2019年數(shù)學真題及解析-2019年北京市高考數(shù)學試卷（理科）

2019年北京市高考數(shù)學試卷（理科）

一、選擇題共8小題，每小題5分，共4（）分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項。

1.（5分）已知復數(shù)z=2+i,則z?z=（）

A.如B.依C.3D.5

2.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）

3.（5分）己知直線/的參數(shù)方程為，?為參數(shù)），則點（1,o）到直線/的距

y=2+4t

離是（）

A.LB.2c.AD.旦

5555

22

4.（5分）已知橢圓三+、=1的離心率為工，則（）

2.2

ab2

A.〃2=2廬B.3a2C.a=2bD.3a=4b

5.（5分）若x,y滿足|x|Wl-y,且y2-1，則3x+y的最大值為（）

A.-7B.1C.5D.7

6.（5分）在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿

足〃22-M=*—U其中星等為他的星的亮度為以（％=1,2）.已知太陽的星等是-

26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為（）

A.1OIOJB.10.1C.IglO.lD.10-101

7.（5分）設點4,B,C不共線，則“AB與AC的夾角為銳角”是“l(fā)AB+ACRIBCI”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.（5分）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：/+y2=l+k|），就是其中之一

（如圖）.給出下列三個結論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過加；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結論的序號是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

9.（5分）函數(shù)=sir>22x的最小正周期是.

10.（5分）設等差數(shù)列｛a”｝的前〃項和為S”若“2=-3,S5=-10,則“5=,S"

的最小值為.

11.（5分）某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格

紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為

(T)/±m(xù)；@m//a；③/J_a.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：.

13.(5分)設函數(shù)/G)=，+“一，(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則a=；若f

(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是.

14.(5分)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草猿、京白梨、西瓜、

桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水

果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支

付成功后，李明會得到支付款的80%.

①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的

最大值為.

三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

15.(13分)在△ABC中，a=3,b-c=2,cos8=-

2

(I)求6,c的值；

(II)求sin(B-C)的值.

16.(14分)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，出，平面ABCQ,ADLCD,AD//BC,PA=AD

=CD=2,BC=3.E為產(chǎn)力的中點，點廠在PC上，且旦_=工.

PC3

(I)求證：CZ)_L平面PAD-,

(II)求二面角F-AE-P的余弦值；

(III)設點G在PB上，且里=2.判斷直線AG是否在平面AEF內，說明理由.

PB3

17.(13分)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來，移動支付已成為主

要支付方式之一.為了解某校學生上個月4,B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學

生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中4B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使

用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：

(元)(0,1000](1000,2000]大于2000

支付嬴

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

(I)從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A,8兩種支付方式都使用的概率；

(II)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月

支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

(III)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，

隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結果，能否認為樣本

僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

18.(14分)已知拋物線C：/=-2外經(jīng)過點(2,-1).

(I)求拋物線C的方程及其準線方程；

(H)設。為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線/交拋物線C于兩點M,N,

直線y=-1分別交直線OM,CW于點A和點&求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過)，軸上的

兩個定點.

19.(13分)已知函數(shù)/(x)=L?-/+北

4

(I)求曲線y=/(x)的斜率為1的切線方程；

(II)當x￡［-2,4］時，求證：x-6〈于(x)Wx；

(III)設b(x)=|/(x)-(x+a)|(t/GR),記尸(x)在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M

(〃).當M(a)最小時，求〃的值.

20.(13分)已知數(shù)列僅〃｝,從中選取第八項、第”項、…、第二項5〈較<…〈加),若

ai<ai^<---<ai，則稱新數(shù)列a",…，ai為｛如｝的長度為"?的遞增子列.規(guī)

定：數(shù)列｛〃"｝的任意一項都是｛“"｝的長度為1的遞增子列.

