2023年廣東省汕頭潮陽(yáng)區(qū)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．2．在正方體中，過(guò)對(duì)角線的一個(gè)平面交于，交于得四邊形，則下列結(jié)論正確的是（）A．四邊形一定為菱形B．四邊形在底面內(nèi)的投影不一定是正方形C．四邊形所在平面不可能垂直于平面D．四邊形不可能為梯形3．對(duì)于實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定義函數(shù)f（x）=x﹣[x]，則下列命題中正確的是①函數(shù)f（x）的最大值為1；②函數(shù)f（x）的最小值為0；③方程有無(wú)數(shù)個(gè)根；④函數(shù)f（x）是增函數(shù)．A．②③ B．①②③ C．② D．③④4．定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，以為頂點(diǎn)的△ABC的面積記為函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的大致圖象為()A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中m，n均大于0，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．166．從中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件“第一次取到的數(shù)可以被3整除”,“第二次取到的數(shù)可以被3整除”，則()A． B． C． D．7．設(shè)全集，，，則等于（）A． B． C． D．8．雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為3，則它的虛軸長(zhǎng)是（）A． B． C．2 D．49．下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A． B． C． D．10．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A．-1 B．1 C． D．11．設(shè)，則=A．2 B． C． D．112．如圖所示正方形，、分別是、的中點(diǎn)，則向正方形內(nèi)隨機(jī)擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)與的值.14．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部之和為______.15．函數(shù)的定義域是_____.16．為了了解家庭月收入（單位：千元）與月儲(chǔ)蓄（單位：千元）的關(guān)系，從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，據(jù)此估計(jì)該家庭的月儲(chǔ)蓄為__________千元.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)（用數(shù)字作答）．（1）全體排成一行，其中男生甲不在最左邊；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰.18．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)面為正三角形，且平面平面E為PD中點(diǎn)，AD=2.(1)證明平面AEC丄平面PCD;(2)若二面角的平面角滿足，求四棱錐的體積.19．（12分）已知曲線，直線（t為參數(shù)）.（1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線的普通方程；（2）過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)作與直線夾角為30°的直線，交于點(diǎn)A，求的最大值與最小值.20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期：（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值.21．（12分）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知．證明：；若的面積，且的周長(zhǎng)為10，為的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．22．（10分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)題意可知，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出點(diǎn)處的切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出切線方程?！驹斀狻坑深}意知，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故答案選C。【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，一般利用點(diǎn)斜式構(gòu)造直線解析式。2、D【解析】對(duì)于A，當(dāng)與兩條棱上的交點(diǎn)都是中點(diǎn)時(shí)，四邊形為菱形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,當(dāng)兩條棱上的交點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，四邊形垂直于平面,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，四邊形一定為平行四邊形，故D正確.故選：D3、A【解析】

本題考查取整函數(shù)問(wèn)題，在解答時(shí)要先充分理解[x]的含義，根據(jù)解析式畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象進(jìn)行分析可得結(jié)果．【詳解】畫出函數(shù)f(x)=x?[x]的圖象，如下圖所示．由圖象得，函數(shù)f(x)的最大值小于1，故①不正確；函數(shù)f(x)的最小值為0，故②正確；函數(shù)每隔一個(gè)單位重復(fù)一次，所以函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故③正確；函數(shù)f(x)有增有減，故④不正確．故答案為②③．【點(diǎn)睛】本題難度較大，解題的關(guān)鍵是正確理解所給函數(shù)的意義，然后借助函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解．4、D【解析】

連結(jié)AB后，AB長(zhǎng)為定值，由C點(diǎn)變化得到三角形面積函數(shù)的增減性，從而得到面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，則答案可求．【詳解】解：如圖，△ABC的底邊AB長(zhǎng)一定，在點(diǎn)C由A到B的過(guò)程中，△ABC的面積由小到大再減小，然后再增大再減小，對(duì)應(yīng)的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正到負(fù)．且由原圖可知，當(dāng)C位于AB連線和函數(shù)f（x）的圖象交點(diǎn)附近時(shí)，三角形的面積減或增較慢，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

試題分析：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標(biāo)，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可．解：∵x=﹣2時(shí)，y=loga1﹣1=﹣1，∴函數(shù)y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，=（）（2m+n）=4+++2≥4+2?=8，當(dāng)且僅當(dāng)m=，n=時(shí)取等號(hào)．故選C．考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．6、C【解析】分析：先求，，再根據(jù)得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所?選C.點(diǎn)睛：本題考查條件概率，考查基本求解能力.7、B【解析】

直接利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：∵集合，，，由全集，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)知識(shí)的考查．8、A【解析】

根據(jù)雙曲線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)和離心率，結(jié)合列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得虛軸長(zhǎng).【詳解】將點(diǎn)代入雙曲線方程及離心率為得，解得，故虛軸長(zhǎng)，故本小題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.解題過(guò)程中要注意：虛軸長(zhǎng)是而不是.9、D【解析】

逐一對(duì)四個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)進(jìn)行判斷，選出正確答案.【詳解】選項(xiàng)A:因?yàn)榈讛?shù)大于1，故對(duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；選項(xiàng)B::因?yàn)榈讛?shù)大于1，故指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；選項(xiàng)C:因?yàn)橹笖?shù)大于零，故冪函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；選項(xiàng)D;反比例函數(shù)當(dāng)比例系數(shù)大于零時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)是減函數(shù)，故在區(qū)間上是減函數(shù)，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，熟練掌握指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可得，然后利用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則，可得結(jié)果.【詳解】，，，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，注意細(xì)節(jié)，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.11、C【解析】

