人教課標實驗版七年級下冊平面直角坐標系平面直角坐標系名師獲獎

笛卡兒和它的《幾何學》讓我們先從笛卡兒生活的時代特征談起吧！那時，科學家關于自然規(guī)律的研究開始向宗教教條挑戰(zhàn)，教會本身也有清教徒與天主教徒的激烈爭論．笛卡兒懷疑他在學校里所得到的一切知識，反對經(jīng)院哲學，主張科學的革新．這正是這個時代精神的體現(xiàn)．笛卡兒和培根一樣，很重視方法論和認識論的問題．他認為：傳統(tǒng)的經(jīng)院哲學的方法不能給人以真正的知識．培根用經(jīng)驗的歸納法來代替經(jīng)院哲學的方法，而笛卡兒則用理性的演繹法來代替它．笛卡兒認為：理性演繹的標本就是傳統(tǒng)的幾何學．這個方法就是：從幾個一望而知的、清楚明白的、“不證自明”的公理出發(fā)，一步一步地推演出其他許多命題，以構成一個知識的系統(tǒng)．——我們應該認識到：笛卡兒的這種思想方法，不僅影響其哲學觀點，而且影響其數(shù)學的生成和發(fā)展．接著，再來談談他的數(shù)學．笛卡兒《方法論》的第三個附錄《幾何學》有100頁，它又分為三卷．《幾何學》第一卷中，闡明用代數(shù)方法解幾何題的原則，但內(nèi)容是超過古代希臘人的．對希臘人來說，一個數(shù)相當于某個線段的長度．兩個數(shù)的乘積相當于某個矩形的面積，三個數(shù)的乘積相當于某個長方體的體積，如此而已．笛卡兒則不把x2看做面積，而看做1∶x＝x∶x2的比例第四項，對于已知的x，則x2是可作出的．因此，選定一個單位長度后，一個數(shù)的任意次乘冪，或幾個數(shù)的乘積，都可以用尺規(guī)作圖方法作出來．例如，假定某幾何問題，歸結到尋求一個未知長度x，經(jīng)過代數(shù)運算，知道x滿足方程x2＝ax＋b2．其中a與b是已知的長度．由代數(shù)學知道：這種問題求的是一個確定的唯一的長度，可以稱為確定的作圖問題，實際上它不是解析幾何．笛卡兒進一步考慮的是“不確定的”問題，就是說，它的結果有許多長度均可以作為答案．這些長度的端點構成一條線．他說：“也要求發(fā)現(xiàn)并且指出這條包括所有端點的曲線．”笛卡兒用任意長度x表示未知的長度y，最后得到一個不定方程．他說，對于每一個(x，y)，滿足一個確定的方程，因而其曲線是可以畫出來的．笛卡兒在一根軸上記下x的長度，再在與這軸有一個固定角的線上標出y(圖2)．于是畫出所有的點，它的x，y是滿足已知方程的．例如，我們有關系式y(tǒng)＝x2，可以按比例求第四項的方法，對于一個固定的xi，求得它的對應的yi．這些(xi，yi)就是關系式y(tǒng)＝x2所表示的曲線上的點．笛卡兒對于從運動學所得到的代數(shù)關系式的曲線特別感興趣．《幾何學》中有這樣的例題(如圖3)：已知五條線l1、l2、l3、l4、l5．設pi表示點p到li(i＝1，2，…5)的距離．取l5、l4為x軸、y軸，使p1p2p3＝ap4p5，求p點的軌跡(這軌跡是個三次曲線，牛頓稱之為笛卡兒的拋物線，有時又稱為三叉戟．)一般地，在平面上有m＋n條直線，求所有這樣的點p的軌跡：從點p作直線與m＋n條直線分別交于已知的角(這m＋n個交角不一定相等)，設p到它與直線li的交點的長度是pi，a為常數(shù)，使p1p2…pm＝apm＋1pm＋2…pm＋n這個問題是古代希臘的帕普斯問題(公元三世紀)的推廣．用上述記號，帕普斯問題可以表示為p1p2＝ap3p4此軌跡是一條圓錐曲線．笛卡兒說，帕普斯問題的推廣，導致高于二次的曲線．據(jù)說，笛卡兒就是由于想解決這個一般性問題，而促使他發(fā)明解析幾何的．