小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究

小學(xué)數(shù)學(xué)(shùxué)解題教學(xué)研究解題研究及理論簡介歸納問題周期問題數(shù)論問題砝碼稱重(chēnɡzhònɡ)勾股定理雞兔同籠行程問題數(shù)學(xué)趣題及數(shù)學(xué)應(yīng)用第一頁，共82頁。1蘇格拉底助產(chǎn)術(shù)關(guān)于問題解決的最早記錄之一出現(xiàn)在柏拉圖的蘇格拉底談話錄?門諾?中，在書中，蘇格拉底和門諾的仆人進(jìn)行了一次典型的“蘇格拉底談話〞——向仆人提出(tíchū)一系列誘導(dǎo)式的問題，對他的答復(fù)進(jìn)行細(xì)微的糾正，最終使仆人證明了一個數(shù)學(xué)關(guān)系式。蘇格拉底提醒門諾，他并沒有告訴仆人任何東西，而仆人那么完全依靠自己答復(fù)了所有的問題。仆人利用“記憶〞中的重要結(jié)果對這些問題作出了正確的答復(fù)。但是并沒有人曾教給仆人這些結(jié)果，這說明仆人原本就知道它們。也就是說，知識存在于他們永恒的靈魂之中而非存在于身體之中。正因?yàn)殪`魂是所有知識的居住地，所以他能夠想起這些知識?？傊?，知識是永恒的，如同柏拉圖式的，它也是完美的。知識既不可能被生產(chǎn)，也不可能被發(fā)現(xiàn)，而只能被回憶。第二頁，共82頁。2笛卡兒的偉大(wěidà)設(shè)想十七世紀(jì)。笛卡兒開始他的“創(chuàng)造性思維〞的研究(yánjiū)，他構(gòu)造了一個偉大設(shè)想，在這個設(shè)想中：首先通過數(shù)學(xué)化把任何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；然后把任何數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；再把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解單個的方程。笛卡兒希望在他的有生之年完成他的偉大事業(yè)，他的一些成功的努力被記錄在后人的紀(jì)念性文章?思考的規(guī)那么?〔1952〕里。其中，說明了普通人怎樣才能象笛卡兒那樣思考，利用他的方法，象他那樣解決問題。第三頁，共82頁。3官能心理學(xué)和訓(xùn)練(xùnliàn)理論在19世紀(jì)的大局部時間里，在學(xué)校課程中起統(tǒng)治地位的是官能心理學(xué)和訓(xùn)練(xùnliàn)理論。按照官能心理學(xué)的觀點(diǎn)，每個人的大腦是由各種官能〔或者說心理功能〕所組成的，這些官能包括感覺、記憶、想象、理解、直覺、推理等，不同的官能位于大腦的不同部位，而且可以通過針對性的訓(xùn)練(xùnliàn)來開展或者強(qiáng)化某個特殊的官能。在這種理論的支配下，學(xué)校的任務(wù)就是開展學(xué)生的各種根本技能，而其中，數(shù)學(xué)，特別是高水平的數(shù)學(xué)，那么是開展學(xué)生推理技能的主要手段。在這一階段，數(shù)學(xué)課程中的問題解決主要以常規(guī)問題為主，不考慮對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的理解，而一味地推行訓(xùn)練(xùnliàn)與練習(xí)。教材中的習(xí)題局部的普遍形式是：先給出一道例題及一條相應(yīng)的解題法那么，然后提供一系列的類似問題進(jìn)行練習(xí)。第四頁，共82頁。420世紀(jì)(shìjì)中期對于問題解決來說，1945年是標(biāo)志性的一年。在這一年里，關(guān)于問題解決的經(jīng)典著作?創(chuàng)造性思維?〔Max.Wertheimer〕和?數(shù)學(xué)領(lǐng)域的創(chuàng)造心理學(xué)?(JacquesHadmard)的英文版首次發(fā)行。而最重要的是，波利亞的?怎樣解題?也問世于這一年。