矩陣的分解演示文稿

矩陣的分解演示文稿目前一頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)（優(yōu)選）矩陣的分解.目前二頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)定理3.12

L是單位下三角矩陣U一個上三角矩陣Gauss消元法的消元過程實(shí)際上是對線性代數(shù)方程組進(jìn)行一系列初等行變換的過程。由線性代數(shù)知識知，線性代數(shù)方程組的初等變換相當(dāng)于對其增廣矩陣實(shí)行初等行變換，也即相當(dāng)于增廣矩陣左邊乘以一個初等矩陣。目前三頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)目前四頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)也可以直接用比較法導(dǎo)出矩陣A的LU分解的計算公式。上式可記為比較第1行比較第r行目前五頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)同樣，由比較第r列目前六頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)綜合以上分析，有因此可以推導(dǎo)出U的第一行L的第一列------(1)------(2)目前七頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)思考U的第r行L的第r列------(3)------(4)稱上述(1)~(4)式所表示的分解過程為矩陣A的Doolittle分解目前八頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)function[l,u]=lu_Doolittle1(A)

%求可逆矩陣的LU分解

%A為可逆矩陣，l為單位下三角矩陣，u為上三角矩陣

n=length(A);

u=zeros(n);

l=eye(n);

u(1,:)=A(1,:);

l(2:n,1)=A(2:n,1)/u(1,1);

fork=2:n

forj=k:n

u(k,j)=A(k,j)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,j);

end

u(k,k:n)=A(k,k:n)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,k:n);

fori=k+1:n

l(i,k)=(A(i,k)-l(i,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k);

end

l(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-l(k+1:n,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k);

end目前九頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)對于線性方程組系數(shù)矩陣非奇異，經(jīng)過Doolittle分解后線性方程組可化為下面兩個三角形方程組目前十頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)目前十一頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)上述解線性方程組的方法稱為直接三角分解法的Doolittle分解用Doolittle分解求解方程組解下面再用Doolittle分解方法求解目前十二頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)目前十三頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)Doolittle分解在計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)是比較容易的但如果按上述流程運(yùn)算仍需要較大的存儲空間:目前十四頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)因此可按下列方法存儲數(shù)據(jù):目前十五頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)直接三角分解的Doolittle分解可以用以下過程表示:存儲單元(位置)目前十六頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)Doolittle分解的緊湊格式目前十七頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)Doolittle分解的結(jié)果與Gauss消元法所得結(jié)果完全一樣，但卻避免了中間過程。目前十八頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)定理3.2.3設(shè)矩陣A非奇異，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A的所有順序主子式全非零時，其Doolittle分解式存在，且分解是惟一的。下面給出Doolittle分解存在惟一的一個充要條件目前十九頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)用緊湊格式的Doolittle分解求解方程組解目前二十頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)目前二十一頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)所以目前二十二頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)用Doolittle分解求解方程組解直接利用Doolittle分解的緊湊格式算得目前二十三頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)目前二十四頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)

列選主元Doolittle分解在Doolittle分解(包括緊湊格式)中，會反復(fù)用到公式仍有可能是小主元做除數(shù)為此，也要考慮在算法中加入選取列主元目前二十五頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)

Crout分解L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣目前二十六頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)三、Cholesky分解與平方根法

對稱正定矩陣的三角分解（Cholesky分解）目前二十七頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)目前二十八頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)因此可以證明這種分解是唯一的設(shè)存在另外的一個分解則單位下三角單位下三角上三角上三角所以：目前二十九頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)又因?yàn)椋杭此裕杭磩t：令：目前三十頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)綜合以上分析,則有為了方便我們記：(Cholesky分解)且該分解式唯一這種關(guān)于對稱正定矩陣的分解稱為Cholesky分解目前三十一頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)目前三十二頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)-------------(6)-------------(7)-------------(8)目前三十三頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)目前三十四頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)

對稱正定線性方程組的解法線性方程組-------------(10)-------------(11)因而線性方程組(10)可化為兩個三角形方程組-------------(12)-------------(13)目前三十五頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)用平方根法解對稱正定方程組解目前三十六頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)目前三十七頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)即所以原方程組的解為目前三十八頁\總數(shù)四十二頁\編于十六點(diǎn)平方根法的數(shù)值穩(wěn)定性用平方根法求解對稱正定方程組時不需選取主元由可知因此平方根