基本支撐體系數(shù)學(xué)資料競(jìng)賽指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽與課外活動(dòng)指導(dǎo)名題【省一等獎(jiǎng)】

第四章

第一場(chǎng)災(zāi)難：真理的喪失每個(gè)時(shí)代都有其神話(huà)，并稱(chēng)之為更高的真理。——無(wú)名氏進(jìn)入19世紀(jì)，數(shù)學(xué)界正是一派祥瑞景象：拉格朗日仍然活躍在數(shù)學(xué)界，拉普拉斯正處在他智力的頂峰時(shí)期，傅立葉致力于研究他1807年的手稿，這篇手稿后來(lái)并入了他的經(jīng)典著作《熱論》（1822年）；高斯(Gauss)剛剛發(fā)表了他的《算術(shù)研究》（1801年），這是關(guān)于數(shù)論的一個(gè)里程碑，隨后他又做出了許多的貢獻(xiàn)，為他贏得了數(shù)學(xué)王子的雅稱(chēng)；高斯的法國(guó)同行柯西(Augustin－LouisCauchy)在他1814年的一篇論文中顯露出超凡的才能。通過(guò)對(duì)這些人的工作的簡(jiǎn)單介紹，可以看出19世紀(jì)前半葉在發(fā)現(xiàn)自然設(shè)計(jì)的奧秘的過(guò)程中取得了巨大進(jìn)步。盡管高斯在數(shù)學(xué)上做出了巨大貢獻(xiàn)——我們很快將要討論其中之一——但他把大部分時(shí)間投入了物理學(xué)研究。事實(shí)上他并不是數(shù)學(xué)教授，在將近50年的時(shí)間里，他一直擔(dān)任天文學(xué)教授和哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)。天文學(xué)占去了他的絕大多數(shù)時(shí)間和精力，而且他對(duì)天文學(xué)的興趣可追溯到他在1795—1798年在哥廷根求學(xué)的時(shí)候。1801年他獲得了他的第一項(xiàng)令人矚目的成就，那年1月1日皮亞奇(GiuseppiPiazzi)發(fā)現(xiàn)了小行星谷神星。盡管能觀察到的時(shí)間只有幾個(gè)星期，當(dāng)時(shí)年僅24歲的高斯卻在觀察中運(yùn)用了新的數(shù)學(xué)方法，并預(yù)言了這顆行星的軌跡。這一年的年底的觀察結(jié)果與高斯的預(yù)言十分接近。1802年當(dāng)奧伯斯(WilhelmOlbers)發(fā)現(xiàn)另一顆小行星智神星的時(shí)候，高斯又一次成功地算出了它的軌跡。在高斯的主要著作之一《天體運(yùn)動(dòng)論》（1809年）中，對(duì)所有這些天文學(xué)方面的早期工作作了總結(jié)。后來(lái)，應(yīng)漢諾威公爵之邀，高斯對(duì)漢諾威進(jìn)行了測(cè)量，奠定了大地測(cè)量學(xué)，并由此產(chǎn)生了微分幾何的創(chuàng)造性思想。在1830年到1840年間對(duì)理論和實(shí)驗(yàn)磁學(xué)中的物理研究也獲得了巨大的成功，他創(chuàng)造了測(cè)量地球磁場(chǎng)的方法。麥克斯韋(JamesClerkMaxwell)，這位電磁場(chǎng)理論的奠基人，在他的《電學(xué)和磁學(xué)論》中說(shuō)，高斯的磁學(xué)研究重新構(gòu)造了整個(gè)科學(xué)：使用的工具，觀察的方法及對(duì)結(jié)果的計(jì)算。高斯的地磁學(xué)論文是物理研究的典范。為了紀(jì)念這項(xiàng)工作，磁場(chǎng)的單位叫做高斯。盡管高斯和韋伯(WilhelmWeber)并沒(méi)有首創(chuàng)電報(bào)的思想，（因?yàn)樵诖酥捌渌艘延性S多嘗試），1833年他們卻設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)用的裝置，能使指針向左或向右偏轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)的方向依賴(lài)于導(dǎo)線(xiàn)上電流的方向。這只是高斯的若干發(fā)明之一。他還從事光學(xué)方面的研究，這是一項(xiàng)自歐拉時(shí)代以來(lái)就一直被忽略的學(xué)科。他在1838—1841年間所做的研究奠定了處理光學(xué)問(wèn)題一個(gè)全新的基礎(chǔ)。19世紀(jì)在數(shù)學(xué)界能與高斯匹敵的就是柯西了，興趣廣泛的柯西數(shù)學(xué)論文超過(guò)700篇，數(shù)量上僅次于歐拉，按現(xiàn)代的版本算是整整26卷，涉及數(shù)學(xué)的所有分支。他是復(fù)變函數(shù)論（見(jiàn)第七章，第八章）的奠基人。但柯西投入到物理問(wèn)題中的精力至少與投入到數(shù)學(xué)中的一樣多。1815年由于一篇關(guān)于水波的論文使他獲得了法國(guó)科學(xué)院頒發(fā)的一項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)。在小棒及彈性膜（例如金屬薄片）的平衡，彈性介質(zhì)中的波等方面，他都寫(xiě)出了奠基性的著作。他也是數(shù)學(xué)物理這一分支的創(chuàng)始人。他從事于由菲涅耳創(chuàng)建的光波理論的研究并把這項(xiàng)理論擴(kuò)展到光的分解和偏振領(lǐng)域。柯西是一流的數(shù)學(xué)物理學(xué)家。雖然傅立葉的工作與高斯和柯西并不完全在同一領(lǐng)域，但由于他為數(shù)學(xué)領(lǐng)域熱的傳導(dǎo)帶來(lái)了更為實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，因此他的工作尤其值得一提。傅立葉把這一學(xué)科看作宇宙研究中最重要的一環(huán)，因?yàn)閷?duì)地球內(nèi)部的熱傳導(dǎo)的研究有可能證明地球是從一種熔化狀態(tài)冷卻凝固而形成的，這樣就可以對(duì)地球的年齡做一些估計(jì)。在這項(xiàng)工作過(guò)程中他發(fā)展了無(wú)窮三角級(jí)數(shù)——現(xiàn)在稱(chēng)為傅立葉級(jí)數(shù)——的理論，使得它能用于許多其他的應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中。對(duì)他的工作無(wú)論用什么詞來(lái)贊譽(yù)都是不過(guò)分的。高斯、柯西、傅立葉以及其他數(shù)百人的成就似乎成了不容反駁的明證：越來(lái)越多關(guān)于自然界的真理正在被揭示。事實(shí)是整個(gè)19世紀(jì)中數(shù)學(xué)巨人們一直在沿著先人鋪設(shè)的道路前進(jìn)，創(chuàng)造了更為有力的數(shù)學(xué)方法并把它成功地應(yīng)用到對(duì)自然界的進(jìn)一步探索中。他們加速尋求自然界的數(shù)學(xué)定律，他們似乎被這樣一種信念所驅(qū)使：他們就是神派來(lái)揭示上帝意圖的。假如他們對(duì)一些同行的行為稍加注意，那么，也許他們會(huì)對(duì)即將面臨的災(zāi)難有所準(zhǔn)備。培根早就在他的《新工具》（1620年）中寫(xiě)道：一個(gè)群體的觀念是與生俱來(lái)的，與群體和種族關(guān)系甚密。因而人的感覺(jué)有時(shí)錯(cuò)誤地被當(dāng)作事物的標(biāo)準(zhǔn)。另一方面，所有感覺(jué)上的或是心智上的領(lǐng)悟力，依賴(lài)于人而不是宇宙。而人的心智就像不平坦的鏡面，把自己的性質(zhì)轉(zhuǎn)賦給了事物。光線(xiàn)原由事物發(fā)出，而鏡子使之扭曲變形。在同一部著作中培根倡議用經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)作為所有知識(shí)的基礎(chǔ)，他寫(xiě)道：推理建立起來(lái)的公理不足以產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)，因?yàn)樽匀唤绲膴W秘遠(yuǎn)勝過(guò)推理的奧秘。是什么導(dǎo)致了上帝在設(shè)計(jì)宇宙中作用的削弱，即使是最忠實(shí)的信徒也會(huì)無(wú)意地在這個(gè)問(wèn)題上發(fā)生分歧。哥白尼，開(kāi)普勒都將他們的日心說(shuō)理論看作是上帝的數(shù)學(xué)智慧的明證。但它卻是與《圣經(jīng)》中人的重要性相沖突的。伽利略、波義耳(RobertBoyle)、牛頓堅(jiān)持說(shuō)他們進(jìn)行科學(xué)研究的目的在于證明上帝的意圖和存在，但實(shí)際上他們的工作中甚少涉及上帝。事實(shí)上伽利略在他的一封信中說(shuō)道：“對(duì)我來(lái)說(shuō)從來(lái)沒(méi)有任何關(guān)于《圣經(jīng)》的直接討論，以前從來(lái)沒(méi)有哪個(gè)天文學(xué)家或科學(xué)家像我這樣干過(guò)。”當(dāng)然，正如我們所看到的那樣，伽利略是相信上帝的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的，他之所以這樣說(shuō)只是為了說(shuō)明在解釋自然界的奧秘時(shí)，不應(yīng)該引入其他的神秘的或是超自然的力量。在伽利略的時(shí)代，萬(wàn)能的上帝能改變他的設(shè)計(jì)這一信仰占著統(tǒng)治地位。而笛卡爾，這位虔誠(chéng)的教徒卻宣稱(chēng)自然界的法則是不可改變的。這就無(wú)疑地限制了上帝的能力。牛頓也相信宇宙的固有秩序，并且指望上帝依照自己的旨意來(lái)維持世界運(yùn)轉(zhuǎn)。他把這比作鐘表匠修理鐘表來(lái)使之正常工作。