這本書的出版，無論對波利亞還是對問題解決都是一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)：對作者本人來說，這本書成了他的關(guān)于數(shù)學(xué)思維本質(zhì)的一系列重要著作的第一本，而數(shù)學(xué)思維那么成了他此后工作的核心，并相繼(xiāngjì)出版了?數(shù)學(xué)與猜測?〔1954〕，?數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)?〔第一卷，1962；第二卷，1965〕；而對于問題解決來說，這本書的影響也是巨大的。第五頁，共82頁。5波利亞的兩個(liǎnɡɡè)例子前n個自然數(shù)的平方和n個平面最多可以將空間分成(fēnchénɡ)幾個局部？第六頁，共82頁。6波利亞的解題(jiětí)四步驟弄清題意制訂(zhìdìng)方案實(shí)現(xiàn)方案回憶第七頁，共82頁。720世紀(jì)80年代(niándài)的研究熱潮1977年，美國全國數(shù)學(xué)督導(dǎo)委員會〔NCSM，1977〕宣布：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的是學(xué)會問題解決〞。1980年，全國數(shù)學(xué)教師協(xié)會在?行動的議程?中提出：“問題解決應(yīng)該成為80年代學(xué)校數(shù)學(xué)教育的核心〞。這一口號很快得到了世界各國數(shù)學(xué)教育界的普遍響應(yīng)，并由此掀起了一股問題解決研究的熱潮。這股熱潮一直延續(xù)到九十年代，在美國關(guān)于數(shù)學(xué)教育的一些主要刊物(kānwù)1991年所發(fā)表的論文中，問題解決占據(jù)了首要的位置，約占全部論文的五分之一。第八頁，共82頁。8問題解決的四維(sìwéi)超立方體模型〔切片〕解題教學(xué)問題解題理論/應(yīng)用封閉/開放常規(guī)/非常規(guī)知識與經(jīng)驗(yàn)表征與探索控制與調(diào)節(jié)情感與信念題組訓(xùn)練變式教學(xué)專家模式學(xué)徒式教學(xué)小組合作研究性學(xué)習(xí)…第九頁，共82頁。9關(guān)于數(shù)學(xué)解題(jiětí)的研究解題方法解題過程解題能力解題策略解題思想方法解題技巧邏輯過程心理過程能力類型波利亞方法論證題術(shù)施恩菲爾德奧加涅相心理學(xué)中國克魯切茨基能力因素解題第十頁，共82頁。10關(guān)于(guānyú)解題者的研究解題者差異分析個體的解題背景實(shí)際的解題過程針對性解題教學(xué)知識經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知因素元認(rèn)知因素情感因素優(yōu)生中等生差生常規(guī)/非常規(guī)題封閉/開放題理論/應(yīng)用題題型教學(xué)策略專項(xiàng)訓(xùn)練小組合作學(xué)習(xí)（專家）模型課題活動案例分析教學(xué)實(shí)驗(yàn)第十一頁，共82頁。11問題解決(jiějué)的心理歷程〔一〕認(rèn)知課題認(rèn)知課題是解決問題的起始環(huán)節(jié)和根底〔二〕表征課題通過對課題的認(rèn)知和理解，在對課題進(jìn)行(jìnxíng)編碼的根底上，在頭腦中形成課題的條件與問題的初步印象，即為課題表征。課題表征既是個體對面臨的任務(wù)、環(huán)境信息以另一種形式在心理活動中的表現(xiàn)和記載，也是個體進(jìn)行(jìnxíng)問題解決時所加工的對象。它可以反映在解題過程和策略的選擇上。課題表征的水平對問題解決有重要影響第十二頁，共82頁。12問題解決(jiějué)的心理歷程〔三〕聯(lián)想與匹配〔模式識別〕解決問題依賴于過去的知識經(jīng)驗(yàn)。在獲得某種表征信息后，就以該表征作為一種提取線索，通過聯(lián)想，激活頭腦中的已有經(jīng)驗(yàn)，獲取有關(guān)的信息，并將內(nèi)外信息進(jìn)行比較、匹配。假設(shè)匹配成功，課題即被視作已有經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的一個實(shí)例或同例，產(chǎn)生與原經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中的問題解決一致的或相平行的解法。