(I)寫出數(shù)列1,8,3,7,5,6,9的一個長度為4的遞增子列；

(II)已知數(shù)列｛.｝的長度為p的遞增子列的末項的最小值為am：,長度為q的遞增子列

的末項的最小值為叫.若P<q，求證：叫<喙；

(HI)設無窮數(shù)列｛"”｝的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等.若｛〃”｝的長度為s的遞

增子列末項的最小值為2s-1,且長度為s末項為2s-1的遞增子列恰有2「1個(5=1,

2,…)，求數(shù)列｛“”｝的通項公式.

2019年北京市高考數(shù)學試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項。

1.（5分）已知復數(shù)z=2+i,貝!]z?z=（）

A.V3B.V5C.3D.5

【考點】A5：復數(shù)的運算.

【分析】直接由z?W=|zJ求解.

【解答】解：；z=2+i,

z=|z|2=（A/22+12）2=5-

故選：D.

【點評】本題考查復數(shù)及其運算性質，是基礎的計算題.

2.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）

A.1B.2C.3D.4

【考點】EF：程序框圖.

【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量s的

值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

【解答】解：模擬程序的運行，可得

攵=1,5=1

s=2

不滿足條件Z23,執(zhí)行循環(huán)體，k=2,s=2

不滿足條件k》3,執(zhí)行循環(huán)體，k=3,s=2

此時，滿足條件上23,退出循環(huán)，輸出s的值為2.

故選：B.

【點評】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得

出正確的結論，是基礎題.

3.（5分）已知直線/的參數(shù)方程為1x=l+3t,?為參數(shù)），則點（],0）到直線/的距

y=2+4t

離是（）

A.LB.2C..1D.

5555

【考點】IT：點到直線的距離公式；QH：參數(shù)方程化成普通方程.

【分析】消參數(shù)，化參數(shù)方程為普通方程，再由點到直線的距離公式求解.

【解答】解：由fx=l+3t（.為參數(shù)），消去力可得4x-3y+2=0.

[y=2+4t

則點（1,0）到直線/的距離是d=M>-3X0+2|工

442+（一3產(chǎn)5

故選：D.

【點評】本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查點到直線距離公式的應用，是基礎題.

22

4.（5分）已知橢圓工_+2—=1（a>6>0）的離心率為工，則（）

2,29

abz

A.a2=2b2B.3a2=4/?2C.a=2bD.3a=4b

【考點】K4：橢圓的性質.

【分析】由橢圓離心率及隱含條件。2=啟+02得答案.

1212k21

【解答】解：由題意，￡』，得二=工，則過半=工,

a2/a4a/4

:.4。2-4b2=,gp3a2=482.

故選：B.

【點評】本題考查橢圓的簡單性質，熟記隱含條件是關鍵，是基礎題.

5.（5分）若x,y滿足|x|Wl-y,且>2-I,則3x+y的最大值為（）

A.-7B.1C.5D.7

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【分析】由約束條件作出可行域，令z=3x+)，，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最

優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.

【解答】解：由｛I，：1力作出可行域如圖，

由圖可知，當直線y=-3x+z過點A時，z有最大值為3X2-1=5.

故選：C.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題.

6.(5分)在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿

足機2-如=?!依?-,其中星等為磔的星的亮度為&(A=l,2).已知太陽的星等是-

26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()

A.10“),B.10.1C./glO.lD.10-101

【考點】4H：對數(shù)的運算性質.

【分析】把已知熟記代入m2-〃，尸■|依￡~,化簡后利用對數(shù)的運算性質求解.

【解答】解：設太陽的星等是〃“=-26.7,天狼星的星等是加2=-1.45,

rE1

由題意可得：一1.45-(-26.7)=7"1^—?

ZE2

故選:A.

【點評】本題考查對數(shù)的運算性質，是基礎的計算題.

7.（5分）設點A,B,C不共線，則“AB與AC的夾角為銳角”是"lAB+ACRIBCT的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件.

【分析】“AB與AC的夾角為銳角”="IAB^Ad>IBCT，"IAB^AC1>IBCr今"AB與AC的

夾角為銳角”，由此能求出結果.