牛頓有充分的理由相信上帝的創(chuàng)造：盡管他十分清楚由于一顆行星的軌跡受到其他行星的影響從而不是一個(gè)真正的橢圓，他卻不能從數(shù)學(xué)上證明這種偏離是由于其他行星對(duì)它的引力產(chǎn)生的，因此他認(rèn)為，除非是上帝按照自己的計(jì)劃繼續(xù)使宇宙運(yùn)行，否則不可能維持其穩(wěn)定。萊布尼茨反對(duì)這種看法，在他1715年11月給牛頓的擁護(hù)者、哲學(xué)家克拉克的信中，他這樣評(píng)價(jià)牛頓關(guān)于上帝經(jīng)常需要給宇宙修理和上弦的觀點(diǎn)的：“上帝似乎并沒(méi)有足夠的遠(yuǎn)見(jiàn)維持世界的永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)?！谖铱磥?lái)，世界上的力和能是恒定的，依據(jù)自然法則從物質(zhì)的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分而已?！比R布尼茨指責(zé)牛頓否認(rèn)了上帝的能力。實(shí)際上，萊布尼茨還指責(zé)牛頓使英國(guó)的宗教信仰日趨衰弱。萊布尼茨的話(huà)并沒(méi)有說(shuō)錯(cuò)，牛頓的工作無(wú)意中使自然科學(xué)第一次從神學(xué)中分離或者解放出來(lái)。我們已經(jīng)提到過(guò)，伽利略堅(jiān)持說(shuō)自然科學(xué)必須與神學(xué)相分離，而牛頓在他的《原理》一書(shū)中堅(jiān)持這一原則，朝著對(duì)自然現(xiàn)象給以純數(shù)學(xué)的解釋邁進(jìn)了一大步。因此上帝越來(lái)越多地被排斥在科學(xué)理論的數(shù)學(xué)描述之外了。實(shí)際上，牛頓所沒(méi)能解釋的那些反常現(xiàn)象在后來(lái)的研究中得到了根本上的解釋。制約天體和地面物體運(yùn)動(dòng)的普適法則逐漸統(tǒng)治了整個(gè)知識(shí)界，而且預(yù)言和觀察結(jié)果的持續(xù)一致說(shuō)明了這法則的完善。盡管在牛頓之后，仍然有人認(rèn)為這種完美的設(shè)計(jì)出自于上帝之手，但上帝已退到幕后。宇宙的數(shù)學(xué)法則則成為了焦點(diǎn)。萊布尼茨注意到在牛頓的《原理》中暗示著：不論有沒(méi)有上帝，世界依然我行我素，于是攻擊這本書(shū)為非基督徒的。追求純粹的數(shù)學(xué)結(jié)果的目的逐漸取代了對(duì)上帝的設(shè)計(jì)的關(guān)注。雖然歐拉之后的許多數(shù)學(xué)家仍然相信上帝的存在，相信上帝對(duì)世界的設(shè)計(jì)，以及數(shù)學(xué)作為一門(mén)科學(xué)其主要功能是提供破譯這個(gè)設(shè)計(jì)的工具，但是隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展以及其后的更多的發(fā)展，數(shù)學(xué)研究從神那兒得到的啟示越來(lái)越少，上帝的存在性也變得模糊起來(lái)。拉格朗日、拉普拉斯雖出身天主教世家，卻是無(wú)神論者。拉普拉斯完全否認(rèn)上帝是世界的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)者。有個(gè)著名的故事說(shuō)，拉普拉斯把他的《天體力學(xué)》呈獻(xiàn)給拿破侖時(shí)，后者說(shuō)：“拉普拉斯先生，他們告訴我，你寫(xiě)了這本關(guān)于宇宙系統(tǒng)的書(shū)，卻根本沒(méi)有提到它的創(chuàng)造者?！睋?jù)說(shuō)拉普拉斯是這樣回答的：“我不需要這種假說(shuō)。”自然代替了上帝，正如高斯所說(shuō)：“你，自然，我的女神，我對(duì)你的規(guī)律的貢獻(xiàn)是有限的?！备咚勾_信有一個(gè)無(wú)時(shí)不在，無(wú)所不知，無(wú)所不能的上帝，但卻認(rèn)為上帝與數(shù)學(xué)及宇宙的數(shù)學(xué)規(guī)律探索沒(méi)有絲毫聯(lián)系。哈密爾頓關(guān)于最小作用原理的工作（見(jiàn)第三章）也揭示了知識(shí)界觀點(diǎn)的轉(zhuǎn)變，在1833年的一篇文章中，他寫(xiě)道：雖然最小作用定理已立足于物理學(xué)最高級(jí)定理之林，然而從宇宙經(jīng)濟(jì)的基地上看，當(dāng)時(shí)人們普遍拒絕把它作為宇宙規(guī)律的主張。對(duì)此，拒絕恰恰在于其他理由，事實(shí)上偽裝節(jié)約的都是常常浪費(fèi)地消耗著……因此，我們不能認(rèn)為這個(gè)數(shù)量的節(jié)約是由宇宙的神的思想設(shè)計(jì)的。不過(guò)，某種高度的簡(jiǎn)潔可以被認(rèn)為是包含在這一思想中?；仡櫼幌戮涂梢钥闯觯匀皇巧系鄣臄?shù)學(xué)設(shè)計(jì)這一信條正在被數(shù)學(xué)家們的工作所削弱。學(xué)者們?cè)絹?lái)越多地相信，人的推理是最有力的工具和最好的證明，因?yàn)樗菙?shù)學(xué)家的成功。如果為了正當(dāng)?shù)睦碛梢ズ葱l(wèi)它們，為什么不能將推理用于評(píng)判流行的宗教與倫理的信條呢？幸或不幸的是將推理運(yùn)用于宗教信仰的基礎(chǔ)損害了許多正統(tǒng)觀念的根基。宗教信仰因此而從正統(tǒng)觀念分化出許多的旁門(mén)左系，諸如唯理論的超自然主義、自然神論、不可知論或是干脆的無(wú)神論。這些運(yùn)動(dòng)對(duì)18世紀(jì)那些學(xué)識(shí)廣博的數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了一定影響。正如狄德羅這位唯理論者，反教權(quán)主義時(shí)代的知識(shí)界領(lǐng)袖所說(shuō)：“讓我相信上帝，必須讓我能摸到他?！辈皇撬?9世紀(jì)的數(shù)學(xué)家都否認(rèn)上帝的地位?？挛鬟@位虔誠(chéng)的天主教徒指責(zé)人們“毫不猶豫地拋棄與已發(fā)現(xiàn)的定理矛盾的一切假說(shuō)?！比欢焉系劭醋饔钪娴臄?shù)學(xué)設(shè)計(jì)者這樣的信仰還是開(kāi)始衰退了。這種信仰的衰退不久就產(chǎn)生了這樣一個(gè)問(wèn)題，即為什么自然的數(shù)學(xué)法則一定是真理呢？最早對(duì)真理問(wèn)題提出質(zhì)疑的人中有狄德羅。在他《自然的解釋》（1753年）中說(shuō)，數(shù)學(xué)家就像賭徒：二者都與自己發(fā)明的抽象規(guī)則賭博。他們的研究主題只是毫無(wú)事實(shí)基礎(chǔ)的規(guī)則。學(xué)者馮登利(BernardLeBovierdeFontenelle)在他的《世界的多元性》（1686年）中對(duì)此也同樣持批評(píng)態(tài)度。他對(duì)天體運(yùn)動(dòng)法則不變性的攻擊是這樣的：只要玫瑰花還在開(kāi)放，園丁就永遠(yuǎn)不會(huì)死去。數(shù)學(xué)家們?cè)敢庀嘈攀撬麄兲峁┝苏軐W(xué)家思想的源泉，但在18世紀(jì)，哲學(xué)家們都是否認(rèn)物質(zhì)世界真理的先驅(qū)。我們略過(guò)霍布斯、洛克(John

Locke)和大主教貝克萊的教條，這不是由于它們能被輕易地駁倒而是因?yàn)樗鼈儾幌窦みM(jìn)的休謨(DavidHume)那樣有影響力。實(shí)際上休謨不僅贊同貝克萊的觀點(diǎn)，甚至走得更遠(yuǎn)。在他的《人性論》（1739—1740年）一書(shū)中，休謨強(qiáng)調(diào)，我們既不了解精神，也不了解物質(zhì)，兩者都是虛幻的。我們只接受感覺(jué)，諸如印象、記憶和思想等簡(jiǎn)單的概念只是這些感覺(jué)的模糊反映，任何復(fù)雜概念都是簡(jiǎn)單概念的集合。精神實(shí)際上只是我們的感覺(jué)和概念的集中，除了可以通過(guò)直接經(jīng)驗(yàn)所感知的事物，我們不能假定任何其他事物的存在，然而經(jīng)驗(yàn)只能產(chǎn)生感覺(jué)。休謨對(duì)物質(zhì)持同樣的懷疑態(tài)度。誰(shuí)能保證有一個(gè)永遠(yuǎn)存在的實(shí)物的世界，所有我們能夠知道的只是我們對(duì)這樣一個(gè)世界的感覺(jué)。重復(fù)地感知一張椅子并不能證明這椅子確實(shí)存在，時(shí)間和空間只是我們產(chǎn)生概念的方式和順序，同樣的，因果關(guān)系只不過(guò)是概念在習(xí)慣上的一種聯(lián)系而已。無(wú)論是時(shí)間還是空間，或是因果關(guān)系，都不是客觀實(shí)在，我們被自己的感知能力所迷惑，因而相信了這樣的實(shí)在：存在一個(gè)有確定屬性的外部世界。這實(shí)際上只是一種無(wú)根據(jù)的推論，知覺(jué)的產(chǎn)生是不可理解的。我們不知道，它是來(lái)自于外部事物、心靈深處還是上帝。人本身不過(guò)是單個(gè)的感覺(jué)和思想的集大成者，他只能這樣存在著。“自我”就是不同的感知力的匯聚。任何試圖了解自己的嘗試最終只能導(dǎo)向領(lǐng)悟。所有其他的人和假定存在的外部世界只是某一個(gè)人的領(lǐng)悟，而且沒(méi)有什么能保證他們確實(shí)存在。于是也就不可能有任何關(guān)于一個(gè)永恒的客觀的物質(zhì)世界的科學(xué)法則。這樣的法則僅僅是一種感覺(jué)的合適的總結(jié)。更進(jìn)一步說(shuō)，由于因果概念并不是基于科學(xué)的證明而不過(guò)是一種來(lái)自于經(jīng)常發(fā)生的“事件”的通常的順序的思維習(xí)慣，所以我們無(wú)法了解，過(guò)去感知到的事件將來(lái)還會(huì)不會(huì)再發(fā)生。