在匹配過程中，假設(shè)已有經(jīng)驗(yàn)不能提供現(xiàn)成的實(shí)例或同例，那么需通過聯(lián)想激活有關(guān)經(jīng)驗(yàn)生成一個可與之匹配的新的實(shí)例或同例。假設(shè)匹配失敗，那么將重新回溯到起始階段，逐一進(jìn)行檢查，檢查感覺信息中選用的信息是否可靠〔即審題是否正確〕，對課題的初步理解〔課題表征〕是否有誤，與長時記憶中信息建立的聯(lián)系是否適宜〔即聯(lián)想是否恰當(dāng)〕，然后再一次進(jìn)行匹配。如此反復(fù)進(jìn)行，逐步(zhúbù)縮小檢查的范圍直到匹配成功，問題才得到解決。第十三頁，共82頁。13問題解決(jiějué)的心理歷程〔四〕反思結(jié)果反思結(jié)果包含兩層意思。一是對獲得結(jié)果的整個思維過程進(jìn)行檢查。二是反思從該課題可得出的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)。反思的有效方法一般有：〔1〕找出問題解決過程中的主要困難及關(guān)鍵，搞清楚自己是怎樣尋找思路的?！?〕對解題方法重新評價，找到最優(yōu)解決方法。〔3〕思考解決該課題的過程中，是否(shìfǒu)有某種技巧值得吸取，是否(shìfǒu)有某種技巧此后在類似的場合中用得上?！?〕弄清楚當(dāng)前的課題中可以得到哪些結(jié)論或吸取什么教訓(xùn)?！?〕概括出課題的一般結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)，總結(jié)出運(yùn)用該課題解法的條件范圍，以便把該課題的解法推廣到同一類型的所有題第十四頁，共82頁。14美國(měiɡuó)2000年課標(biāo)中的問題問題：一個矩形長和寬的比是4：3，它的面積(miànjī)是300平方英寸，它的長和寬是多少？解法一：長寬面積4312864812910816121922015300第十五頁，共82頁。15解法二：300÷12=25，所以(suǒyǐ)每個正方形的面積為25，邊長為5。第十六頁，共82頁。16弗賴登塔爾介紹(jièshào)的教學(xué)問題問題：一件T恤與三瓶飲料總價(zǒnɡjià)30元，兩件T恤與兩瓶飲料總價(zǒnɡjià)44元，求T恤、飲料的單價?！?〕TUUU30〔2〕TTUU44法一：TUUUTUUU=60→UUUU=16→U=4法二：TU=22→UU=8→U=4法三：從〔2〕到〔1〕少14元，再到UUUU又少14元，即16元。第十七頁，共82頁。17一個(yīɡè)常見的數(shù)學(xué)教學(xué)問題求和(qiúhé)第十八頁，共82頁。18歸納(guīnà)問題〔1〕如以下圖所示的長方形由6個相同(xiānɡtónɡ)的小方格組成，現(xiàn)在將其中的局部小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何兩個相鄰的小方格都至少有一個被涂上黑色，那么共有不同的涂色方法種。(所有小方格均被涂上黑色也允許。只要有一個編號的小方格的顏色不同，就被認(rèn)為是不同的涂色方法)123456第十九頁，共82頁。19歸納(guīnà)問題〔2〕如以下圖所示的長方形由9個相同的小方格組成，現(xiàn)在將其中的局部小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何兩個相鄰的小方格都至少有一個被涂上黑色，那么(nàme)共有不同的涂色方法種。(所有小方格均被涂上黑色也允許。只要有一個編號的小方格的顏色不同，就被認(rèn)為是不同的涂色方法)123456789第二十頁，共82頁。20歸納(guīnà)問題〔3〕青蛙公子在練習(xí)跳臺階。臺階共有8級，青蛙公子每一步只能往上跳一級或二級臺階。假設(shè)以每一步跳后的落腳點(diǎn)為哪幾個臺階來區(qū)分，青蛙公子從最下面(xiàmian)跳到第8級臺階的頂上共有種不同的跳法。第二十一頁，共82頁。