【解答】解：點A,B,C不共線，

“AB與AC的夾角為銳角”=>"IAB+Ad>IBCT，

"IAB+Aa>IBaw="初正的夾角為銳角”，

???'?'.

設點A,B,C不共線，則“AB與AC的夾角為銳角”是“IAB+AC1>IBCI”的充分必要

條件.

故選：C.

【點評】本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，考查向量等基礎知識，考查

推理能力與計算能力，屬于基礎題.

8.（5分）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：/+）?=1+因），就是其中之一

（如圖）.給出下列三個結論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過加；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結論的序號是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

【考點】2K：命題的真假判斷與應用；KE：曲線與方程.

【分析】將X換成-X方程不變，所以圖形關于y軸對稱，根據(jù)對稱性討論y軸右邊的圖

形可得.

【解答】解：將x換成-x方程不變，所以圖形關于y軸對稱，

當x=0時，代入得產(chǎn)=1,即曲線經(jīng)過（0,1）,（0,-I）；

當x>0時，方程變?yōu)?-孫+?-1=0,所以△=7-4（x2-1）20,解得xe（0,?當］，

所以x只能取整數(shù)1,當x=l時，/-）,=（）,解得y=o或>=1,即曲線經(jīng)過（1,0）,

（1,1）,

根據(jù)對稱性可得曲線還經(jīng)過（-1,0）,（-1,1）,

故曲線一共經(jīng)過6個整點，故①正確.

2,2

當x>0時，由/+丫2=1+盯得f+y2-i=xyW2———,（當x=y時取等），

2

.-.?+7<2,.-.^x2+y2<V2-即曲線C上y軸右邊的點到原點的距離不超過血,根

據(jù)對稱性可得：曲線C上任意一點到原點的距離都不超過加；故②正確.

在x軸上圖形面積大于矩形面積=1X2=2,x軸下方的面積大于等腰直角三角形的面積

=yX2Xl=l>因此曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于2+1=3,故③錯誤?

故選：C.

【點評】本題考查了命題的真假判斷與應用，屬中檔題.

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

9.（5分）函數(shù)/（X）=sin22x的最小正周期是_3_.

【考點】H1：三角函數(shù)的周期性.

【分析】用二倍角公式可得/（x）=-ycos（4x）+y-然后用周期公式求出周期即可?

【解答】解：（x）=sin2（2x）,

../（x）=-l-cos（4x）+-^->

：.f（x）的周期7=5，

故答案為：2L.

2

【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質，關鍵是合理使用二倍角公式，屬基礎題.

10.（5分）設等差數(shù)列｛劭｝的前"項和為S",若a2=-3,55=-10,則“5=0,S”的

最小值為-10.

【考點】84：等差數(shù)列的通項公式；85：等差數(shù)列的前n項和.

【分析】利用等差數(shù)列｛“〃｝的前”項和公式、通項公式列出方程組，能求出小=-4,d

=1,由此能求出“5的Sn的最小值.

【解答】解：設等差數(shù)列｛珈｝的前“項和為S”及=-3,$5=70,

&[+（1=-3

5X4,

5ai+p—#-10

解得ai=-4,d=l,

a5=ai+4d=-4+4X1=0,

S〃=na+n（n-l）,4〃+n（n-l）（〃-旦）2_坦，

22228

.?.〃=4或〃=5時，S取最小值為S4=S5=-10.

故答案為：0,-10.

【點評】本題考查等差數(shù)列的第5項的求法，考查等差數(shù)列的前n項和的最小值的求法，

考查等差數(shù)列的性質等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題.

11.（5分）某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格

紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為40.

【分析】由三視圖還原原幾何體，然后利用一個長方體與一個棱柱的體積作和求解.

【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖,

該幾何體是把棱長為4的正方體去掉一個四棱柱,

則該幾何體的體積V=4x2X2+^(2+4)X2X4=40

故答案為：40.