這樣休謨就否認(rèn)了自然法則的必然性、永恒性以及不可破壞性。否認(rèn)了外部世界遵循固定的數(shù)學(xué)定律這一信條，休謨也就否認(rèn)了代表實(shí)在的邏輯推理結(jié)構(gòu)的價(jià)值。但是數(shù)學(xué)中也包含著關(guān)于數(shù)字和幾何的定理，其毫無(wú)疑問(wèn)是從包含數(shù)字和幾何的假設(shè)真理中推出來(lái)的。休謨并不否認(rèn)公理，但卻貶損它們以及由之推導(dǎo)出的結(jié)果。公理來(lái)自于對(duì)假定存在的物理世界的感知，定理的確是公理的必然結(jié)果，卻無(wú)非是公理的精確復(fù)述。它們是推論，但只是隱含在公理中的論斷的推理。因此公理和定理，都是同義重復(fù)，并不是真理。由是休謨回答了“人怎樣獲得真理”這一基本問(wèn)題——他否認(rèn)真理的存在，人不可能區(qū)別真理。休謨的工作不僅貶損了在科學(xué)和數(shù)學(xué)上付出的努力和得到的結(jié)果，還對(duì)推理本身的價(jià)值提出了質(zhì)疑。對(duì)于大多數(shù)18世紀(jì)的思想家來(lái)說(shuō)，這樣一種對(duì)人類(lèi)最高智慧能力的否認(rèn)是大逆不道的。數(shù)學(xué)家、人類(lèi)推理的其他成就如此輝煌以至于到了“不可一日無(wú)此君”的地步。休謨的哲學(xué)對(duì)于18世紀(jì)絕大多數(shù)的學(xué)者來(lái)說(shuō)是矛盾和令人嫌惡的，而且與數(shù)學(xué)和其他科學(xué)中的驚人的成就是如此格格不入，因此遭到了駁斥。歷史上最受尊敬的可能也是最深邃的哲學(xué)家康德發(fā)起了這一挑戰(zhàn)。但是對(duì)康德殫精竭慮所提出的結(jié)論進(jìn)行仔細(xì)推敲后發(fā)現(xiàn)其并不比其他人的更令人信服。在他的《未來(lái)形而上學(xué)導(dǎo)言》（1783年）一書(shū)中，康德看來(lái)確是站在科學(xué)家和數(shù)學(xué)家一邊：“我們可以確切地說(shuō)：純粹的先驗(yàn)的綜合知識(shí)，純粹數(shù)學(xué)和純粹物理學(xué)是真實(shí)存在也是先天既定的，二者都包含一些被廣泛承認(rèn)、絕對(duì)肯定的命題，……而且是獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)的?！痹谒摹都兇饫硇耘小罚?781年）一書(shū)中，康德甚至使用更為確信的詞語(yǔ)作為開(kāi)頭，他肯定所有的數(shù)學(xué)公理和定理都是真理，但是為什么？康德自問(wèn)道。他愿意接受這樣的真理嗎？顯然經(jīng)驗(yàn)本身并不足以證明它們的有效性。如果你能回答一個(gè)更大的問(wèn)題——數(shù)學(xué)確實(shí)是一門(mén)科學(xué)嗎——你也就能回答這個(gè)問(wèn)題了?？档碌幕卮鹗牵簳r(shí)間和空間的形式依我們的心智所定，所謂時(shí)間和空間只是我們感知的一種模式。這種感知——康德稱(chēng)之為直覺(jué)——的模式由心智對(duì)待經(jīng)驗(yàn)的方式?jīng)Q定。我們依據(jù)這些智力形式去感知，組織和理解經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)驗(yàn)與之相符猶如面團(tuán)符合于它的模子。心智將這些方式加到感覺(jué)、印象上去使感覺(jué)與內(nèi)在的模式相吻合。既然空間的直覺(jué)來(lái)源于心智，那么心智自動(dòng)地接受空間的某些屬性，諸如直線(xiàn)是兩點(diǎn)間的最短路徑，三點(diǎn)確定一平面以及歐幾里得的平行公理?？档路Q(chēng)這些真理為一個(gè)先驗(yàn)的假設(shè)的真理，它們是我們心智構(gòu)成的一部分。幾何學(xué)的科學(xué)性恰恰在于其揭示了這些真理的邏輯推斷，心智正是通過(guò)“空間結(jié)構(gòu)”來(lái)對(duì)待經(jīng)驗(yàn)這樣一個(gè)事實(shí)說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)與基本原理和定理是一致的。我們自認(rèn)為感知到的外部世界的秩序和理性是由我們的精神和我們的思考方式加諸其上的?？档录热粡娜说拇竽X創(chuàng)造出了空間，那他也就看不出有什么理由不讓它是歐氏空間。他不能構(gòu)想出其他的幾何空間。這促使他相信，不存在別的空間，由此歐氏幾何定理既不是宇宙中固有的，也不是由上帝設(shè)計(jì)出來(lái)的，它是使人的感性認(rèn)識(shí)條理化、理性化的作用結(jié)果。至于上帝，康德說(shuō)上帝的本質(zhì)不在理性知識(shí)范圍內(nèi)，但我們還是應(yīng)該相信上帝。康德在幾何上的輕率超過(guò)他在哲學(xué)上的大膽。他沒(méi)有到過(guò)離東普魯士城市哥尼斯堡他的家40英里以外的地方，然而他卻假定他能決定世界的幾何形狀。科學(xué)的數(shù)學(xué)法則又是如何呢？由于所有的經(jīng)驗(yàn)都是時(shí)間和空間的精神框架所構(gòu)成的，數(shù)學(xué)一定吻合于所有的經(jīng)驗(yàn)。在他的《自然科學(xué)的形而上學(xué)基礎(chǔ)》（1786年）中康德承認(rèn)牛頓定律及其推論是不證自明的。他宣稱(chēng)已知證明了的牛頓運(yùn)動(dòng)定律可由純粹推理導(dǎo)出，而且這些定律也是唯一能使自然界被理解的假設(shè)。他說(shuō)，牛頓所給予我們的，對(duì)宇宙如此清晰的領(lǐng)悟，永遠(yuǎn)也不會(huì)改變。更一般地，康德認(rèn)為科學(xué)的世界是一個(gè)由精神所組織和控制的，與內(nèi)在的范疇，諸如空間、時(shí)間、因果以及物質(zhì)等相一致的感官印象的世界。精神包含客體必定符合的結(jié)構(gòu)。感官印象確乎來(lái)自于真實(shí)的世界，然而不幸的是，這個(gè)世界是不可知的，所謂實(shí)在只是借助于感知，通過(guò)主觀分類(lèi)所了解的。因此除了歐氏幾何和牛頓力學(xué)，沒(méi)有別的辦法來(lái)使經(jīng)驗(yàn)條理化。隨著經(jīng)驗(yàn)的增加，新的科學(xué)的形成，心智并不會(huì)從這些新的經(jīng)驗(yàn)中提取并形成新的原理。而是將沉睡的心智部分喚醒來(lái)解釋這些新的經(jīng)驗(yàn)。心智的觀察力是靠經(jīng)驗(yàn)來(lái)啟發(fā)的，這就解釋了為什么有些真理譬如說(shuō)力學(xué)定律發(fā)現(xiàn)得相當(dāng)晚，而有些則在幾個(gè)世紀(jì)前就為人們所知了?？档碌恼軐W(xué)幾乎是毫不掩飾地推崇理性，然而他認(rèn)為理性的作用不在于對(duì)自然界的探索，而在于開(kāi)發(fā)人類(lèi)心智荒蕪之處。由于來(lái)自于外部世界的感知提供了精神組織的原始材料，因此經(jīng)驗(yàn)就作為知識(shí)的必然因素而被認(rèn)可，而數(shù)學(xué)就是精神的必然法則的揭示者。數(shù)學(xué)家們是習(xí)慣于“數(shù)學(xué)是一個(gè)先驗(yàn)真理的體系”這一論斷的，但大多數(shù)人并沒(méi)有對(duì)康德是如何得出這個(gè)結(jié)論給以足夠的注意。否則他的學(xué)說(shuō)——數(shù)學(xué)家所證明的并非是物質(zhì)世界固有的，而是來(lái)自于人類(lèi)的精神——會(huì)使所有的數(shù)學(xué)家停止工作。我們實(shí)際中所固有的與所感覺(jué)的是同一結(jié)構(gòu)嗎？這種空間的感知結(jié)構(gòu)一定是歐氏的嗎？我們?nèi)绾沃肋@一點(diǎn)呢？與康德不同的是，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家仍然相信存在一個(gè)受獨(dú)立于人的精神的法則支配的外部世界。人只是揭示其設(shè)計(jì)規(guī)律并用來(lái)預(yù)測(cè)在這個(gè)外部世界中將要發(fā)生的事情。康德的學(xué)說(shuō)既有解放思想的一面，也有束縛思想的一面，由于強(qiáng)調(diào)了精神能夠組織，我們并不真正了解的世界中的經(jīng)驗(yàn)，他為創(chuàng)建與當(dāng)時(shí)人們堅(jiān)信的概念相反的概念打下了基礎(chǔ)，但由于他堅(jiān)持依照歐氏幾何法則來(lái)組織空間感知，他阻礙了其他觀點(diǎn)的接受。如果康德對(duì)同時(shí)代的數(shù)學(xué)家的工作多加關(guān)注，也許他對(duì)這一觀點(diǎn)不會(huì)那樣固執(zhí)己見(jiàn)了。對(duì)于“上帝是宇宙原則的制定者”這一信仰的漠視甚至否認(rèn)以及康德的“法則存在于人的精神的結(jié)構(gòu)中”的觀點(diǎn)，引起了“神圣的設(shè)計(jì)者”的報(bào)復(fù)，上帝決定要懲罰這些康德主義者，尤其是那些自以為是、盲目自信的數(shù)學(xué)家們。因而他轉(zhuǎn)而鼓勵(lì)非歐幾何，這項(xiàng)發(fā)明摧毀了人類(lèi)自以為推理是自給自足、無(wú)所不能的信條。盡管到1800年時(shí)上帝的存在越來(lái)越不被感覺(jué)到，而且一些像休謨那樣偏激的哲學(xué)家否認(rèn)所有真理，然而當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們還是相信嚴(yán)格的數(shù)學(xué)真理和自然界的數(shù)學(xué)法則。在所有的數(shù)學(xué)分支中，歐氏幾何最受推崇。這不僅由于它是第一個(gè)用演繹方法建立起來(lái)的，而且在兩千多年的時(shí)間里，它的定理一直完美地與客觀事實(shí)一致?！