21完全(wánquán)數(shù)畢達(dá)哥拉斯〔Pythagoras，公元前572-497〕完全數(shù)：正因數(shù)之和等于該數(shù)本身〔因數(shù)包括(bāokuò)1但不包括(bāokuò)該數(shù)自身〕，6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496，8128，33550336〔1538年〕，8589869056〔一個梅森素?cái)?shù)對應(yīng)一個完全數(shù)，至2005年共發(fā)現(xiàn)42個完全數(shù)〕第二十二頁，共82頁。22親和數(shù)親和數(shù)：兩個數(shù)中任意一個數(shù)除了它自身(zìshēn)以外的所有正因數(shù)的和恰好等于另一個數(shù)。最小的一對是220和284。220=22×5×11，284=22×711+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=2841+2+4+71+142=220第二十三頁，共82頁。23哥德巴赫猜測(cāicè)哥德巴赫猜測〔1742年〕：每一個不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素?cái)?shù)的和，每一個不小于9的奇數(shù)都是三個奇素?cái)?shù)的和。德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫〔Goldbach，1690-1764〕1966年陳景潤證明了“1+2〞：每一個不小于6的偶數(shù)都可以表示(biǎoshì)成一個奇素?cái)?shù)與不超過兩個奇素?cái)?shù)乘積的和。第二十四頁，共82頁。24斐波那契數(shù)列(shùliè)1228年?算經(jīng)?修訂版中載有如下的“兔子問題〞：某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對兔子，假定每對兔子每月生一對小兔，而小兔出生后兩個月就能生育。問從這對兔子〔假定養(yǎng)的時候是小兔〕開始，一年內(nèi)能繁殖成多少對兔子？其結(jié)果(jiēguǒ)是著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，……

第二十五頁，共82頁。25一個(yīɡè)有趣的悖論3535①②③④④①②③558第二十六頁，共82頁。26斐波那契斐波那契〔L.Fibonacci,1170-1250〕是歐洲中世紀(jì)第一位有影響的數(shù)學(xué)家，他早年隨其父在北非師從阿拉伯人學(xué)習(xí)算學(xué)，后又游歷地中海沿岸諸國，回意大利后寫成?算經(jīng)?一書．這部名著(míngzhù)主要是一些來源于中國、印度、希臘的數(shù)學(xué)問題的匯編，內(nèi)容涉及整數(shù)和分?jǐn)?shù)算法，開方法，二次和三次方程以及不定方程．第二十七頁，共82頁。27斐波那契數(shù)列(shùliè)的應(yīng)用斐波那契數(shù)列有著廣泛的應(yīng)用，優(yōu)選法就與該數(shù)列有密切(mìqiè)的聯(lián)系．科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，蜜蜂的繁殖速度符合斐波那契數(shù)列．多數(shù)花的花瓣數(shù)是斐波那契數(shù)列中的項(xiàng)，如百合花是3，野玫瑰是5，大波斯菊是8，金盞草是13，紫宛是21，雛菊是34等．生物學(xué)中有一個“魯?shù)戮S格定律〞就是斐波那契數(shù)列在植物學(xué)上的應(yīng)用．第二十八頁，共82頁。28歸納(guīnà)問題〔4〕〔勾股數(shù)〕3，4，55，12，137，24，25第二十九頁，共82頁。29歸納(guīnà)問題〔5〕悟空和八戒在玩變戲法。原有一只1層布做的袋子和袋子里裝著的一些(yīxiē)桃子。戲法規(guī)那么是：袋子里裝的桃子等于或超過1000個時，1次變化就使3個桃子和袋子的1層布消失；袋子里裝的桃子少于1000個時，1次變化就增加5個桃子和袋子的1層布。假設(shè)袋子的每層布均消失，那么袋子也不存在了，桃子堆放在草地上?