【點評】本題考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

12.（5分）己知/,相是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：

①/L”；（2）m//a：③/J_a.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：若/

-La,/Lm,則加〃a.

【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系.

【分析】由/,〃?是平面a外的兩條不同直線，利用線面平行的判定定理得若/±a,ILm,

則m//a.

【解答】解：由/,，〃是平面a外的兩條不同直線，知：

由線面平行的判定定理得：

若/J_a,/±/?,則胴〃a.

故答案為：若/_La,IVm,則，w〃a.

【點評】本題考查滿足條件的真命題的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關

系等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題.

13.(5分)設函數(shù)/(x)=炭+〃/，(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則a=-1；若/

(%)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是(-8,0].

【考點】3E：函數(shù)單調性的性質與判斷；3K：函數(shù)奇偶性的性質與判斷.

【分析】對于第一空：由奇函數(shù)的定義可得/(-尤)=-/(尤)，即/斗叱=-(/+ae

變形可得分析可得〃的值，即可得答案；

對于第二空：求出函數(shù)的導數(shù)，由函數(shù)的導數(shù)與單調性的關系分析可得了(X)的導數(shù)/

(x)="-4eF20在R上恒成立，變形可得：“We?，恒成立，據(jù)此分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)="+ae),

若/(x)為奇函數(shù)，則-x)=-fCx),即eF+ad=-Ce-x+ae'x),變形可得〃=-1,

函數(shù)/(x)—ex+aex,導數(shù)，(x)-aex

若f(x)是R上的增函數(shù)，則f(x)的導數(shù)/(x)=，-〃/》20在口上恒成立，

變形可得：〃We2x恒成立，分析可得aWO,即a的取值范圍為(-8,0];

故答案為：-1,(-8,0].

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性的判定，關鍵是理解函數(shù)的奇偶性與單調性的

定義，屬于基礎題.

14.(5分)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、

桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水

果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支

付成功后，李明會得到支付款的80%.

①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付130元;

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的

最大值為15.

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【分析】①由題意可得顧客一次購買的總金額，減去x,可得所求值；

②在促銷活動中，設訂單總金額為〃？元，可得(根-x)X80%NWX70%,解不等式，

結合恒成立思想，可得X的最大值.

【解答】解：①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140(元),

即有顧客需要支付140-10=130(元)：

②在促銷活動中，設訂單總金額為，〃元，

可得(機-x)X80%>mX70%,

即有xW皿，

8

由題意可得小1120,

可得xW儂=15,

8

則x的最大值為15元.

故答案為：130,15

【點評】本題考查不等式在實際問題的應用，考查化簡運算能力，屬于中檔題.

三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

15.(13分)在△4BC中，。=3,b-c=2,cos8=-L.

2

(I)求8,C的值；

(H)求sin(B-C)的值.

【考點】HR：余弦定理.

【分析】(I)利用余弦定理可得/=/+c2_2accos8,代入已知條件即可得到關于6的

方程，解方程即可；

(II)sin(8-C)=sinBcosC-cosBsinC,根據(jù)正弦定理可求出sinC,然后求出cosC,

代入即可得解.

【解答】解：(1)；。=3,b-c=2,cosB=-X

2

；?由余弦定理，得%2=/+C2-2accosB

o1

=9+(b-2)-2X3X(b-2)X(冷)，

:.b=7,：.c=b-2=5i

(II)在△ABC中，：cosB="1，，sinB=返，

22

由正弦定理有：c=b,

sinCsinB

RX近

?.門csinB2

.&nC=b=7F'

?:b>c,:.B>C,，C為銳角，

cosC=-li-,

14

sin(B-C)=sin8cosc-cosBsinC

=B.X旦-(2)X也

214、2,14

=蚯

7

【點評】本題考查了正弦定理余弦定理和兩角差的正弦公式，屬基礎題.