吧系邸彼舻恼菤W氏幾何。歐氏幾何中有一條公理一直在困惑著數(shù)學(xué)家們，不是由于他們對(duì)其正確性有任何懷疑之處，而是由于它的表達(dá)方式。這就是平行公理，或者通常稱(chēng)為歐幾里得的第五假設(shè)，歐幾里得的表述是這樣的：如果一條直線(xiàn)（圖）與兩條直線(xiàn)相交，使得一側(cè)的內(nèi)角不都是直角，則如果將這兩條直線(xiàn)延長(zhǎng)，它們?cè)趦?nèi)角不都是直角的直線(xiàn)一側(cè)相交。即若＜1＋＜2＜180°，將a、b充分延長(zhǎng)，則它們必定相交。歐幾里得有很好的理由以這種方式表述他的公理。他本可以用另一種方式來(lái)敘述：若＜1+＜2＝180°則直線(xiàn)a與直線(xiàn)b永不相交，即直線(xiàn)a平行于直線(xiàn)b，但歐幾里得顯然是害怕假設(shè)有永不相交的無(wú)限直線(xiàn)。當(dāng)然經(jīng)驗(yàn)并沒(méi)有提供無(wú)限直線(xiàn)的性質(zhì)，而公理是被認(rèn)為是關(guān)于物理世界的自明的真理。然而他確實(shí)以他的平行公理和其他公理證明了平行直線(xiàn)的存在。歐幾里得對(duì)平行公理的敘述被認(rèn)為有點(diǎn)過(guò)于復(fù)雜了，它缺少其他公理的簡(jiǎn)潔性，顯然連歐幾里得本人也不喜歡他對(duì)平行公理的敘述，因?yàn)橹钡剿锌梢圆挥盟亩ɡ矶急蛔C明出來(lái)以后，他才提到它。一個(gè)并沒(méi)有使許多人不安然而最終卻至關(guān)重要的問(wèn)題是能否肯定在客觀世界中存在無(wú)限直線(xiàn)。歐幾里得的措詞頗為謹(jǐn)慎，你可以按需要任意延長(zhǎng)一條（有限）直線(xiàn)，且延長(zhǎng)后的直線(xiàn)仍然是有限的。歐幾里得確實(shí)暗示了無(wú)限直線(xiàn)是存在的：否則在任何情況下也不能按需要任意延長(zhǎng)。早在希臘時(shí)代，數(shù)學(xué)家們就開(kāi)始致力于解決歐幾里得的平行公理所帶來(lái)的問(wèn)題了。他們做了兩種不同類(lèi)型的嘗試，一種是用看來(lái)更加自明的命題來(lái)代替平行公理。另一種是試圖從歐幾里得的其他九條公理中推導(dǎo)出平行公理。如果這一辦法可行則平行公理就成為定理，也就無(wú)可懷疑的了。在兩千多年的時(shí)間里，許多著名的數(shù)學(xué)家曾從事于這兩方面的研究。至于那些無(wú)名之輩，我們就不去多說(shuō)了。這段歷史相當(dāng)長(zhǎng)而過(guò)于專(zhuān)業(yè)化，它們中的大部分不在這里重述，因?yàn)樗鼈兒苋菀撞榈蕉也⒉淮笄蓄}。在眾多的替代公理中有一條是我們今天通常在中學(xué)里學(xué)習(xí)的，因而值得一提：這是普萊費(fèi)爾(JohnPlayfair)1795年提出的平行公理的另一種說(shuō)法：過(guò)不在直線(xiàn)l上一給定點(diǎn)P（圖），有且僅有一條由l和P確定的平面上的直線(xiàn)，不與l相交。所有的替代公理似乎都比歐幾里得的要簡(jiǎn)單，但進(jìn)一步考察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們并不比歐幾里得的敘述更令人滿(mǎn)意。其中許多，包括普萊費(fèi)爾的敘述涉及到空間的無(wú)窮遠(yuǎn)處。另一方面，那些不直接提及“無(wú)限”的替代公理，例如，“存在兩個(gè)相似但不全等的三角形”，看起來(lái)比歐幾里得本人的平行公理更為復(fù)雜，更不可取。在試圖用第二種方法，即從其他九條公理中推出平行公理以解決平行公理問(wèn)題的努力中，最有意義的是薩謝利(GerolamoSaccheri)的工作。他是一個(gè)耶穌會(huì)教士，帕維爾大學(xué)的教授。他的思想是，如果你使用了一個(gè)本質(zhì)上不同于歐幾里得平行公理的公理的話(huà)，你將得出與他的其他公理矛盾的定理。這種矛盾意味著否認(rèn)平行公理——它是唯一存在疑問(wèn)的公理——是錯(cuò)誤的。因此歐幾里得的平行公理一定是正確的，即它是其余九條公理的推斷?？紤]普萊費(fèi)爾的公理，它與歐幾里得的公理是等價(jià)的，薩謝利首先假定過(guò)P點(diǎn)（圖）沒(méi)有與l平行的直線(xiàn)，則由這一公理和歐幾里得采用的其他九條公理，薩謝利確實(shí)推出了矛盾。薩謝利接著又試了其他可能的假設(shè)。即過(guò)P點(diǎn)至少有2條直線(xiàn)p和q，不管如何延伸總不與l相交。薩謝利進(jìn)一步證明了許多有趣的定理，直到他推出一個(gè)奇怪而且令人討厭的結(jié)論，他認(rèn)為它與前面得出的結(jié)論是矛盾的。由是薩謝利認(rèn)為有理由推出結(jié)論：歐幾里得的平行公理是其他公理的推論，因此將他的書(shū)命名為《歐幾里得無(wú)懈可擊》（1733年）。然而后來(lái)的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)薩謝利并未真正推出矛盾，因此平行公理的問(wèn)題依然存在。花在尋找一個(gè)可接受的歐幾里得平行公理的替代公理或證明它是其他九條公理的推論上的精力如此巨大而且徒勞無(wú)功，以致于達(dá)蘭貝爾在1759年稱(chēng)平行公理問(wèn)題是“幾何原理中的家丑”。漸漸地?cái)?shù)學(xué)家們開(kāi)始正確地理解歐幾里得的平行公理的重要性。1763年克呂格爾(GeorgS．Klugel)在他的博士論文中提出了引人注意的論點(diǎn)：即人們確信歐幾里得平行公理為真理是基于經(jīng)驗(yàn)的，他熟知薩謝利的書(shū)和許多試圖證明平行公理的方法，后來(lái)他成為海姆斯塔特大學(xué)的教授。這一論點(diǎn)首次引進(jìn)的思想是：公理的實(shí)質(zhì)在于符合經(jīng)驗(yàn)而并非其不證自明?？藚胃駹枌?duì)歐幾里得平行公理能夠證明表示懷疑，而且他認(rèn)識(shí)到薩謝利并未得出矛盾，僅僅得到一些奇怪的結(jié)果?？藚胃駹柕恼撐膯l(fā)了蘭伯特(JohannHeinrichLambert)在平行公理上所做的工作，在他的《平行線(xiàn)理論》（寫(xiě)于1766年，1786年出版）中，蘭伯特類(lèi)似于薩謝利，考慮了兩種不同的情況。他也發(fā)現(xiàn)假設(shè)過(guò)P沒(méi)有平行于l的直線(xiàn)（見(jiàn)圖4,3）會(huì)導(dǎo)出矛盾，但他與薩謝利不同的是他沒(méi)有得出假定過(guò)P至少有兩條平行線(xiàn)則得到矛盾的結(jié)論。而且，他意識(shí)到不推出矛盾的任何一組假設(shè)都能產(chǎn)生一種可能的幾何。盡管這種幾何可能與實(shí)際圖形沒(méi)有什么關(guān)系，但卻是一種有效的邏輯結(jié)構(gòu)。蘭伯特和其他人（例如克斯特納（AbrahamG．K?stner），哥廷根大學(xué)的教授，也是高斯的老師）的工作都強(qiáng)調(diào)一個(gè)基本點(diǎn)，就是歐幾里得的平行公理不能由其他九條歐幾里得的公理證明，那也就是說(shuō)，它是獨(dú)立于其他公理的。進(jìn)一步，蘭伯特認(rèn)為有可能通過(guò)引入一條異于歐幾里得平行公理的公理來(lái)建立一個(gè)邏輯上一致的幾何，盡管他沒(méi)有作出這種幾何應(yīng)用的可能性的判斷。這樣，他們?nèi)硕颊J(rèn)識(shí)到了非歐幾何的存在。從事歐幾里得平行公理工作最著名的數(shù)學(xué)家當(dāng)屬高斯。高斯十分清楚試圖證明歐幾里得平行公理是徒勞的，在哥廷根這已是常識(shí)。事實(shí)上，高斯的老師克斯特納完全了解這些工作及全部歷史。數(shù)年以后的1831年，高斯告訴他的一個(gè)朋友，早在1792年（當(dāng)時(shí)高斯只有15歲），他就已經(jīng)掌握能夠存在一種邏輯幾何的思想，歐幾里得平行公理在其中不成立。但是直到1799年，高斯仍然試圖從其他更可信的假設(shè)之中推導(dǎo)歐幾里得平行公理，而且盡管他能夠構(gòu)想出邏輯的非歐幾何，他還是相信歐氏幾何是物理空間的幾何。然而，1799年12月17日，高斯寫(xiě)信給他的同行和朋友，數(shù)學(xué)家鮑耶(Wolfgang

Bolyai)：至于說(shuō)到我，我在我的工作中已經(jīng)取得一些進(jìn)展，然而，我選擇的道路決不能導(dǎo)致我們尋求的目標(biāo)（平行公理的推導(dǎo)），而你讓我確信你已達(dá)到。這似乎反而迫使我懷疑幾何本身的真理性。誠(chéng)然，我所得到的許多東西，在大多數(shù)人看來(lái)都可以認(rèn)為是一種證明，而在我眼中卻什么也沒(méi)有證明。例如，如果我們能夠證明可以存在一個(gè)直線(xiàn)三角形，它的面積大于任何給定面積的話(huà)，那么我就立即能絕對(duì)嚴(yán)密地證明全部（歐幾里得）幾何。大多數(shù)人肯定會(huì)把這個(gè)當(dāng)作真理；但是我，不！實(shí)際上，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)無(wú)論取多么遠(yuǎn)，它的面積可能永遠(yuǎn)小于一定的極限。大約從1813年起，高斯開(kāi)始發(fā)展他的非歐幾何，最初稱(chēng)之為反歐幾何，后稱(chēng)星空幾何，最后稱(chēng)為非歐幾何。他相信它在邏輯上是相容的，并且確信它一定也是能夠應(yīng)用的。高斯在1824年11月8日寫(xiě)給他的朋友托里努斯(FranzAdolfTaurinus)的信中說(shuō)：假定（三角形）內(nèi)角之和小于180°將導(dǎo)出一種奇怪的幾何，它與我們的（歐氏）幾何迥然不同，然而卻是完全相容的，我已經(jīng)將它發(fā)展得令自己完全滿(mǎn)意了。