，F(xiàn)在，有一只1層布的袋子內(nèi)裝著84個桃子，那么經(jīng)過假設(shè)干次變化，袋子變沒后，堆放在草地上的共有只桃子。第三十頁，共82頁。30周期(zhōuqī)問題〔1〕今天(jīntiān)是星期四，從明天起的第1天是星期五，第二天是星期六，第天是星期幾？指數(shù)1234567除以7余3264513100÷6=16……4，除以7余4第三十一頁，共82頁。31費(fèi)馬小定理(dìnglǐ)P為素?cái)?shù)，a與p互質(zhì)，那么(nàme)ap-1≡1(modp)P為素?cái)?shù)，a為任意整數(shù)，那么(nàme)ap≡p(modp)第三十二頁，共82頁。32周期(zhōuqī)問題〔2〕整數(shù)(zhěngshù)32013除以11的余數(shù)是。310≡1(mod11)32013≡310×201×33≡5(mod11)第三十三頁，共82頁。33周期(zhōuqī)問題〔3〕下面這串?dāng)?shù)字從第5個數(shù)開始，每個數(shù)都等于它前面(qiánmian)的3個數(shù)之和：2，0，0，8，8，16，32，56，104，…這串?dāng)?shù)中第2019個數(shù)除以6的余數(shù)是。2，0，0，2，2，4，2，2，2，0，4，0，4，2，0，0第三十四頁，共82頁。34一個(yīɡè)根本結(jié)論遞歸數(shù)列：an=f(a1,a2,……an-1)值域是有限(yǒuxiàn)數(shù)集的遞歸數(shù)列必為周期數(shù)列。第三十五頁，共82頁。35整除(zhěngchú)和同余問題被3，9整除(zhěngchú)的整數(shù)特點(diǎn)。被4，25整除(zhěngchú)的整數(shù)特點(diǎn)。被8，125整除(zhěngchú)的整數(shù)特點(diǎn)。被11整除(zhěngchú)的整數(shù)特點(diǎn)。被7，13整除(zhěngchú)的整數(shù)特點(diǎn)。(1001=7×11×13〕第三十六頁，共82頁。36整除(zhěngchú)和同余問題〔1〕有一個六位數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同(xiānɡtónɡ)且都不是0，如果這個六位數(shù)能被11整除，那么將這個六位數(shù)的六個數(shù)字重新排列，至少還能排出個能被11整除的六位數(shù)。第三十七頁，共82頁。37整除(zhěngchú)和同余問題〔2〕老師在黑板上寫了一個自然數(shù)。第一個同學(xué)說：“這個數(shù)是2的倍數(shù)。〞第二個同學(xué)說：“這個數(shù)是3的倍數(shù)。〞第三個同學(xué)說：“這個數(shù)是4的倍數(shù)。〞……第十四個同學(xué)說：“這個數(shù)是15的倍數(shù)。〞最后，老師說：“在所有14個陳述(chénshù)中，只有兩個連續(xù)的陳述(chénshù)是錯誤的。〞老師寫出的自然數(shù)最小是。第三十八頁，共82頁。38整除(zhěngchú)和同余問題〔3〕整數(shù)A=37865422×41059362×31678451的各位數(shù)字(shùzì)之和為B，B的各位數(shù)字(shùzì)之和為C，C的各位數(shù)字(shùzì)之和為D。那么D=。第三十九頁，共82頁。39整除(zhěngchú)和同余問題〔4〕整數(shù)A=44444444的各位數(shù)字(shùzì)之和為B，B的各位數(shù)字(shùzì)之和為C，C的各位數(shù)字(shùzì)之和為D。那么D=。第四十頁，共82頁。40整除(zhěngchú)和同余問題〔5〕有9個小朋友圍成一圈，按順時針方向依次編為1～9號。現(xiàn)在按如下的方法給他們發(fā)糖：先給1號小朋友發(fā)一塊糖，然后順時針方向隔過一人后給3號小朋友發(fā)一塊糖，再順時針方向隔過兩人后給6號小朋友發(fā)一塊糖，……如此依次間隔(jiàngé)1人、2人、3人、4人……發(fā)糖。那么拿到第100塊糖的是號小朋友。第四十一頁，共82頁。41?孫子(sūnzi)算經(jīng)?中的物不知數(shù)今有物，不知其數(shù)。三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之，剩二。