他的方法可歸結為：(1)選定一條直線作為基線(如圖3中的l5)．(2)在基線上取一點為原點(如l5上的O)．(3)x的值是基線上的從原點量起的長度(如OA)．(4)y值是從基線出發(fā)的線段的長度(如線段AP)．圖3中的l4與l5垂直，就構成直角坐標系．如果l4與l5的交角不是直角，那么，就構成斜角坐標系．笛卡兒有了曲線方程的思想以后，進一步斷言：(1)坐標系的選擇與曲線的次數(shù)無關．(2)坐標系的選擇應使所得的曲線方程愈簡單愈好．(3)同一個坐標系，寫出兩個不同的曲線方程；聯(lián)立地解這兩個方程，可以求出這兩條曲線的交點．在《幾何學》第二卷中，除談論一種曲線分類法外，還講了作曲線的切線的有趣方法(如圖4)．設給定曲線的方程為f(x，y)＝0，而(x1，y1)為我們想要在其上作切線的p點的坐標．設坐標為(x2，o)的q點為x軸上一點，則以q為圓心過p點的圓的方程為(x－x2)2＋y2＝(x1－x2)2＋y2如果我們將此方程與f(x，y)＝0聯(lián)立消去y，就得到關于x的一個變量的方程，由此方程可推出該圓與給定曲線交點的橫坐標．然后，我們確定x2，使得這個只包含x一個變量的方程有一對等于x1的根．曲線在p點上的法線與x軸的交點即q點，因為這時該圓切給定曲線于p點．一旦作出此圓，我們可以容易地作所求切線．作為這方法的一個例子，考慮拋物線y2＝4x在點(1，2)上的切線．在這里，我們有(x－x2)2＋y2＝(1－x2)2＋4消去y，給出(x－x2)2＋4x＝(1－x2)2＋4或x2＋2x(2－x2)＋(2x2－5)＝0此二次方程有兩個相等的根的條件是其判別式為零．即(2－x2)2－(2x2－5)＝0或x2＝3現(xiàn)在能作以(3，0)為圓心、過曲線上的(1，2)點的圓了，并且最后可以作出所求的切線．這個作切線的方法被笛卡兒應用于許多不同的曲線，包括以他的名字命名的四次卵形線．在這里，有一個一般程序，它確切地告訴我們解這類問題該做些什么．但是必須承認：在比較復雜的情況下，要進行的代數(shù)運算是極其麻煩的．《幾何學》的第三卷涉及高于二次的方程的解法．它用到現(xiàn)在所謂的笛卡兒符號規(guī)則，即確定一個多項式具有正根和負根的個數(shù)的最大限額的規(guī)則．在《幾何學》中，笛卡兒確立了用字母表中前幾個字母代表已知數(shù)，用后幾個字母代表未知數(shù)的習慣用法．他還引進了我們現(xiàn)在的指數(shù)系統(tǒng)(例如，a3，a4，等等)，比起韋達表示冪的方法有很大改進．他還認識到：字母可以表示任何量，正的或負的．在這里，我們還見到待定系數(shù)法的最初使用．——通觀三卷《幾何學》，就能看到：笛卡兒的思路確實是步步深入的．從尺規(guī)作圖到確定的作圖問題，再到曲線方程和曲線與坐標的關系，最后，脫開坐標探討解析方程．——雖然從原書中的32個圖形中找不到一個明確地擺出了坐標軸的圖；但是，《幾何學》給我們的啟示又豈止是解析幾何．笛卡兒把自己比做建筑師，即：立下計劃，指明什么是應該做的，而把具體的操作留給木工和瓦工．笛卡兒1596年出生于法國圖朗．他八歲進拉弗萊什的耶穌會學校．在那里，他養(yǎng)成了早上睡懶覺的習慣．后來，笛卡兒說，他的大部分成果出自早上休息的那段適宜沉思的時間．1612年．笛卡兒離開了學校，不久就到了巴黎．他曾在那里和梅森、邁多治一起專門研究數(shù)學．從1617年起，他在奧朗日的莫里斯親王的軍隊里當了幾年兵．在離開軍隊之后，他花了四五年工夫外出旅行，到過德國、丹麥、荷蘭、瑞士和意大利