它的定理看起來(lái)是矛盾的，但是，如果你從最開(kāi)始的不習(xí)慣開(kāi)始對(duì)它進(jìn)行平心靜氣的深入細(xì)致的思考，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這里并沒(méi)有包括什么不可能的東西。在1829年1月27日寫(xiě)給數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家貝塞爾的信中，高斯再一次肯定了平行公理不能由歐幾里得的其他公理證明出來(lái)。我們?cè)诖瞬挥懻摳咚箘?chuàng)建的非歐幾何的細(xì)節(jié)，他沒(méi)有寫(xiě)出過(guò)完整的推導(dǎo)，而他所證明的那些定理與我們很快將要討論的羅巴切夫斯基(Lobatchevsky)及J·鮑耶的工作多有相似之處。在給貝塞爾的信中他說(shuō)他也許永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)表他在這方面的發(fā)現(xiàn)，因?yàn)樗ε略馊俗I笑，或者如他所說(shuō)，他害怕波爾第人的嚷嚷（波爾第人是眾所周知的一個(gè)心智魯鈍的希臘部族）。但人們應(yīng)記得，雖然一些數(shù)學(xué)家逐漸達(dá)到非歐幾何研究的頂峰，然而在整個(gè)學(xué)術(shù)界占統(tǒng)治地位的信念仍然是，歐氏幾何是唯一可接受的幾何。我們所知道的高斯在非歐幾何上的工作，是從他給朋友們的信中透露出來(lái)的。1816年與1822年《哥廷根學(xué)報(bào)》上的兩篇短評(píng)和1831年的一些注記都是他去世后在遺物中發(fā)現(xiàn)的。兩個(gè)由于創(chuàng)建非歐幾何而獲得的榮譽(yù)多于高斯的人是羅巴切夫斯基和J·鮑耶。事實(shí)上，他們的工作是前人的創(chuàng)造性思想的壓軸戲，但是由于他們發(fā)表了系統(tǒng)的推導(dǎo)文章，他們通常被稱(chēng)為非歐幾何的創(chuàng)立者。羅巴切夫斯基是俄國(guó)人，他曾就讀于喀山大學(xué)，并在1821年到1846年間在那里任教授和校長(zhǎng)。從1825年起，他開(kāi)始在多篇論文和兩本書(shū)中就幾何基礎(chǔ)的問(wèn)題提出自己的觀點(diǎn)。J·鮑耶是W·鮑耶之子，系匈牙利軍官，他發(fā)表了一篇關(guān)于非歐幾何——他稱(chēng)之為絕對(duì)幾何——的26頁(yè)的論文《絕對(duì)空間的科學(xué)》，作為他父親的兩卷著作《為好學(xué)青年的數(shù)學(xué)原理論著》的第一卷的附錄，盡管這本書(shū)是1832—1833年出版的，但是在羅巴切夫斯基的著作出版之后，J·鮑耶似乎是在1825年就已經(jīng)形成了有關(guān)非歐幾何的思想，并且在那時(shí)就已確信新幾何不是自相矛盾的。在1823年11月23日寫(xiě)給他父親的一封信中，J·鮑耶寫(xiě)道：“我已得到如此奇異的發(fā)現(xiàn)，使我自己也為之驚訝不已?！备咚?，羅巴切夫斯基和J·鮑耶都認(rèn)識(shí)到歐幾里得的平行公理不能在其他九條公理基礎(chǔ)上證明，也認(rèn)識(shí)到附加平行公理是建立歐幾里得幾何所必需的。既然平行公理是獨(dú)立的，于是至少?gòu)倪壿嬌现v有可能采取一個(gè)與此相矛盾的命題，并從新的一組公理來(lái)推導(dǎo)出結(jié)論。這幾個(gè)人所創(chuàng)建的技術(shù)內(nèi)容相當(dāng)簡(jiǎn)單，由于他們?nèi)俗龅墓ぷ魇峭瑯拥?，這里我們只敘述羅巴切夫斯基的工作。羅巴切夫斯基果敢地放棄了歐幾里得的平行公理并提出自己的假設(shè)（與薩謝利的假設(shè)一樣）。給定一條直線(xiàn)AB和點(diǎn)P（圖），則所有過(guò)P的直線(xiàn)可按與AB的關(guān)系分為兩類(lèi)，即與AB相交的和不與AB相交的。第二類(lèi)中的兩條直線(xiàn)p、q是兩類(lèi)直線(xiàn)的邊界。更準(zhǔn)確地說(shuō)，若P是到AB垂直距離為a的一點(diǎn)，則存在銳角A，使得所有與直線(xiàn)PD夾角小于A的直線(xiàn)都與AB相交，與PD夾角大于等于A的直線(xiàn)不與AB相交，與PD夾角為A的直線(xiàn)p、q稱(chēng)為平行線(xiàn)，A叫做平行角。過(guò)P點(diǎn)且不與AB相交（不包括平行線(xiàn)）的直線(xiàn)稱(chēng)為不相交直線(xiàn)，盡管在歐幾里得的意義上它們是平行的。從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，羅巴切夫斯基幾何允許過(guò)P點(diǎn)有無(wú)限多條平行線(xiàn)。

圖趨于無(wú)窮大，A減小且趨于0。三角形的內(nèi)角和總是小于180°，且隨著三角形面積的減小而趨近于180°。而且，兩個(gè)相似三角形必定全等。任何較大的數(shù)學(xué)分支甚或較大的特殊成果，都不會(huì)只是個(gè)人的工作。充其量，某些決定性步驟或證明可以歸功于個(gè)人。這種數(shù)學(xué)積累發(fā)展特別適用于非歐幾何。如果非歐幾何意味著一系列包括異于歐幾里得平行公理的公理系統(tǒng)的發(fā)展，那么最大的功績(jī)必須歸于薩謝利。即便是他也利用了很多人尋求更易于接受的替換歐幾里得公理的工作。如果說(shuō)非歐幾何的創(chuàng)立意味著人們認(rèn)識(shí)到了除了歐氏幾何之外還可以有它種幾何的話(huà)，那么它的創(chuàng)立應(yīng)該歸功于克呂格爾和蘭伯特。然而關(guān)于非歐幾何最大的事實(shí)是它同樣可以像歐氏幾何一樣，準(zhǔn)確地描述物理空間的性質(zhì)。歐氏空間不是物理空間所必然有的幾何。它的物理真實(shí)性不能由任何先驗(yàn)基礎(chǔ)得證。這種認(rèn)識(shí)，不需要任何技術(shù)性的數(shù)學(xué)推導(dǎo)（因已有人做過(guò)），最早是由高斯得到的。根據(jù)他的一篇傳記可知，高斯曾經(jīng)試圖檢驗(yàn)這一觀點(diǎn)。他注意到在歐氏幾何中三角形內(nèi)角和為180°，而在非歐幾何中小于180°，他曾花了幾年時(shí)間對(duì)漢諾威王國(guó)進(jìn)行測(cè)量，并記錄了數(shù)據(jù)。因此有可能他用這些數(shù)據(jù)來(lái)測(cè)量三角形的內(nèi)角和。在1827年寫(xiě)的一篇著名的論文中，高斯注意到由布諾肯山(Brocken)、霍赫海根山(Hohehagen)和英色伯格山(Inselberg)三座山峰構(gòu)成的三角形內(nèi)角和為180°15″。這什么也證明不了，因?yàn)闇y(cè)量誤差遠(yuǎn)大于15″，也許正確的和不會(huì)超過(guò)180°，高斯一定意識(shí)到這個(gè)三角形太小了。因?yàn)樵谒姆菤W幾何中，三角形內(nèi)角和與180°的偏離程度正比于它的面積。只有非常巨大的三角形，比如在天文學(xué)研究中的三角形，才能顯示出明顯的偏離。然而高斯還是相信這門(mén)新的幾何和歐氏幾何一樣有實(shí)用性。羅巴切夫斯基也考慮了他的幾何在物理空間中的應(yīng)用，而且確實(shí)給出了證據(jù)，說(shuō)明它可用于非常大的幾何圖形。因此，到了19世紀(jì)30年代，非歐幾何已不僅僅是被少數(shù)幾個(gè)人接受了，而且它在物理空間的適用性被認(rèn)為至少是可能的。最初由高斯的工作提出的問(wèn)題——哪種幾何適合于物理空間——促使了一門(mén)新的幾何學(xué)的產(chǎn)生，它使數(shù)學(xué)界更加相信，物理空間的幾何可以是非歐幾里得的。它的創(chuàng)建者是黎曼(GeorgBernhardRiemann)，他是高斯的學(xué)生，后來(lái)成為哥廷根的數(shù)學(xué)教授。盡管他并不知道羅巴切夫斯基和J·鮑耶的工作的詳細(xì)內(nèi)容，但高斯是知道的，而且黎曼一定知道高斯對(duì)歐氏幾何的必然適用性持懷疑態(tài)度。高斯指定黎曼把幾何基礎(chǔ)作為他應(yīng)該發(fā)表的就職演說(shuō)的題目，這是黎曼為申請(qǐng)獲得無(wú)薪大學(xué)教師（其報(bào)酬直接來(lái)自學(xué)生的學(xué)費(fèi)）資格所應(yīng)做的演說(shuō)。黎曼于1854年給哥廷根的教授集團(tuán)做了這一演講（1868年它以《關(guān)于幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》為題發(fā)表），高斯也在場(chǎng)。在這篇論文中，黎曼重新考慮了空間結(jié)構(gòu)的全部問(wèn)題，他首先考慮的問(wèn)題是，關(guān)于物理空間，我們究竟可以確信什么？在我們憑經(jīng)驗(yàn)確定物理空間可能具有的性質(zhì)前，什么條件或事實(shí)必須預(yù)先假定呢？從這些被當(dāng)作公理的條件和事實(shí)出發(fā)，他打算推導(dǎo)出更多的性質(zhì)。這些公理和它們的邏輯結(jié)果應(yīng)該是先驗(yàn)的，絕對(duì)正確的。空間的任何其他性質(zhì)都必須是由經(jīng)驗(yàn)得到的。黎曼的目的之一是為了證明歐幾里得的公理，與其說(shuō)是自明的，還不如說(shuō)是經(jīng)驗(yàn)的。他采用了分析（微積分及其擴(kuò)展）的方法，因?yàn)樵趲缀巫C明中我們可能會(huì)被感覺(jué)誤導(dǎo)，去假定一些不是顯然可以承認(rèn)的事實(shí)。黎曼處理空間結(jié)構(gòu)的方法極富普遍性，在此我們沒(méi)有必要對(duì)它做詳細(xì)的討論。在研究什么可以作為先驗(yàn)知識(shí)的過(guò)程中，他區(qū)別了空間的無(wú)界和無(wú)限（這樣球的表面是無(wú)界但不是無(wú)限的），這一區(qū)別后來(lái)變得更為重要。