問物幾何(jǐhé)？答曰：二十三。70×2+21×3+15×2-2×105=23。除以3余2的數(shù)：2，5，8，11，…其中除以5余3的數(shù)：8，23，38，…其中除以7余2的數(shù)：23第四十二頁，共82頁。42孫子(sūnzi)歌明代數(shù)學(xué)家程大位的?算法統(tǒng)宗?中所載的“孫子歌〞以詩歌形式介紹了物不知數(shù)問題的解法：“三人同行七十稀，五樹梅花(méihuā)廿一枝，七子團(tuán)圓整半月，除百零五便得知。〞第四十三頁，共82頁。43中國(zhōnɡɡuó)剩余定理物不知數(shù)問題的解法(jiěfǎ)后被秦九韶〔宋〕推廣到一般情形，稱為“孫子定理〞。秦九韶的算法非常嚴(yán)密，但他并沒有對這一算法給出證明。到18、19世紀(jì)歐拉〔1743〕和高斯〔1801〕分別對一次同余式組進(jìn)行了詳細(xì)研究，重新獨(dú)立地獲得了與秦九韶“大衍術(shù)〞相同的定理，并對模數(shù)兩兩互素的情形給出了嚴(yán)格證明。高斯的成果是最完整的，他還解決了模不是兩兩互素時的情形。1876年德國人馬蒂生首先指出秦九韶的算法與高斯的算法是一致的，因此關(guān)于這一算法被稱作“中國剩余定理〞。第四十四頁，共82頁。44整除(zhěngchú)和同余問題〔6〕一個整數(shù)(zhěngshù)除以5余1，除以6余3，除以7余6，這個整數(shù)(zhěngshù)最小是。

第四十五頁，共82頁。45整除(zhěngchú)和同余問題〔7〕一堆糖，減去一顆后可以平均分成五份，將其中的四份合到一起并減去一顆后又可以平均分成五份，假設(shè)再將其中的三份合到一起并減去一顆后還是(háishi)可以平均分成五份。那么這堆糖至少有幾顆？第四十六頁，共82頁。46因數(shù)(yīnshù)問題〔1〕求以下各整數(shù)的因數(shù)個數(shù)、因數(shù)和〔1〕36〔2〕2700在100至150之間，恰有8個因數(shù)的整數(shù)共有(ɡònɡyǒu)幾個？第四十七頁，共82頁。47因數(shù)(yīnshù)問題〔2〕兩個整數(shù)(zhěngshù)的最大公因數(shù)是17，最小公倍數(shù)是6120，滿足此條件的兩個數(shù)共有對〔兩個數(shù)確定后，順序不同的仍算同一對〕。[6120=17×23×32×5]第四十八頁，共82頁。48因數(shù)(yīnshù)問題〔3〕兩個(liǎnɡɡè)整數(shù)的最小公倍數(shù)是420，這兩個(liǎnɡɡè)數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，得到的兩個(liǎnɡɡè)商的和是9，這兩個(liǎnɡɡè)整數(shù)是。[420=22×3×5×7]第四十九頁，共82頁。49砝碼(fǎmǎ)稱重問題〔1〕有假設(shè)干個重量均為整數(shù)克的砝碼。用天平稱物體的重量時，砝碼可以放在物體另一側(cè)的稱盤上，也可以放在物體同一側(cè)的稱盤上。為了能夠用最少的砝碼稱出1，2，3，4，5，…，121中任一整數(shù)克物體的重量，那么，至少(zhìshǎo)需要個砝碼。第五十頁，共82頁。50砝碼(fǎmǎ)稱重問題〔2〕有假設(shè)干種重量均為整數(shù)克的砝碼，每一種都有兩個重量相同的砝碼，不同種類的砝碼重量不同。用天平稱物體的重量時，砝碼可以放在物體另一側(cè)的稱盤上，也可以放在物體同一側(cè)的稱盤上。為了能夠用最少種類的砝碼稱出1，2，3，4，5，…，62中任一整數(shù)克物體的重量，那么，至少(zhìshǎo)需要種不同的砝碼。第五十一頁，共82頁。51同類(tónglèi)問題將25個同樣的零件分別放在5只同樣的袋子中，要求有人(yǒurén)要1～25個之間的任意多個零件時，都可以不拆袋地從中拿出假設(shè)干袋如數(shù)付給他。這5袋有種不同的裝法。第五十二頁，共82頁。52歐拉歐拉〔Euler，1707—1783〕瑞士數(shù)學(xué)(shùxué)家、物理學(xué)家。13歲進(jìn)入巴塞爾大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)(shùxué)，16歲獲碩士學(xué)位。