16.(14分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，M，平面A8CQ,AD1CD,AD//BC,PA=AD

=CD=2,BC=3.E為尸。的中點，點尸在PC上，且里=L.

PC3

(I)求證：CDJ_平面PAD；

(II)求二面角F-AE-P的余弦值；

(III)設點G在PB上，且弛=2.判斷直線AG是否在平面AEF內，說明理由.

PB3

【考點】LW：直線與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法.

【分析】(I)推導出PAVCD,ADYCD,由此能證明C￡)_L平面PAD.

(II)以A為原點，在平面ABC。內過A作CZ)的平行線為x軸，AO為y軸，AP為z

軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角尸-4E-P的余弦值.

(III)求出M=(X0,2),平面AEF的法向量、=(1,1,-1),m'AG=0,從而

33

直線AG在平面AEF內.

【解答】證明：(I)平面ABCD,，出，。。，

\'ADLCD,PAQAD=A,

.*.CD_L平面PAD.

解：（II）以A為原點，在平面ABC。內過A作C。的平行線為x軸,

為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

A(0,0,0),E(0,1,1),F(2,Z,-1),

333

P(0,0,2),B(2,-1,0),

AE=(0,1,1),AF=(―,—,2)，

333

平面AEP的法向量惹=(1,0,0),

設平面AEF的法向量1=(尤，y,z),

m?AE=y+z=0_

則，――.994，取x=l，得ir=(1,1>-1),

m*AF=yx+yy+yz=O

設二面角F-AE-P的平面角為0,

則cos8=2mli'nJ=_^=返.

Im|,|n|V33

...二面角尸-AE-P的余弦值為1.

3

(III)直線AG在平面4E尸內，理由如下：

:點G在PB上，且弛=2.：.G(.1,-2,2),

PB3333

?.?平面AE尸的法向量ir=(1,1,-1),

1導。-2=0,

333

故直線AG在平面AEF內.

【點評】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查直線是否在已知

平面內的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推

理能力與計算能力，屬于中檔題.

17.(13分)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來，移動支付已成為主

要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學

生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使

用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：

(7L)(0,1000](1000,2000]大于2000

支付藏j'''''-

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

(I)從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A,8兩種支付方式都使用的概率;

(II)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月

支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

(III)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用4的學生中，

隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結果，能否認為樣本

僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；CH：離散型隨機變量的期望與方差.

【分析】(I)從全校所有的1000名學生中隨機抽取的100人中，A,B兩種支付方式都

不使用的有5人，僅使用A的有30人，僅使用8的有25人，從而A,8兩種支付方式

都使用的人數(shù)有40人，由此能求出從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A,

B兩種支付方式都使用的概率.

(II)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月

支付金額大于1000元的人數(shù)，則X的可能取值為0,1,2,分別求出相應的概率，由此

能求出X的分布列和數(shù)學期望E(X).

(III)從樣本僅使用A的學生有30人，其中27人月支付金額不大于2000元，有3人月

支付金額大于2000元，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元的概率

為。=一三=」^，不能認為認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的

c34060

^30

人數(shù)有變化.

【解答】解：(1)由題意得：

從全校所有的1000名學生中隨機抽取的100人中，

4,B兩種支付方式都不使用的有5人，

僅使用A的有30人，僅使用8的有25人，

...A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)有：100-5-30-25=40,

.?.從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率p=

型-=0.4.

100

(II)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月

支付金額大于1000元的人數(shù)，

則X的可能取值為0,1,2,

樣本僅使用A的學生有30人,其中支付金額在(0,1000］的有18人，超過1000元的有

12人，

樣本僅使用B的學生有25人，其中支付金額在(0,1000］的有10人，超過1000元的有

15人，

P(X=0)=絲*改=型"且，

302575025

尸(X=l)=11*應以妝=%=坦

3025^02575025

P(X=2)=11x15.=180_=_L,

302575025

；.x的分布列為：

X012

P6136

252525

數(shù)學期望E（X）=QX—+1X—+2X—=??