他指出無(wú)界比無(wú)限具有更大的經(jīng)驗(yàn)可信度。黎曼關(guān)于空間可以是無(wú)界的而不是無(wú)限的這一觀點(diǎn)啟發(fā)了另一門(mén)重要的非歐幾何，現(xiàn)在稱(chēng)為雙橢圓幾何。最初黎曼自己和貝爾特拉米(EugenioBeltrami)認(rèn)為這門(mén)新的幾何只適用于某些特定的曲面（例如球的表面，這里大圓看成是“直線(xiàn)”）。但是后來(lái)凱萊(ArthurCayley)和其他受此思想啟發(fā)的數(shù)學(xué)家們認(rèn)為雙橢圓幾何與高斯、羅巴切夫斯基和J·鮑耶的幾何一樣，可以描述我們的三維物理空間，直線(xiàn)的定義是它們的根本區(qū)別。在雙橢圓幾何中直線(xiàn)是無(wú)界的但不是無(wú)限長(zhǎng)的，而且，沒(méi)有平行直線(xiàn)的概念。由于這門(mén)新幾何中保留了一些歐氏幾何的公理，所以有些定理的敘述是相同的。例如定理“三角形兩邊及一內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”是新的幾何中的一條定理。其他我們熟悉的全等定理也同樣成立。然而這門(mén)幾何中的主要定理異于歐氏幾何中的相應(yīng)定理，也異于高斯，羅巴切夫斯基和J·鮑耶的幾何定理。一條是說(shuō)，所有具有相同的有限長(zhǎng)度的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)。另一條則是，一條直線(xiàn)上的所有垂線(xiàn)交于一點(diǎn)，三角形的內(nèi)角和永遠(yuǎn)大于180°，不過(guò)當(dāng)三角形的面積趨于0時(shí)，內(nèi)角和趨于180°，相似三角形必全等。至于雙橢圓幾何的適用性，關(guān)于先前創(chuàng)立的非歐幾何——現(xiàn)在稱(chēng)為雙曲幾何——的適用性所做的所有討論，也具有同樣的效力。所有這些奇怪的幾何都可與歐氏幾何匹敵，甚至有可能取而代之。這種想法乍聽(tīng)起來(lái)很是荒謬，但是高斯接受了這一可能性。無(wú)論他是否確實(shí)使用了他在1827年的論文中記錄的測(cè)量方法來(lái)檢驗(yàn)非歐幾何的適用性，他是第一個(gè)不僅肯定非歐幾何的適用性而且是認(rèn)識(shí)到我們不能確信歐氏幾何的真理性的人。他是否受到休謨著作的影響不得而知，而且，他鄙薄康德對(duì)休謨的反駁，然而他生活在一個(gè)數(shù)學(xué)法則正在受到挑戰(zhàn)的時(shí)代，他一定在潛移默化中感受到了這種學(xué)術(shù)氣氛。一種新的學(xué)術(shù)氛圍總是在不知不覺(jué)中形成的，要是薩謝利早生100年，也許他也能得出高斯的結(jié)論。最初高斯似乎得出數(shù)學(xué)中沒(méi)有真理的結(jié)論，在1811年11月21日寫(xiě)給貝塞爾的一封信中他說(shuō)：“我們不該忘記，（復(fù)變）函數(shù)與其他所有的數(shù)學(xué)構(gòu)造一樣，只是我們自己的創(chuàng)造物，因此當(dāng)我們由之開(kāi)始的定義不再有意義的時(shí)候，我們就不應(yīng)當(dāng)再問(wèn)它是什么，而應(yīng)該問(wèn)，如何做出合適的假設(shè)，使它繼續(xù)有意義”。但沒(méi)有人樂(lè)意放棄囊中寶物，高斯顯然是重新考慮了數(shù)學(xué)的真理問(wèn)題并找到了立足的根據(jù)。在1817年寫(xiě)給奧伯斯(HeinrichW.的一封信中，他說(shuō)：“我越來(lái)越相信，我們的（歐幾里得）幾何的（物理）必然性是不可證明的，至少不能靠人的推理能力來(lái)證明，人的理性也不需要去證明它。也許來(lái)世我們將能獲得現(xiàn)在所不具備的對(duì)空間本質(zhì)的一種洞察力。而到那時(shí)我們已無(wú)需將幾何與算術(shù)置于同一地位，后者是一種純粹的先驗(yàn)知識(shí)，現(xiàn)在我們只能將幾何與力學(xué)相提并論?！备咚古c康德不同，他沒(méi)有把力學(xué)定律視為真理。其實(shí)他和大多數(shù)人都接受了伽利略的觀點(diǎn)，即這些定律是基于經(jīng)驗(yàn)的。1830年4月9日，高斯寫(xiě)信給貝塞爾說(shuō)：按照我最深的信念，在我們先驗(yàn)的知識(shí)中間，空間理論與純粹算術(shù)占有完全不同的地位，在我們關(guān)于空間理論的全部知識(shí)中，對(duì)作為純粹算術(shù)的特征的必然性（即絕對(duì)真理）缺少完全的信念，我們還必須謙卑地說(shuō)，如果數(shù)僅僅是我們思維的產(chǎn)物，那么空間在我們的思維之外有其實(shí)在性，它的法則我們不能完全先驗(yàn)地規(guī)定。高斯是在說(shuō)明，真理存在于算術(shù)中，因此也存在于建筑在算術(shù)之上的代數(shù)和分析（微積分及其擴(kuò)展）中，因?yàn)樗阈g(shù)的真實(shí)性對(duì)我們的心智來(lái)說(shuō)是明顯的。歐氏幾何是物理空間的幾何，是關(guān)于空間的真理，這一觀念在人們心中如此根深蒂固，以至于在許多年中，與之相悖的任何思想，包括高斯的，都被拒之門(mén)外。數(shù)學(xué)家康托爾（GeorgCantor）曾這樣評(píng)述這種無(wú)知的保守：一旦錯(cuò)誤的結(jié)論被廣泛接受，那么它將不會(huì)輕易地被放棄，而且對(duì)它懂得越少，則它的地位越牢固。羅巴切夫斯基和J·鮑耶的著作發(fā)表后三十年左右的時(shí)間中，除了少數(shù)幾個(gè)數(shù)學(xué)家外，幾乎所有數(shù)學(xué)家都對(duì)其置之不理，它們被視為異端邪說(shuō)。有些數(shù)學(xué)家并不否認(rèn)它們的邏輯上的一致性，另一些則相信它們必定包含著矛盾因而毫無(wú)價(jià)值。幾乎所有的數(shù)學(xué)家都堅(jiān)持相信物理空間的幾何，必須是歐氏幾何。不幸的是，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)拋棄了上帝，因此這位“神圣的幾何學(xué)家”拒絕吐露他是用這些彼此抗衡的幾何中的哪一個(gè)來(lái)設(shè)計(jì)宇宙的，數(shù)學(xué)家們只好殫精竭慮以尋求答案。1855年高斯死后（此時(shí)他的聲望已無(wú)人可比），他的筆記中的材料被公之于眾。1868年黎曼于1854年寫(xiě)就的論文的發(fā)表使得許多數(shù)學(xué)家相信，非歐幾何也可以是物理空間的幾何，我們不能再肯定哪門(mén)幾何一定是正確的。單是還有別的幾何存在就已是一個(gè)令人震驚的事實(shí)了，然而更令人震驚的是你不再知道哪個(gè)是正確的，或者究竟有沒(méi)有正確的。顯然，數(shù)學(xué)家們將基于有限的經(jīng)驗(yàn)顯得正確的命題作為公理，并錯(cuò)誤地相信了它們是自明的。數(shù)學(xué)家們陷入了馬克·吐溫描述的窘境：“人是宗教動(dòng)物，他是唯一具有真正宗教的——他們中的少數(shù)人?！狈菤W幾何及其隱含的關(guān)于幾何真理性的內(nèi)容逐漸被數(shù)學(xué)家們所接受。但并不是由于它的適用性的任何論據(jù)被加強(qiáng)了，而是正如普朗克（MaxPlanck），這位量子力學(xué)的奠基人在本世紀(jì)初所說(shuō)的：“一個(gè)新的科學(xué)真理并不是靠說(shuō)服它的對(duì)手并使其看見(jiàn)真理之光取勝，而是由于它的對(duì)手死了，新的一代熟悉它的人成長(zhǎng)起來(lái)了?！敝劣谡f(shuō)到整個(gè)數(shù)學(xué)的真理，有些數(shù)學(xué)家贊同高斯的觀點(diǎn)，真理存在于數(shù)中，它是算術(shù)、代數(shù)、微積分以及后續(xù)學(xué)科的基礎(chǔ)。當(dāng)雅可比（KarlGustavJacobJacobi）說(shuō)：“上帝一直在進(jìn)行算術(shù)化”的時(shí)候，他并沒(méi)有像柏拉圖那樣堅(jiān)持說(shuō)上帝永遠(yuǎn)在進(jìn)行幾何化?？雌饋?lái)數(shù)學(xué)家總算設(shè)法拯救并且保住了建筑在算術(shù)基礎(chǔ)之上那一部分?jǐn)?shù)學(xué)的真理性，這一部分到1850年時(shí)在科學(xué)上遠(yuǎn)比那幾門(mén)幾何使用得更為廣泛也更為活躍。不幸的是毀滅性的事情接踵而來(lái)，為了理解這些我們必須往回走一點(diǎn)點(diǎn)。從16世紀(jì)開(kāi)始，數(shù)學(xué)家們就在使用向量的概念了。一個(gè)向量，通常畫(huà)為一條有向線(xiàn)段，既有方向也有大小（圖）。它用來(lái)代表力，速度或其他方向和大小都有意義的量。同一平面內(nèi)的向量可在幾何上通過(guò)加、減、乘、除的運(yùn)算而得到一個(gè)新的向量。16世紀(jì)還引入了形如a＋bi的復(fù)數(shù)，。因此當(dāng)1800年左右，韋塞爾（CasparWessel），阿爾崗（Jean-RobertAr-gand）和高斯等幾個(gè)數(shù)學(xué)家意識(shí)到可用平面上的有向線(xiàn)段來(lái)表示復(fù)數(shù)（見(jiàn)圖）時(shí)，它的表示才變得方便起來(lái)。這些人馬上看出復(fù)數(shù)不僅可以用來(lái)表示平面上的向量，還可以用來(lái)表示向量的加、減、乘、除等運(yùn)算。即，復(fù)數(shù)被用作為向量的代數(shù)，正如整數(shù)和小數(shù)用來(lái)表示商業(yè)事務(wù)。因此，不需要用幾何進(jìn)行向量運(yùn)算而只要代數(shù)運(yùn)算就可以了。這樣求兩個(gè)向量OA和OB（圖）的和，根據(jù)平行四邊形法則作代數(shù)運(yùn)算可得出向量OC，用復(fù)數(shù)3＋2i表示OA，而用復(fù)數(shù)2＋4i表示OB，其和5＋6i就表示向量OC。