1727-1741、1766-1783：工作于彼得堡科學(xué)院；1741-1766：工作于柏林科學(xué)院。28歲右眼失明，60歲前后雙目失明。第五十三頁，共82頁。53歐拉直線(zhíxiàn)三角形的垂心、重心(zhòngxīn)、外心三點(diǎn)共線，且重心(zhòngxīn)分垂心與外心的連線段成2：1。第五十四頁，共82頁。54勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)?周髀算經(jīng)?中商高答復(fù)周公的問話(wènhuà)時答道：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。〞?周髀算經(jīng)?中陳子與榮方的一段對話那么闡述了勾股定理的一般形式。陳子曰：“假設(shè)求邪至日者，以日下為勾，日高為故，勾、股各自乘，并而開方除之，得邪至日，…〞第五十五頁，共82頁。55弦圖三國時期的趙爽〔公元3世紀(jì)〕為?周髀算經(jīng)?作注時，給出了“弦圖〞，運(yùn)用面積(miànjī)的出入相補(bǔ)原理證明了勾股定理。第五十六頁，共82頁。56勾股問題(wèntí)〔1〕直角(zhíjiǎo)三角形的兩條直角(zhíjiǎo)邊長分別為3和4，求斜邊長。第五十七頁，共82頁。57費(fèi)爾馬大定理(dìnglǐ)x2+y2=z2的通解〔x，y互質(zhì)時〕X=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2〔m，n互質(zhì)且一奇一偶〕以下(yǐxià)方程無正整數(shù)解第五十八頁，共82頁。58費(fèi)爾馬大定理(dìnglǐ)的證明1993年在英國劍橋大學(xué)牛頓數(shù)學(xué)研究所的一個(yīɡè)討論班上，美國普林斯頓大學(xué)教授維爾斯〔Wiles〕宣布證明了費(fèi)爾馬大定理。1994年修補(bǔ)了證明中的一些漏洞后于1995年在?數(shù)學(xué)年刊?上正式發(fā)表。為此維爾斯獲得了沃爾夫獎。第五十九頁，共82頁。59曾獲菲爾茲、沃爾夫數(shù)學(xué)(shùxué)獎的華人科學(xué)家菲爾茲：丘成桐〔1982年〕；陶哲軒〔2006年，31歲〕沃爾夫：陳省身第六十頁，共82頁。60?孫子(sūnzi)算經(jīng)?中的雞兔同籠今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉、兔各幾何(jǐhé)？答曰：雉二十三，兔一十二。術(shù)曰：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得。

第六十一頁，共82頁。61雞兔同籠問題(wèntí)〔1〕商店出售大、中、小氣球，大球每個3元，中球每個元，小球每個1元。張老師用120元買了55個球，其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣(yīyàng)多。問每種球各買幾個？第六十二頁，共82頁。62雞兔同籠問題(wèntí)〔2〕一項(xiàng)工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘假設(shè)下雨，雨天一天只能(zhīnénɡ)完成晴天的4/5的工作量?，F(xiàn)在知道在施工期間雨天比晴天多3天。問這項(xiàng)工程要多少天才能完成？第六十三頁，共82頁。63雞兔同籠問題(wèntí)〔3〕甲、乙兩地相距100千米。張先騎摩托車從甲地出發(fā)，1小時后李駕駛汽車也從甲地出發(fā)。兩人同時(tóngshí)到達(dá)乙地。摩托車開始速度是每小時50千米，后來減速為每小時40千米。汽車速度是每小時80千米，但汽車在途中停了10分鐘。問摩托車是在出發(fā)后多少時間開始減速的？第六十四頁，共82頁。64行程(xíngchéng)問題〔1〕小王的步行(bùxíng)速度是4.8千米/小時，小張的步行(bùxíng)速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地去。