注冊結(jié)構(gòu)師概率論之隨機事件的概率講義

概率論與數(shù)理統(tǒng)計1、隨機事件

2、隨機事件的概率3、條件概率4、事件的獨立性

一、隨機事件的概率1）可以在相同的條件下重復(fù)進行；2）每次實驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確實驗的所有可能結(jié)果；3）進行一次實驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).

(1)隨機試驗：具有以下三個特點的試驗稱為隨機試驗1、隨機事件一、隨機事件及概率(2)樣本空間(Space)

將隨機試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為

E的樣本空間，記為S.樣本空間的元素，即E的每個結(jié)果，稱為樣本點.一、隨機事件的概率隨機事件:

稱試驗E的樣本空間

S的子集為

E的

隨機事件；基本事件:

有一個樣本點組成的單點集；必然事件:

樣本空間S本身；不可能事件:

空集.

(3)隨機事件

我們稱一個隨機事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個樣本點在試驗中出現(xiàn).一、隨機事件的概率(4)事件間的關(guān)系與運算10

包含關(guān)系

SAB事件B發(fā)生事件A發(fā)生SAB20

和事件

30積事件SAB發(fā)生A,B中至少有一個發(fā)生發(fā)生A,B同時發(fā)生AB

40

差事件AB發(fā)生A發(fā)生且B不發(fā)生BA50

互不相容60

對立事件

AA,B不能同時發(fā)生A,B有且只有一個發(fā)生(5)隨機事件的運算規(guī)律冪等律:交換律:

結(jié)合律:分配律:DeMorgan定律:2.隨機事件的概率

1)頻率:在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù).比值n

A/n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記成fn(A).

(1)概率的定義及性質(zhì)頻率具有波動性和穩(wěn)定性,頻率的穩(wěn)定值稱為概率2)概率的公理化定義

設(shè)

E是隨機試驗，S

是它的樣本空間，對于

E

的每一個事件A

賦予一個實數(shù)，記為稱為事件A

的概率，要求集合函數(shù)滿足下列條件：

SAB3)概率的性質(zhì)SABSA樣本空間的元素只有有限個；

每個基本事件發(fā)生的可能性相同.

(2)等可能概型（古典概型）

1)定義：我們把這類實驗稱為等可能概型，考慮到它在概率論早期發(fā)展中的重要地位，又把它叫做古典概型.

設(shè)試驗E是古典概型,其樣本空間S由n個樣本點組成,事件A由k個樣本點組成.

則事件A的概率為：

A包含的樣本點數(shù)

P(A)＝k/n＝

S中的樣本點總數(shù)排列組合是計算古典概率的重要工具.2)計算方法

例1.甲、乙等五名志愿者被隨機地分到A、B、C、D四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者。（1）求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率;

(2)求甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率。

解（1）（2）(3)幾何概型

幾何概型考慮的是有無窮多個等可能結(jié)果的隨機試驗。首先看下面的例子。

例2(會面問題）甲、乙二人約定在12點到5點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去設(shè)二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率。解：以X,Y

分別表示甲乙二人到達的時刻，于是

即點M落在圖中的陰影部分。所有的點構(gòu)成一個正方形，即有無窮多個結(jié)果。由于每人在任一時刻到達都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點是等可能的。012345yx54321.M(X,Y)二人會面的條件是：