圖

圖

圖這種用復(fù)數(shù)來(lái)表示平面上的向量及其運(yùn)算的方法到1830年時(shí)已經(jīng)差不多是眾所周知的了。然而，如果幾個(gè)力作用于一個(gè)物體，則這些力及其向量表示不一定通常也不會(huì)總在同一平面上。如果為了方便起見(jiàn)將通常實(shí)數(shù)稱(chēng)為一維數(shù)，復(fù)數(shù)為二維數(shù)，那么，要用什么來(lái)表示空間中某種三維數(shù)的向量及其代數(shù)運(yùn)算呢？人們希望對(duì)這種三維數(shù)進(jìn)行的運(yùn)算，類(lèi)似于復(fù)數(shù)的情況，將必須包括加、減、乘、除，而且必須滿(mǎn)足通常實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)所具有的那些性質(zhì)。這樣代數(shù)運(yùn)算才能自由且有效地使用。于是，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始尋找一種稱(chēng)為三維復(fù)數(shù)及其代數(shù)的數(shù)。有許多數(shù)學(xué)家從事了這一問(wèn)題的研究。1843年，哈密爾頓提出了一個(gè)有用的復(fù)數(shù)的空間類(lèi)似物，哈密爾頓為此困惑了15年。那時(shí)數(shù)學(xué)家們所知道的所有的數(shù)都具有乘法的交換性，即ab=ba，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數(shù)或三元數(shù)，也應(yīng)該具有這一性質(zhì)以及其他實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)具有的性質(zhì)。哈密爾頓終于成功了，不過(guò)他被迫作出兩點(diǎn)讓步。首先，他的新數(shù)包含四個(gè)分量，其次，他不得不犧牲了乘法交換律。這兩個(gè)特點(diǎn)對(duì)代數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)都是革命性的，他把這種新的數(shù)叫做四元數(shù)。a+bi+cj+dki2=j2=k2=－1兩個(gè)四元數(shù)相等的準(zhǔn)則是系數(shù)a、b、c、d都對(duì)應(yīng)相等。兩個(gè)四元數(shù)相加只要將對(duì)應(yīng)系數(shù)分別相加形成新的系數(shù)，這樣和本身也是一個(gè)四元數(shù)。為了定義乘法，哈密爾頓不得不規(guī)定i與j，i與k及j與k的乘積。為了保證乘積是一四元數(shù)，并且盡可能多地保留實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的特點(diǎn)，他約定：jk=i，kj=－i，ki=j，ik=－j，ij=k，ji=－k，這些約定意味著乘法是不可能交換的。這樣若p和q為四元數(shù)，則pq不等于qp。一個(gè)四元數(shù)被另一個(gè)四元數(shù)除也是可以做的，然而，乘法的不可交換性蘊(yùn)含了用四元數(shù)q去除四元數(shù)p時(shí)，可以意味著找到r，使得p=qr或p=rq，商r在兩種情形下可能不等。盡管四元數(shù)并沒(méi)有像哈密爾頓希望的那樣有廣泛的使用價(jià)值，他還是能用它們來(lái)解決大量的物理和幾何問(wèn)題。四元數(shù)的引入給了數(shù)學(xué)家們又一次震動(dòng)。它是一個(gè)確確實(shí)實(shí)有實(shí)際用途的代數(shù)，卻不具備所有實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)都具備的基本性質(zhì)，即ab=ba。哈密爾頓發(fā)明四元數(shù)后不久，從事其他領(lǐng)域研究的數(shù)學(xué)家們引入了更奇怪的代數(shù)。著名代數(shù)幾何學(xué)家凱萊引進(jìn)了矩陣，它是矩形或正方形數(shù)組。對(duì)它們也可進(jìn)行通常的代數(shù)運(yùn)算。但是如同在四元數(shù)中的情形一樣，它也沒(méi)有乘法可交換性。而且即使兩個(gè)矩陣都不為0，它們的積也可能為0。四元數(shù)和矩陣只不過(guò)是許多性質(zhì)越來(lái)越奇怪的代數(shù)的先驅(qū)。格拉斯曼（HermannGuntherGrassmann）發(fā)明了許多這樣的代數(shù)。它們甚至比哈密爾頓的四元數(shù)還要一般化。不幸，格拉斯曼只是個(gè)中學(xué)教師，因此過(guò)了許多年他的工作才獲得了應(yīng)有的注意。無(wú)論怎樣，格拉斯曼工作增添了現(xiàn)在稱(chēng)為超復(fù)數(shù)的新代數(shù)中的多樣性。為了特別的目的而創(chuàng)建的這些新代數(shù)本身并沒(méi)有向普通的算術(shù)及其擴(kuò)展在代數(shù)和分析中的真理提出挑戰(zhàn)。畢竟，一般的實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)可用于完全不同的目的，它們的實(shí)用性是無(wú)可質(zhì)疑的。然而，新代數(shù)的出現(xiàn)使人們對(duì)熟悉的算術(shù)和代數(shù)中的真理提出了質(zhì)疑，正如接受了新的文明的習(xí)俗的人開(kāi)始反省他們自己。對(duì)算術(shù)真理的最嚴(yán)重的打擊來(lái)自于亥姆霍茲（HermannvonHelmholtz），他是個(gè)卓越的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和醫(yī)生。在他的《算與量》（1887年）一書(shū)中，他認(rèn)為數(shù)學(xué)的主要問(wèn)題是算術(shù)對(duì)物理現(xiàn)象的自適應(yīng)性的證明，他的結(jié)論是只有經(jīng)驗(yàn)?zāi)芨嬖V我們算術(shù)的法則能用在哪里，我們并不能肯定一條先驗(yàn)公式是否在任何情況下都適用。亥姆霍茲考慮了許多相關(guān)的問(wèn)題，數(shù)的概念本身來(lái)自于經(jīng)驗(yàn)，某些經(jīng)驗(yàn)啟發(fā)了通常類(lèi)型的數(shù)：整數(shù)、分?jǐn)?shù)和無(wú)理數(shù)及其性質(zhì)。對(duì)于這些經(jīng)驗(yàn)，熟悉的數(shù)是適用的。我們認(rèn)識(shí)到存在確實(shí)相等的物體，因此我們可以說(shuō)，例如，兩頭牛。然而，這些物體必須不能消失、混合或分割。一個(gè)雨滴與另一個(gè)雨滴相加并不能得到兩個(gè)雨滴。甚至是相等的概念也不能自動(dòng)地用于經(jīng)驗(yàn)?？雌饋?lái)如果物體a=c而b=c則一定有a=b。但是有可能兩個(gè)音聽(tīng)起來(lái)都與第三個(gè)音相同，而耳朵卻可以區(qū)別出前兩個(gè)音。這里與同一事物相同的事物并不相同，同樣地，顏色a和c看起來(lái)都和b相同，而a和c卻是有區(qū)別的。還可舉出許多例子來(lái)說(shuō)明簡(jiǎn)單地應(yīng)用算術(shù)可能會(huì)導(dǎo)出荒謬的結(jié)果。如果你將等體積的兩份水混合。一份溫度為40°F，另一份為50°F，你并不能得到溫度為90°F的兩份體積的水。一個(gè)頻率為100赫茲和另一個(gè)200赫茲的單音疊加，得到的并不是頻率300赫茲的單音，事實(shí)上合成音的頻率還是100赫茲。電路中兩個(gè)大小分別為R1和R2的電阻并聯(lián)，它們的等效電阻是R1R2/（R1+R2）。正如勒貝格（Henri

Lebesgue）所調(diào)侃的，你把一頭獅子和一只兔子關(guān)在同一個(gè)籠子里，最后籠子里絕不會(huì)還有兩只動(dòng)物。我們?cè)诨瘜W(xué)中知道，將氫和氧混合就得到水。但是如果將兩體積的氫和一體積的氧混合得到的不是三體積而是兩體積的水蒸氣。同樣，一體積氮?dú)夂腿w積氫氣作用生成兩體積氨氣。我們碰巧知道這些令人驚訝的算術(shù)事實(shí)的物理解釋。根據(jù)阿伏伽德羅假設(shè)，同一溫度、同一壓強(qiáng)下，體積相同的任何氣體所含分子數(shù)相同。這樣，如果給定體積的氫氣含有10個(gè)分子，則兩倍這一體積的氫氣含有20個(gè)分子。碰巧氧氣和氫氣都是雙原子分子，即每個(gè)分子由兩個(gè)原子組成。這20個(gè)雙原子氫分子中的每個(gè)都與10個(gè)氧分子中的一個(gè)原子結(jié)合從而得到20個(gè)水分子，即兩體積的水蒸氣而不是三體積。由此可以看出算術(shù)不能正確描述按體積混合氣體的結(jié)果。一般來(lái)說(shuō)，算術(shù)也不能正確反映按體積混合液體的結(jié)果。一夸脫的杜松子酒與一夸脫苦艾酒混合，得到的不是兩夸脫混合物而是稍微少一些。一夸脫酒精與一夸脫水混合得到大約1．8夸脫的伏特加。對(duì)于大多數(shù)酒類(lèi)這一點(diǎn)都是正確的。三茶匙水加上一茶匙鹽不會(huì)是四茶匙。有些化學(xué)混合物不僅不按體積增加，還會(huì)爆炸。不僅是整數(shù)的性質(zhì)在許多物理情況下不成立，許多實(shí)際情況中還要用到不同的分?jǐn)?shù)計(jì)算。讓我們以棒球?yàn)槔齺?lái)考慮（這當(dāng)然是上百萬(wàn)美國(guó)人所感興趣的問(wèn)題）。假設(shè)一個(gè)運(yùn)動(dòng)員在一場(chǎng)比賽中擊球3次，在另一場(chǎng)比賽中擊球4次，那么他總共擊了幾次球？這沒(méi)有什么困難，他一共擊球7次。