平穩(wěn)時間序列分析

平穩(wěn)時間序列分析第1頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一本章結(jié)構(gòu)方法性工具

ARMA模型

平穩(wěn)序列建模序列預(yù)測

第2頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一2.1方法性工具

差分運算延遲算子線性差分方程第3頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一差分運算一階差分階差分

步差分第4頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一延遲算子延遲算子類似于一個時間指針，當前序列值乘以一個延遲算子，就相當于把當前序列值的時間向過去撥了一個時刻

記B為延遲算子，有

第5頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一延遲算子的性質(zhì)

，其中

第6頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一2.2ARMA模型的性質(zhì)

AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）

ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）第7頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一AR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當

時，稱為中心化模型第8頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一自回歸系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

自回歸系數(shù)多項式第9頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計性質(zhì)均值方差協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)第10頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一均值如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且為白噪聲序列，有推導(dǎo)出第11頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性呈負指數(shù)衰減第12頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.1:考察如下AR模型的自相關(guān)圖第13頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.1—自相關(guān)系數(shù)按負指數(shù)單調(diào)收斂到零第14頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.1:—自相關(guān)系數(shù)正負相間的衰減第15頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.1:—自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出周期性余弦衰減偽周期性第16頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.1:—自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減第17頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一偏自相關(guān)系數(shù)定義對平穩(wěn)AR(p)序列，滯后k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個隨機變量的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后，對影響的相關(guān)度量。用數(shù)學(xué)語言描述就是第18頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一偏自相關(guān)系數(shù)的計算滯后k偏自相關(guān)系數(shù)實際上就等于k階自回歸模型第個k回歸系數(shù)的值。第19頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)P階截尾第20頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.5續(xù):考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖第21頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.1—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第22頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.1:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第23頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.1:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖第24頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.1:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖第25頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型第26頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一移動平均系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階移動平均系數(shù)多項式第27頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)常數(shù)均值常數(shù)方差第28頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)拖尾第29頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.2:考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)第30頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

第31頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一MA模型的自相關(guān)系數(shù)截尾

第32頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

第33頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾

第34頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一ARMA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型第35頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階自回歸系數(shù)多項式階移動平均系數(shù)多項式第36頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計性質(zhì)均值協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)第37頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一ARMA模型的相關(guān)性自相關(guān)系數(shù)拖尾偏自相關(guān)系數(shù)拖尾第38頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.3:考察ARMA模型的相關(guān)性擬合模型ARMA(1,1):

并直觀地考察該模型自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)。

第39頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)拖尾性樣本自相關(guān)圖樣本偏自相關(guān)圖第40頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一ARMA模型相關(guān)性特征模型自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)AR(P)拖尾P階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾第41頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一2.3平穩(wěn)序列建模

建模步驟模型識別參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ蛢?yōu)化序列預(yù)測第42頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一建模步驟平穩(wěn)非白噪聲序列計算樣本相關(guān)系數(shù)模型識別參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ蛢?yōu)化序列預(yù)測YN第43頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一模型識別基本原則選擇模型拖尾P階截尾AR(P)q階截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)第44頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一模型定階的困難因為由于樣本的隨機性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應(yīng)截尾的或仍會呈現(xiàn)出小值振蕩的情況由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù)，與都會衰減至零值附近作小值波動？當或在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動呢？

第45頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一模型定階經(jīng)驗方法如果樣本(偏)自相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標準差范圍，而后幾乎95％的自相關(guān)系數(shù)都落在2倍標準差的范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然。這時，通常視為(偏)自相關(guān)系數(shù)截尾。截尾階數(shù)為d。第46頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.4選擇合適的模型ARMA擬合1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列。第47頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一序列自相關(guān)圖第48頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一序列偏自相關(guān)圖第49頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一擬合模型識別自相關(guān)圖顯示延遲3階之后，自相關(guān)系數(shù)全部衰減到2倍標準差范圍內(nèi)波動，這表明序列明顯地短期相關(guān)。但序列由顯著非零的相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程相當連續(xù)，相當緩慢，該自相關(guān)系數(shù)可視為不截尾