012345yx54321y-x=1y-x=-13、條件驗概率設(shè)A、B是某隨機霉試驗中的脆兩個事件完，且則稱事件B在事件A已發(fā)生顫的條件婦下的概讀率為B在A之下的條斗件概率，站記為(1)條件概率例3盒中有4揉個外形相邪同的球，圖它們的標(biāo)裁號分別為1、海2、3玩、4，澡每次從強盒中取名出一球蜻，有放回地取洪兩次．則該試厘驗的所題有可能泥的結(jié)果賺為(1,窯1)餅(1圾,2)甜(碌1,3微)侮(1,乒4)(2,蹤蝶1)沃(2滑,2)花(蔽2,3馳)黨(2,六4)(3,蹄1)忍(3作,2)難(黃3,3索)螺(3,家4)(4,睡1)勞(4燭,2)惹(當(dāng)4,3獅)營(4,命4)其中(i,j)表示第固一次取i號球，辨第二次串取j號球設(shè)A={第一次折取出球額的標(biāo)號蹄為2習(xí)}B={取出的餐兩球標(biāo)際號之和音為4蓄}則事件B所含的樣葡本點為(1,陣3)吩(2慢,2)壘(趙3,1潤)因此事板件B的概率華為:若我們漏考慮在央事件A發(fā)生的到條件下痰，事件B發(fā)生的收概率并席記此概弱率為:由于已屢知事件A已經(jīng)發(fā)生脊，則該試屢驗的所有燙可能結(jié)果迅為(2,勒1)忽(2吊,2)村(吧2,3言)兄(2,臭4)這時，照事件B是在事箱件A已經(jīng)發(fā)坊生的條憂件下的閉概率，礎(chǔ)因此這苗時所求冠的概率滅為注：由例1可愉以看出，展事件在“艙條件A已發(fā)生這腸附加條件喊的概率與姑不附加這由個條件的擴概率是不影同的．由于故稱為在事鍵件A已發(fā)生的壟條件下事心件B的條件感概率，紐奉簡稱為B在A之下的假條件概勞率。在例5中，我課們已求權(quán)得定義設(shè)A、B是某隨機試驗中的兩個事件，且則例5已知某家而庭有3個狀小孩，且裝至少有一吐個是女孩天，求該家征庭至少有筒一個男孩漫的概率．則所以解：設(shè)A={緊3個小孩至當(dāng)少有一個援女孩}B={揀3個小孩至扛少有一個思男孩}(2)乘法公式由條件爸概率的洽計算公減式我們得這就是兩雖個事件的盼乘法公式括．則有這就是n個事件的枯乘法公式憶．例6袋中有一蔑個白球與史一個黑球潑，現(xiàn)每次坦從中取出啄一球，若撓取出白球間，則除把賺白球放回斑外再加進罩一個白球析，直至取湖出黑球為仿止．求取丹了n次都未取遼出黑球的診概率．解：則由乘法逗公式，狗我們有(3）全概率素公式和貝歐葉斯公式SA1A2An…..材.BA1BA2…...BAn

定義設(shè)S

為試驗E

的樣本空間，

為E的一組事件。若滿足(1)(2)則稱為樣本空間S的一個劃分。

1)全概率公狼式：設(shè)隨機演事件滿足：全概率汽公式的冊使用我們把花事件B看作某一絲式過程的結(jié)勻果，根據(jù)歷史造資料，每蒜一原因發(fā)檢生的概率婦已知，而且每一壓原因?qū)Y(jié)氧果的影響讀程度已知蜓，則我們擦可用全這概率公誕式計算棟結(jié)果發(fā)浴生的概她率．例8某小組有嫩20名射娛手，其中窄一、二、胞三、四級膛射手分別鈔為2、6甜、9、3貴名．又若注選一、二配、三、四軌級射手參畜加比賽，糠則在比賽朽中射中目譯標(biāo)的概率嫂分別為0膝.85、巷0.64戰(zhàn)、0.4貫5、0.料32，今綢隨機選一普人參加比危賽，試求跨該小組在煩比賽中射奧中目標(biāo)的急概率．解：由全概塵率公式滿，有2)貝葉斯斗公式設(shè)隨機事狼件滿足則貝葉斯目公式的尚使用我們把事等件B看作某一糾過程的結(jié)丑果，根據(jù)歷史或資料，每務(wù)一原因發(fā)防生的概率京已知，而且每智一原因絹對結(jié)果涼的影響堡程度已蒙知，如果已洞知事件B已經(jīng)發(fā)煌生，要粒求此時沫是由第i個原因引種起的概率糠，則用Baye嬌s公式例9用某種方佛法普查肝稍癌，設(shè)：A={用此方縱法判斷示被檢查娃者患有律肝癌設(shè)}，D={被檢查遍者確實編患有肝壁癌}廢，已知現(xiàn)有一運人用此逗法檢驗攔患有肝丙癌，求辨此人真民正患有痛肝癌的煉概率．例9（續(xù)）解：蓬由桌已知，懷得所以，由Baye舉s公式，怕得例11袋中有a只黑球，b只白球．擔(dān)每次從中妨取出一球，取后斥放回．令萄：A={第一次取箏出白球}，B={第二次礙取出白弦球}，則4.兩事件謙的獨立辨性所以，厭由由例11，可知這表明涉，事件A是否發(fā)葵生對事側(cè)件B是否發(fā)皆生在概閘率上是嘩沒有影婆響的，端即事件A與B呈現(xiàn)出標(biāo)某種獨販立性．辰事實上航，由于進是有放溝回摸球寸，因此更在第二侍次取球斑時，袋赴中球的區(qū)總數(shù)未肅變，并手且袋中澆的黑球輝與白球貪的比例膊也未變到，這樣補，在第關(guān)二次摸燃出白球晌的概率誦自然也兇未改變素．由此，我萌們引出事留件獨立性梅的概念定義:設(shè)A、B是兩個淡隨機事描件，如隸果