矩陣的秩及其求法矩陣秩求法

矩陣的秩及其求法矩陣秩求法目前一頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)21.

k

階子式定義1

設(shè)在A中任取k行k列交叉稱(chēng)為A的一個(gè)k階子式。階行列式，處元素按原相對(duì)位置組成的一、矩陣的秩的概念目前二頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)3設(shè)，例如矩陣A的第一、三行，第二、四列相交處的元素所構(gòu)成的二階子式為而為A的一個(gè)三階子式。顯然，矩陣A共有個(gè)k

階子式。目前三頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)42.

矩陣的秩設(shè)，有r

階子式不為0，任何r+1階記作R(A)或秩(A)。

子式(如果存在的話)全為0,定義2稱(chēng)r為矩陣A的秩，目前四頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)5規(guī)定：零矩陣的秩為0.注意：(1)

如R(A)=r，則A

中至少有一個(gè)r

階子式所有r+1

階子式為0，且更高階子式均為0，r是A

中非零的子式的最高階數(shù).(2)

由行列式的性質(zhì)，(3)R(A)≤m,R(A)≤n,0≤R(A)≤min{m,n}.(4)如果An×n

,且則R(A)=n.反之，如R(A)=n,則因此，方陣A

可逆的充分必要條件是R(A)=n.目前五頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)6二、矩陣秩的求法1、子式判別法(定義)。

例1設(shè)為階梯形矩陣，求R(B)。解，由于存在一個(gè)二階子式不為0，而任何三階子式全為0，則R(B)=2.結(jié)論：階梯形矩陣的秩=臺(tái)階數(shù)。目前六頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)7例如一般地，行階梯形矩陣的秩等于其“臺(tái)階數(shù)”——非零行的行數(shù)。目前七頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)8如果求a.解或例2

設(shè)目前八頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)9則例3目前九頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)102、用初等變換法求矩陣的秩定理2

矩陣初等變換不改變矩陣的秩。

即則說(shuō)明：只改變子行列式的符號(hào)。是A中對(duì)應(yīng)子式的k倍。是行列式運(yùn)算的性質(zhì)。由于初等變換不改變矩陣的秩，而任一都等價(jià)于行階梯矩陣。其秩等于它的非零行的行數(shù)，即為所以可以用初等變換化A為階梯矩陣來(lái)求A的秩。目前十頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)11例4解R(A)=2

，

求目前十一頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)12例5目前十二頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)13三、滿(mǎn)秩矩陣稱(chēng)A是滿(mǎn)秩陣，（非奇異矩陣）稱(chēng)A是降秩陣，（奇異矩陣）可見(jiàn)：A為n階方陣時(shí)，定義3目前十三頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)14定理3設(shè)A是滿(mǎn)秩方陣，則存在初等方陣使得對(duì)于滿(mǎn)秩方陣A施行初等行變換可以化為單位陣E,又根據(jù)初等陣的作用：每對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于用一個(gè)對(duì)應(yīng)的初等陣左乘A,由此得到下面的定理目前十四頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)15例如它的行最簡(jiǎn)形是n階單位陣E.對(duì)于滿(mǎn)秩矩陣A，A為滿(mǎn)秩方陣。目前十五頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)16定理5

R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}。關(guān)于矩陣的秩的一些重要結(jié)論：性質(zhì)1設(shè)A是矩陣，B是矩陣，性質(zhì)2如果AB=0則性質(zhì)3

如果R(A)=n,如果

AB=0則B=0。性質(zhì)4

設(shè)A,B均為

矩陣，則目前十六頁(yè)\總數(shù)十七頁(yè)\編于十六點(diǎn)17設(shè)A為n階矩陣，證明R(A+E)+R(A-E)≥n證：∵(A+E)+(E-A)=2E∴R