AB所在的直線的斜率,再由點斜式可得答案；(2)根據(jù)夾角公式列式求出邊AC所在直線的斜率，再由點斜式求得答案.【詳解】3(1)因為A8邊上的高所在直線方程為2x—3y+1=0,所以的"二一｝,乙3由點斜式可得邊AB所在的直線方程為y-2=——(x-1)，即3x+2丁-7=0,7tIkAR-k”I（2）因為tan-=巧＞=4I+I7 7 I所以弓一以卜11+HKc\，解得=一,或L=5,由點斜式可得邊AC所在直線的方程為了一2=-!(1一1)或)，-2=50—1),即x+5)-11=0或5x-y-3=0.【點睛】本題考查了兩條直線垂直與斜率的關(guān)系，夾角公式，直線方程的點斜式，屬于中檔題.26.在平行四邊形A5C。中，4(1』)，而=(6,0),通二(2,4).(1)求點。的坐標；(2)過點尸(3,-3)的直線/與平行四邊形A5CO圍成的區(qū)域(包括邊界)有公共點,求直線/的傾斜角夕的取值范圍；、 o(3)對角線AC所在的直線與圓。：犬+)尸一2)加-4加/+5〃『+〃7-旨=0沒有交點，求實數(shù)加的取值范圍.一乃 1 ( g\(9\【答案】(1)(9,5)；(2)—,^-aictan2；(3) U1,-?1_4 」 [ 9)[*【解析】(1)根據(jù)而1=4片+4萬可求得答案；(2)作出圖象后，利用直線PB和PA的傾斜角表示即可；(3)求出直線AC的方程后，利用圓心到直線的距離大于半徑，列不等式即可解得答案.【詳解】(1)在平行四邊形A5CO中,*=血+南=(6,0)+(2,4)=(8,4),又A(L1),設(shè)。(凡6),則衣=(4_1/_1),所以4_1=8力_1=4,所以。=9/=5,所以C(9,5).(2)如圖所示:

因為4(1,1),AB=(6,0),AD=(2,4),所以5(7,1),因為心=者4"%=譚^一？所以直線PB的傾斜角為-，直線PA的傾斜角為4—arctan2,4由圖可知直線/的傾斜角夕的取值范圍是[巳,乃-atctan2].4TOC\o"1-5"\h\z■ , 、 9(3)由圓。：x2+y2-2inx-4my+5nf+〃?一二=0可得、 、9(x-m)2+(y-2m)2=--in,5所以圓心為。小2機),半徑為— >m)，\o"CurrentDocument"5-1 1 1又怎c=Q=/,所以直線AC的方程為了一l=5(x-l),即x-2y+l=0.Im-4m+11 /9 ”…但依題意直線AC與圓。沒有交點，所以依題意直線AC與圓。沒有交點，所以(9w+8)(m-l)>0,8 9所以〃？＜一一或1＜〃？＜一.O\ (Q\所以實數(shù)，"的取值范圍是-7Ui-.I9八少【點睛】本題考查了平行四邊形法則，向量的線性運算,直線的傾斜角與斜率，直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離,屬于中檔題.27.已知過點A(O「3)的動直線/與圓C： 4x+V—5=0相交于入。兩點，M是尸。中點，/與直線加：2x+3y+f=0。為常數(shù))相交于點N.(1)求證：當/與加垂直時，/必過圓心C；(2)當P0=26時，求直線/的方程；(3)當直線/的傾斜角夕變化時，探索麗?麗的值是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù);若不是，請說明理由.【答案】(1)見解析：