假設(shè)他在第一場(chǎng)比賽中有2次擊球成功，即到達(dá)第一壘或更遠(yuǎn)，在第二場(chǎng)中成功3次，兩場(chǎng)比賽中他一共成功幾次呢？這也沒(méi)有什么困難，一共是5次。然而，觀眾和對(duì)手本人通常最感興趣的是平均擊中率，也就是擊中次數(shù)與擊球次數(shù)的比例。在第一場(chǎng)中比例是2/3，第二場(chǎng)中是3/4。假設(shè)該球手或者一個(gè)棒球迷想用這兩個(gè)比例來(lái)計(jì)算兩次比賽的平均擊中率，可能有人會(huì)以為用通常分?jǐn)?shù)相加的辦法就可以了，即這個(gè)結(jié)果當(dāng)然是很荒謬的，他不可能在12次機(jī)會(huì)中擊中17次。顯然，通常將兩次比賽的平均擊中率相加來(lái)得到兩次比賽的平均擊中率的辦法是行不通的。我們?cè)鯓硬拍苡蓛纱伪荣惛髯缘钠骄鶕糁新是蟮眠@兩次比賽的平均擊中率呢？答案是用一種新的分?jǐn)?shù)加法。我們知道聯(lián)合的平均擊中率是5/7，而單場(chǎng)比賽的擊中率分別是2/3和3/4，我們看到如果把分子和分母對(duì)應(yīng)相加得到新的分?jǐn)?shù)，這就是正確答案，即假設(shè)這個(gè)加號(hào)意味著分子相加和分母相加。這種分?jǐn)?shù)加法在其他情況下也是有用的。一個(gè)借助電話(huà)搞推銷(xiāo)的商人在第一天的五個(gè)推銷(xiāo)電話(huà)中成功了三次，第二天七次成功了四次，他把這些記錄下來(lái)。為了得到正確的成功率，他必須把3/5和4/7按平均擊中率的那種方法計(jì)算，這兩天中他的記錄是在總共12個(gè)電話(huà)中成功了7次，這樣7/12就是3/5＋4/7，假設(shè)加號(hào)意味著分子相加和分母相加。再舉一個(gè)更為一般的例子。假設(shè)一輛汽車(chē)用2小時(shí)走了50英里，用3小時(shí)走了100英里，那么兩次旅行的平均速度是多少呢？你可以說(shuō)這輛車(chē)用5個(gè)小時(shí)走了150英里。因此它的平均速度是每小時(shí)30英里。然而，分別計(jì)算每次的平均速度通?？偸怯杏玫摹５谝淮温眯械钠骄俣仁?0/2，第二次是100/3，如果將這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相加、分母相加，則也得到正確答案。一般來(lái)說(shuō)4/6=2/3，然而在上面討論的分?jǐn)?shù)相加中，例如2/3＋3/5，就不能用4/6代換2/3。因?yàn)榍罢呓Y(jié)果為7/11，后者則為5/8，而這兩個(gè)答案并不相等。更進(jìn)一步，在通常的算術(shù)中，5/1和7/1就像整數(shù)5和7一樣，在我們的新算術(shù)中，將5/1和7/1作為分?jǐn)?shù)求和，我們得到的是12/2，而不是12/1。這些可以稱(chēng)之為棒球算術(shù)的例子確實(shí)說(shuō)明可以引進(jìn)與以前我們熟悉的運(yùn)算不同的運(yùn)算，這樣就創(chuàng)造了一個(gè)實(shí)用的算術(shù)。事實(shí)上也確實(shí)存在許多其他的算術(shù)，然而，一個(gè)真正的數(shù)學(xué)家絕不會(huì)憑一時(shí)的興致去發(fā)明一種代數(shù)。一種代數(shù)總是為了表示一類(lèi)物理世界的現(xiàn)象而創(chuàng)造的，正像我們上面的分?jǐn)?shù)加法適用于兩次擊球平均率的合成。我們可以通過(guò)定義適合于這類(lèi)物理現(xiàn)象的運(yùn)算很方便地對(duì)物理世界發(fā)生的事情進(jìn)行研究。只有經(jīng)驗(yàn)?zāi)芨嬖V我們普通的算術(shù)何處可應(yīng)用于給定的物理現(xiàn)象，這樣就不能說(shuō)算術(shù)是一定適用于物理現(xiàn)象的一個(gè)真理體系。當(dāng)然，由于代數(shù)和分析是算術(shù)的延伸，它們也不是真理體系。因此，數(shù)學(xué)家們只能得出這個(gè)令人沮喪的結(jié)論：數(shù)學(xué)中沒(méi)有真理，即作為現(xiàn)實(shí)世界普適法則意義上的真理。算術(shù)和幾何基本結(jié)構(gòu)的公理是受經(jīng)驗(yàn)啟發(fā)得出的，因而這些結(jié)構(gòu)的適用性是有限的，它們?cè)谀睦锸沁m用的只能由經(jīng)驗(yàn)來(lái)決定。希臘人試圖從幾條自明的真理出發(fā)和僅僅使用演繹的證明方法來(lái)保證數(shù)學(xué)的真實(shí)性被證明是徒勞的。對(duì)許多富有思想的數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)不是一個(gè)真理體系這一事實(shí)實(shí)在是難以接受。似乎上帝想用多種幾何和代數(shù)來(lái)使他們困惑，正如他曾用不同的語(yǔ)言困惑了建筑巴別塔的人們那樣。因此他們拒絕接受這些新的發(fā)明。哈密爾頓毫無(wú)疑問(wèn)是一位杰出的數(shù)學(xué)家，在1837年他表達(dá)了他對(duì)非歐幾何的不滿(mǎn)：沒(méi)有哪一個(gè)坦白的、有智力的人會(huì)懷疑兩千年前歐幾里得在他的《幾何原本》中提出的平行線(xiàn)的主要性質(zhì)，盡管他可能會(huì)希望看到它們以更明確更好的方式來(lái)敘述。這些性質(zhì)中沒(méi)有任何令人費(fèi)解或含混不清之處，沒(méi)有任何你可以懷疑的地方，雖然可以經(jīng)常動(dòng)動(dòng)腦筋改進(jìn)它們的表達(dá)方式。凱萊在1883年就任英國(guó)科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì)主席的演說(shuō)詞中強(qiáng)調(diào)：我本人的觀點(diǎn)是歐幾里得的第十二公理（通常稱(chēng)之第五公理或平行公理）的普萊費(fèi)爾形式不需要證明，它是我們的空間概念的一部分。這里指的是我們經(jīng)驗(yàn)中的物理空間——我們通過(guò)經(jīng)驗(yàn)來(lái)了解這個(gè)空間。但它的表示是建立在所有外部經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的……注意到歐氏空間長(zhǎng)期以來(lái)一直被當(dāng)作是我們經(jīng)驗(yàn)的物理空間，所以幾何學(xué)的命題對(duì)于歐氏空間不僅僅是近似的真實(shí)的，而且是絕對(duì)真實(shí)的。F·克萊因（FelixKlein），近代的一個(gè)真正偉大的數(shù)學(xué)家，表達(dá)了差不多是同樣的觀點(diǎn)。盡管凱萊和F·克萊因本人都從事過(guò)非歐幾何工作，他們卻把非歐幾何看作是在歐氏幾何中引入人為的新的距離函數(shù)時(shí)產(chǎn)生的奇異結(jié)果。他們拒絕承認(rèn)非歐幾何和歐氏幾何一樣基本和實(shí)用，他們的立場(chǎng)在相對(duì)論時(shí)代以前看來(lái)還是無(wú)懈可擊的。羅素也相信數(shù)學(xué)的真實(shí)性，盡管他在某種程度上限制了這種真實(shí)性。上個(gè)世紀(jì)90年代他提出了這樣的問(wèn)題：空間的哪些性質(zhì)對(duì)經(jīng)驗(yàn)是必需的，而且是由經(jīng)驗(yàn)假定了的。也就是說(shuō)，如果在這些先驗(yàn)性質(zhì)中有任何一條被否定，那么經(jīng)驗(yàn)就變得毫無(wú)意義了。他在《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的隨筆》（1897年）中，贊同歐氏幾何不是一門(mén)先驗(yàn)知識(shí)這一見(jiàn)解。他斷言，就一切幾何學(xué)來(lái)說(shuō)，倒不如認(rèn)為射影幾何是先驗(yàn)的。這個(gè)結(jié)論在1900年前后，從射影幾何的重要性的觀點(diǎn)來(lái)看，是可以理解的。然后他就把歐氏幾何和一切非歐幾何所共有的公理，當(dāng)作先驗(yàn)的東西添加到射影幾何中去，加進(jìn)去的那些東西（空間的齊次性，維數(shù)的有窮性以及距離的概念）使得度量成為可能。羅素還指出，定性的考慮必須在定量考慮之前，而這一觀點(diǎn)加強(qiáng)了射影幾何的先驗(yàn)性。至于說(shuō)到度量幾何，即歐氏幾何和幾種非歐幾何，它們可以由射影幾何通過(guò)引入某個(gè)特定的度量概念而導(dǎo)出，這一事實(shí)羅素認(rèn)為只不過(guò)是一種技術(shù)上的成就而沒(méi)有什么哲學(xué)意義。無(wú)論如何，它們持有的那些特殊定理并不是先驗(yàn)的。在對(duì)待這幾種基本的度量幾何上，羅素不同于凱萊和克萊因。他認(rèn)為它們都處于同等的邏輯地位，因?yàn)榫邆渖厦婺切┬再|(zhì)的度量空間只有歐氏空間、雙曲空間的和單、雙橢圓空間，所以羅素認(rèn)為所有可能的度量空間只有這幾種，而歐氏空間則當(dāng)然是僅有的確實(shí)可用的空間，其他那些空間在證明可能存在別的幾何學(xué)時(shí)，有其哲學(xué)上的重要性。現(xiàn)在我們回過(guò)頭來(lái)看，可以說(shuō)羅素?zé)o非是用一種射影癖代替了歐幾里得癖。羅素多年以后承認(rèn)，他的《隨筆》是他年輕時(shí)代的一部著作，其觀點(diǎn)是無(wú)法站得住腳的。然而我們后面將會(huì)看到，他和其他人為了建立算術(shù)的真實(shí)性而確立了一個(gè)新的基礎(chǔ)（見(jiàn)第十章）。數(shù)學(xué)家對(duì)某種基礎(chǔ)的真理的執(zhí)著探索是可以理解的。多少世紀(jì)以來(lái)，用數(shù)學(xué)去描述和預(yù)測(cè)物理現(xiàn)象一直取得輝煌的成功，這使得任何人，尤其是那些被他們自己的發(fā)明陶醉得飄飄然的