小李騎自行車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去。他們3人同時出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇。問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間？第六十五頁，共82頁。65行程(xíngchéng)問題〔2〕一只小船從A地到B地往返一次共用2小時?；貋頃r順?biāo)?shùnshuǐ)，比去時每小時多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米。求A，B兩地的距離。第六十六頁，共82頁。66行程(xíngchéng)問題〔3〕甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時(xiǎoshí)后相遇于C點(diǎn)。如果甲車速度不變，乙車每小時(xiǎoshí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，那么相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時(xiǎoshí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，那么相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米。求A，B兩地的距離。第六十七頁，共82頁。67行程(xíngchéng)問題〔4〕甲、乙、丙依次相距300米〔見以下圖〕，甲、乙、丙每分鐘依次走100米、90米、85米。如果甲、乙、丙同時出發(fā)，那么經(jīng)過(jīngguò)幾分鐘，甲所處的位置第一次與乙、丙的距離相等。

甲乙丙第六十八頁，共82頁。68無限概念的早期(zǎoqī)探索——芝諾悖論兩分法悖論：運(yùn)動不存在，因?yàn)槲灰莆矬w在到達(dá)目的地之前必先抵達(dá)一半處，在一半處之前必先抵達(dá)四分之一處……依此直至(zhízhì)無窮，而無窮是不會結(jié)束的。阿基里斯與烏龜賽跑飛矢不動運(yùn)動場第六十九頁，共82頁。69Ball悖論(bèilùn)〔1892〕矩形ABCD，作AE=AD，使∠DAE為銳角，分別作線段CD、CE的垂直平分線交于點(diǎn)O，易證△OAE≌△OBC，從而(cóngér)可得∠BAE=∠ABC〔鈍角=直角〕。ABCDMNOE第七十頁，共82頁。70亞里士多德輪大、小圓同時滾動一周(yīzhōu)，所以大、小圓周長相等。第七十一頁，共82頁。71角谷猜測(cāicè)二次大戰(zhàn)前后美國一個叫敘拉古的小鎮(zhèn)流行一種數(shù)字游戲，無論你從什么自然數(shù)開始，按照一個簡單的運(yùn)算模式〔如果是偶數(shù)那么除以2，如果是奇數(shù)那么乘3加1〕，最終必然跌進(jìn)4→2→1的怪圈。1960年前后日本數(shù)學(xué)家角谷靜夫?qū)⑵鋷Щ厝毡?，開展成角谷猜測(cāicè)〔3X+1現(xiàn)象〕。第七十二頁，共82頁。72角谷猜測(cāicè)舉例序列有長有短：16→8→4→2→1共4步；7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1共16步；27要經(jīng)過111步的計(jì)算(jìsuàn)才到達(dá)1。第七十三頁，共82頁。73分油問題(wèntí)有3個外形不規(guī)那么的油壺A，B，C，其中A壺已經(jīng)裝滿了油共10升，B，C是兩個空壺，容積分別(fēnbié)是7升和3升。請用這3個壺而不借助于任何其它工具，將10升油平分后分別(fēnbié)裝入A，B壺。ABC第七十四頁，共82頁。74設(shè)用B壺從A壺中倒出x次，用C壺從A壺中倒出y次，那么應(yīng)有(yīnɡyǒu)7x+3y=5該方程有無數(shù)多組解，比方x=2，y=-3故只要用B壺從A壺中倒出2次，將C壺裝滿后倒入A壺3次，就倒出了5升油。[〔-1，4〕是另一組解]ABC第七十五頁，共82頁。75

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