先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算（分母實(shí)數(shù)化），求得，再求．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)模的計(jì)算．本題也可以運(yùn)用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)直接求解．12、D【解析】

根據(jù)正方形的對(duì)稱性求得陰影部分面積占總面積的比例，由此求得所求概率.【詳解】根據(jù)正方形的對(duì)稱性可知，陰影部分面積占總面積的四分之一，根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式可知點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(1)；(2)或.【解析】

(1)先寫出的表示，然后將模長(zhǎng)關(guān)系表示為對(duì)應(yīng)的不等式，即可求解出的取值范圍；(2)根據(jù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，先求出方程的根，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的原則即可求解出實(shí)數(shù)與的值.【詳解】(1)因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以?2)因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以方程有兩個(gè)虛根，所以，因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，所以，所以或.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算以及有關(guān)復(fù)數(shù)方程的解的問(wèn)題，難度一般.(1)已知，則；(2)若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則復(fù)數(shù)的實(shí)部和實(shí)部相等，虛部和虛部相等.14、0【解析】

先化簡(jiǎn)求得再計(jì)算實(shí)部和虛部的和即可.【詳解】,故實(shí)部和虛部之和為.故答案為：0【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與實(shí)部虛部的概念,屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】

對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域滿足真數(shù)要大于零【詳解】由，解得，故定義域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的定義域，只需滿足真數(shù)大于零即可，然后解不等式，較為簡(jiǎn)單16、【解析】

直接代入即得答案.【詳解】由于，代入，于是得到，故答案為1.7.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的理解，難度很小.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）全體排在一行，其中男生甲不在最左邊的方法總數(shù)為4320種；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起的方法總數(shù)為576種；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰的方法總數(shù)為1440種；【解析】

（1）特殊位置用優(yōu)先法，先排最左邊，再排余下位置。（2）相鄰問(wèn)題用捆綁法，將女生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列。（3）不相鄰問(wèn)題用插空法，先排好女生，然后將男生插入其中的五個(gè)空位?！驹斀狻浚?）先排最左邊，除去甲外有種，余下的6個(gè)位置全排有種，則符合條件的排法共有種.（2）將女生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列，共有576種；（3）先排好女生，然后將男生插入其中的五個(gè)空位，共有種.答：（1）全體排在一行，其中男生甲不在最左邊的方法總數(shù)為4320種；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起的方法總數(shù)為576種；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰的方法總數(shù)為1440種.【點(diǎn)睛】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏.常用的方法技巧有，有特殊元素或特殊位置，對(duì)于特殊元素或位置“優(yōu)先法”，對(duì)于不相鄰問(wèn)題，采用“插空法”。對(duì)于相鄰問(wèn)題，采用“捆綁法”，對(duì)于正面做比較困難時(shí)，常采用“間接法”。18、（1）見解析；（2）2【解析】

(1)要證平面平面，可證平面即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面的法向量，平面的法向量，從而利用向量數(shù)量積公式求得長(zhǎng)度，于是可求得體積.【詳解】（1）取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為F，由側(cè)面為正三角形，且平面平面知平面，故，又，則平面，所以，又，則，又是中點(diǎn)，則，由線面垂直的判定定理知平面，又平面，故平面平面.（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，令，則.由（1）知為平面的法向量，令為平面的法向量，由于均與垂直，故即解得故，由，解得.故四棱錐的體積.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的判定定理，二面角的向量求法，幾何體的體積計(jì)算，建立合適的空間直角坐標(biāo)系是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的空間想象能力，轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計(jì)算能力.19、（1）（為參數(shù)），；（2）最小值為，最大值為.【解析】

（1）令，進(jìn)而可求出曲線的參數(shù)方程；消去參數(shù)，整理即可.（2）根據(jù)題意可知是點(diǎn)P到直線的距離的兩倍，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及輔助角公式，借助三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）曲線（為參數(shù)），直線.（2）易知是點(diǎn)P到直線的距離的兩倍，所以：，最小值為，最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化、點(diǎn)到直線的距離公式、輔助角公式以三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）2，．【解析】

（Ⅰ）因?yàn)?，故最小正周期為（Ⅱ）因?yàn)?，所以．于是，?dāng)，即時(shí)，取得最大值；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．點(diǎn)睛：本題主要考查了兩角和的正弦公式，輔助角公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握公式是解答本題的關(guān)鍵.21、（1）見解析（2）【解析】

（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦定理求出結(jié)果；（2）利用題中所給的條件，結(jié)合三角形的面積公式求得兩條邊長(zhǎng)，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)求得第三邊，之后根據(jù)，利用余弦定理得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：，，，，又，，即.（2）解：又.，.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦定理、誘導(dǎo)公式、三角形的面積公式、余弦定理，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)題的條件靈活應(yīng)用，即可求得結(jié)果.22、（1）見解析；（2）【解析】

分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點(diǎn)，等價(jià)研究的零點(diǎn)，先求導(dǎo)數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個(gè)討論點(diǎn)，一個(gè)是a與零，一個(gè)是x與2，當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，先減后增，從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．設(shè)