基本支撐體系數(shù)學資料競賽指導初中數(shù)學競賽與課外活動指導專題“衡水賽”一等獎

數(shù)的整除一、賽點要求：1.如果整數(shù)A除以整數(shù)B(B≠0)所得的商A/B是整數(shù),那么叫做A被B整除.0能被所有非零的整數(shù)整除.一些數(shù)的整除特征除數(shù)能被整除的數(shù)的特征2或5末位數(shù)能被2或5整除4或25末兩位數(shù)能被4或25整除8或125末三位數(shù)能被8或125整除3或9各位上的數(shù)字和被3或9整除(如771，54324)11奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)和相減,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13從右向左每三位為一段,奇數(shù)段的各數(shù)和與偶數(shù)段的各數(shù)和相減,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的數(shù)的特征：①抹去個位數(shù)②減去原個位數(shù)的2倍③其差能被7整除。如1001100－2＝98（能被7整除）又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的數(shù)的特征：①抹去個位數(shù)②減去原個位數(shù)③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）2.幾個常用的定理，公式，法則：⑴n個連續(xù)正整數(shù)的積能被n！整除.（n的階乘：n！＝1×2×3×…×n）.例如：a為整數(shù)時，2a(a+1)，6a(a+1)(a+2),24⑵若ab且ac,則a(bc).⑶若a,b互質(zhì)，且ac,bc，則abc.反過來也成立：a,b互質(zhì)，abc，則ac,bc.例如：8和15互質(zhì)，8｜a,15|a，則120｜a.反過來也成立：若120｜a.則8｜a,15|a.⑷由乘法公式（n為正整數(shù)）推得：由(a－b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1)=an－bn.得(a－b)|(an－bn).(a+b)(a2n－a2n－1b+……ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1.(a+b)|(a2n+1+b2n+1).(a+b)(a2n－1－a2n－2b+……+ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n.(a+b)|(a2n－b2n).概括起來：齊偶數(shù)次冪的差式a2n－b2n含有因式a＋b和a－b.齊奇數(shù)次冪的和或差式a2n+1＋b2n+1或a2n+1－b2n+1只分別含有因式a＋b或a－b.二、類型分解：例1.已知兩個三位數(shù)和的和仍是三位數(shù)且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整數(shù)，∵能被9整除，∴y=6.∵328＋＝567，∴x=3例2.己知五位數(shù)能被12整除，求X解：∵五位數(shù)能被12整除，必然同時能被3和4整除，當1＋2＋3＋4＋X能被3整除時，x=2，5，8當末兩位能被4整除時，X＝0，4，8∴X＝8例3.求能被11整除且各位字都不相同的最小五位數(shù)解：五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只調(diào)整末位數(shù)仍不行調(diào)整末兩位數(shù)為30，41，52，63，均可，∴五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10263。例4.已知:整數(shù)n>2.求證：n5－5n3+4n能被120整除..證明：n5－5n3+4n＝n(n4－5n2+4)=n(n－1)(n+1)(n+2)(n－2).∵(n－2)(n－1)n(n+1)(n＋2)是五個連續(xù)整數(shù)，能被n!整除，∴120｜n5－5n3+4n.已知：n為正整數(shù).求證：n3+n2+n是3的倍數(shù).證明：n3+n2+n＝n（2n2+3n+1）=n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n+2+n－1)=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n－1).∵3！｜n(n+1)(n+2)，且3！｜n(n+1)(n－1)..∴3｜n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n－1).即n3+n2+n是3的倍數(shù).評點：上兩例關(guān)鍵在于創(chuàng)造連續(xù)整數(shù)。例6.設n是正整數(shù)，求證：7｜（32n+1+2n+2）.證明：32n+1+2n+2＝3×32n+4×2n=3×9n+4×2n＋3×2n－3×2n（添兩項）＝（4×2n＋3×2n）＋（3×9n－3×2n）＝（4＋3）＋3（9n－2n）＝7×2n＋3（9－2）N.（N是整數(shù)）∴7｜（32n+1+2n+2）評點：例3，4是設法利用乘法公式。例7.已知能被33整除，求x,y的值.分析：被33整除的數(shù)的特點：同時被3、11整除。解：∵33＝3×11，∴1＋9+x+y+8+7其和是3的倍數(shù)，即x+y=3K－25(k為整數(shù)).又（1＋x+8）－(9+y+7)其差是11的倍數(shù)，即x－y=11h+7(h是整數(shù)).∵0≤x≤9，0≤y≤9，∴0≤x＋y≤18，-9≤x－y≤9，x+y>x－y,且x+y和x－y同是奇數(shù)或偶數(shù).符合條件的有.解得.例8..設N＝，且17｜N,求x..解：N＝2078＋100x=17×122＋4＋17×6x－2x＝17×（122＋6x）+4－2x.∵17｜N，∴17｜4－2x，當4－2x=0.∴x=2.三、專題訓練：1.分解質(zhì)因數(shù)：（寫成質(zhì)因數(shù)為底的冪的連乘積）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥102962.若四位數(shù)能被3整除，那么a=_______________3.能被11整除的最小五位數(shù)是________,最大五位數(shù)是_________4.被4整除的最大四位數(shù)是____________，能被8整除的最小四位數(shù)是_________5.由1，2，3，4，5這五個自然數(shù)，任意調(diào)換位置而組成的五位數(shù)中，不能被3整除的數(shù)共有幾個？為什么？6.己知五位數(shù)能被15整除，試求A的值。7.求能被9整除且各位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)。8.要使2n+1能被3整除，整數(shù)n應取_____，若6｜（5n－1）,則整數(shù)n應取_____.9.求證：①4!|（n4+2n3－n2－2n）；②24｜n(n2－1)(3n+2)；③6｜（n3+11n）；④30｜（n5－n）.專題訓練答案：1.④22×32×7×3⑤3×7×13×37⑥23×32×11×13，3，6，9，9990；27沒有一個，∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍數(shù)，與數(shù)字的位置無關(guān)仿例2，a＝510269（由最小五位數(shù)10234調(diào)換末兩位數(shù)）8.正奇數(shù)；正偶數(shù)9.①，②分解為4個連續(xù)整數(shù)③n(n-1)(n+1)+12n④n(n-1)(n+1)(n2-4+5)四、同步測試：1.若五位數(shù)能被11整除，那么X＝__________-2.當m=_________時，能被25整除3.8個數(shù)：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各數(shù)整除的有（填上編號）：6________,8__________,9_________,11__________4.從1到100這100個自然數(shù)中，能同時被2和3整除的共_____個，能被3整除但不是5的倍數(shù)的共______個。5.在十進制中，各位數(shù)碼是0或1，并能被225整除的最小正整數(shù)是__________（1989年全國初中聯(lián)賽題）6.當n=__________時，能被7整除7.求證：①100｜9910－1）；②57｜（23333＋72222）；③995｜（996996－994994）；④1992｜（997997＋995995）.8.設n是正整數(shù)，求證3n+3n+2+62n能被33整除.9.求證：六位數(shù)能被7，11，13，整除.同步測