(III)不能認為樣本僅使用4的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，

理由如下：

從樣本僅使用A的學生有30人，其中27人月支付金額不大于2000元，有3人月支付金

額大于2000元，

Co

隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元的概率為〃=年=^1^,

C34060

%。

雖然概率較小，但發(fā)生的可能性為二

4060

故不能認為認為樣本僅使用4的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.

【點評】本題考查概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查古典概型、

相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查推理能力與計算能力，是中檔題.

18.（14分）已知拋物線C：f=-2py經(jīng)過點（2,-1）.

（I）求拋物線C的方程及其準線方程；

（II）設。為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線/交拋物線C于兩點例，N,

直線y=-1分別交直線。M,ON于點4和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過），軸上的

兩個定點.

【考點】KN：直線與拋物線的綜合.

【分析】（I）代入點（2,-1）,解方程可得p,求得拋物線的方程和準線方程；

（II）拋物線/=-4y的焦點為尸（0,-1）,設直線方程為聯(lián)立拋物線方程,

運用韋達定理，以及直線的斜率和方程，求得A，B的坐標，可得A8為直徑的圓方程，

可令x=0,解方程，即可得到所求定點.

【解答】解：（I）拋物線C：/=-2py經(jīng)過點（2,-I）.可得4=20,即p=2,

可得拋物線C的方程為了=-4y,準線方程為y=1；

（H）證明：拋物線，=-4y的焦點為尸（0,-1）,

設直線方程為），=丘-1,聯(lián)立拋物線方程，可得/+4日-4=0,

設M（xi,y\）,N（X2,”），

可得%1+X2=-4Z,X\X2=-4,

直線0M的方程為丫=工，即了=-工，

X14

直線ON的方程為y=t-x,即y=-上％,

x24

可得A（J_,-1）,B（&,-1）,

X1x2

可得AB的中點的橫坐標為2（°?+1-）=2?二魚=2%,

Xjx2-4

即有A3為直徑的圓心為（2七-1）,

半徑為唱力六.￡^=2內,

可得圓的方程為(x-2k)2+(y+1)2=4(1+F),

化為f-4fcr+(y+1)2=4,

由x=0,可得y=l或-3.

則以A8為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(0,1),(0,-3).

【點評】本題考查拋物線的定義和方程、性質，以及圓方程的求法，考查直線和拋物線

方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題.

19.(13分)已知函數(shù)/(x)=Xr3-x2+x.

4

(I)求曲線)，=/(x)的斜率為1的切線方程；

(II)當x€［-2,4］時，求證：x-6^/(x)Wx；

(III)設尸(x)=|/(x)-(x+?)|(q€R),記尸(x)在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M

(a).當M(a)最小時，求a的值.

【考點】6E：利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【分析】(I)求導數(shù)，(x),由/(x)=1求得切點，即可得點斜式方程；

(II)把所證不等式轉化為-6Wf(x)-xWO,再令g(x)=/(x)-x,利用導數(shù)研究

g(x)在［-2,4］的單調性和極值點即可得證；

(III)先把尸(x)化為|g(x)-a\,再利用(II)的結論，引進函數(shù)%(?)=|/-a|,結

合絕對值函數(shù)的對稱性，單調性，通過對稱軸r=a與-3的關系分析即可.

【解答】解：(1)r(x)-2x+l，

由f(x)=1得x(%-—)—0,

3

得X［=0,x2=y-

又/(0)=0,f(&)

327

27

(II)證明：欲證x-6W/(x)Wx,

只需證-6W/a)-“wo,

令g(x)=f(x)-x=—x^_xxE［-2,4］,

則/(x)

可知g'(x)在［-2,0］為正，在(0,1)為負，在4］為正，

33

，g(x)在［-2,0］遞增，在［0,當遞減，在［區(qū),5遞增，

33

又g(-2)=-6,g(0)=0,g(A)=-J^->-6,g(4)=0,

327

，-6Wg(x)WO