偏自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的偏自相關(guān)系數(shù)顯著大于2倍標準差之外，其它的偏自相關(guān)系數(shù)都在2倍標準差范圍內(nèi)作小值隨機波動，而且由非零相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然，所以該偏自相關(guān)系數(shù)可視為一階截尾

所以可以考慮擬合模型為AR(1)第50頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.5美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORT序列

第51頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一序列自相關(guān)圖第52頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一序列偏自相關(guān)圖第53頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一擬合模型識別自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的自相關(guān)系數(shù)在2倍標準差范圍之外，其它階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)都在2倍標準差范圍內(nèi)波動。根據(jù)這個特點可以判斷該序列具有短期相關(guān)性，進一步確定序列平穩(wěn)。同時，可以認為該序列自相關(guān)系數(shù)1階截尾偏自相關(guān)系數(shù)顯示出典型非截尾的性質(zhì)。綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，為擬合模型定階為MA(1)

第54頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.61880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列

第55頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一序列自相關(guān)圖第56頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一序列偏自相關(guān)圖第57頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一擬合模型識別自相關(guān)系數(shù)顯示出不截尾的性質(zhì)偏自相關(guān)系數(shù)也顯示出不截尾的性質(zhì)綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可以嘗試使用ARMA(1,1)模型擬合該序列第58頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.4續(xù)確定1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的口徑

擬合模型：AR(1)估計方法：極大似然估計模型口徑第59頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.5續(xù)確定美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORTS序列擬合模型的口徑

擬合模型：MA(1)估計方法：條件最小二乘估計模型口徑第60頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.6續(xù)確定1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列擬合模型的口徑

擬合模型：ARMA(1,1)估計方法：條件最小二乘估計模型口徑第61頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一模型檢驗?zāi)Ｐ偷娘@著性檢驗整個模型對信息的提取是否充分參數(shù)的顯著性檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)是否最簡第62頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一模型的顯著性檢驗?zāi)康臋z驗?zāi)Ｐ偷挠行裕▽π畔⒌奶崛∈欠癯浞郑z驗對象殘差序列判定原則一個好的擬合模型應(yīng)該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關(guān)信息，即殘差序列應(yīng)該為白噪聲序列

反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關(guān)信息未被提取，這就說明擬合模型不夠有效第63頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一假設(shè)條件原假設(shè)：殘差序列為白噪聲序列備擇假設(shè)：殘差序列為非白噪聲序列第64頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一檢驗統(tǒng)計量LB統(tǒng)計量第65頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.4續(xù)檢驗1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的顯著性

殘差白噪聲序列檢驗結(jié)果延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值檢驗結(jié)論65.830.3229擬合模型顯著有效1210.280.50501811.380.8361第66頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一參數(shù)顯著性檢驗?zāi)康臋z驗每一個未知參數(shù)是否顯著非零。刪除不顯著參數(shù)使模型結(jié)構(gòu)最精簡

假設(shè)條件檢驗統(tǒng)計量第67頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.4續(xù)檢驗1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列極大似然估計模型的參數(shù)是否顯著

參數(shù)檢驗結(jié)果檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論均值81.55159<0.0001顯著0.69141<0.0001顯著第68頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.5續(xù):對OVERSHORTS序列的擬合模型進行檢驗

殘差白噪聲檢驗參數(shù)顯著性檢驗檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論均值－4.409150.0005顯著0.82083<0.0001顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值結(jié)論63.140.6780模型顯著有效129.100.6130第69頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.6續(xù):對1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列擬合模型進行檢驗

殘差白噪聲檢驗參數(shù)顯著性檢驗檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論0.406970.0007顯著0.90009<0.0001顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值結(jié)論65.280.2595模型顯著有效1210.300.4147第70頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一模型優(yōu)化問題提出當一個擬合模型通過了檢驗，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地擬合觀察值序列的波動，但這種有效模型并不是唯一的。優(yōu)化的目的選擇相對最優(yōu)模型第71頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一例2.7:擬合某一化學(xué)序列第72頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一序列自相關(guān)圖第73頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一序列偏自相關(guān)圖第74頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一擬合模型一根據(jù)自相關(guān)系數(shù)2階截尾，擬合MA(2)模型參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ惋@著有效

三參數(shù)均顯著

第75頁，共82頁，2023年，2月