工程電磁場數(shù)值分析(有限元法)解讀

工程電磁場數(shù)值分析(有限元法)解讀第一頁，共29頁。第4章電磁場有限元法

（FiniteElementMethod,FEM）有限元法可以基于變分原理導出，也可以基于加權余量法導出，本章以加權余量法作為有限元法的基礎，以靜電場問題的求解為例介紹有限元法的基本原理與實施步驟。并介紹有限元法中的一些特殊問題。第二頁，共29頁。第4章電磁場有限元法（FEM）有限元的基本原理與實施步驟有限元方程組的求解前處理與后處理技術漸近邊界條件矢量有限元法求解運動導體渦流問題的迎風有限元法第三頁，共29頁。在有限元法中，基函數(shù)一般用表示。采用Galerkin方案，取權函數(shù)與基函數(shù)相同。使與余量正交化：加權余量法回顧： 對算子方程用作為該方程的近似解（試探解）：代入方程得余量：1.有限元法的基本原理與實施步驟第四頁，共29頁。設L為線性算子，代入，得或記得代數(shù)方程組：加權余量法回顧（續(xù)）第五頁，共29頁。場域離散 以二維靜電場泊松方程的求解為例。二維問題常使用三角形單元離散，便于處理復雜的場域形狀，容易實現(xiàn)。

單元：互不重疊，覆蓋全部場域；每個單元內(nèi)介質(zhì)是 單一、均勻的。

節(jié)點：網(wǎng)格的交點，待求變量的設置點。 需要記錄信息： 節(jié)點編號、節(jié)點坐標 節(jié)點屬性(激勵源、是否邊界等) 單元編號 單元節(jié)點編號 單元介質(zhì) 第六頁，共29頁。

目標：建立節(jié)點變量之間滿足的代數(shù)方程組，即確定系數(shù){Kij}

和{bi}。依據(jù)的原理是加權余量法使用的基函數(shù)為分域基。基函數(shù)

有限元采用分片逼近的思想，跟使用折線逼近一條任意曲線的做法相同。使用分域基Ni，基函數(shù)的個數(shù)等于節(jié)點的個數(shù)；每個基函數(shù)Ni的作用區(qū)域是與該節(jié)點i相關聯(lián)的所有單元。 第七頁，共29頁。在積分中，對于確定的i，j的有效取值為i本身以及與節(jié)點i相聯(lián)的周圍節(jié)點，積分的有效區(qū)域為以i、j為公共節(jié)點的所有三角形單元，在這些單元中Ni、Nj才有交疊。

這些積分可以分單元進行。例如對右圖所示的局部編碼，K01、K00以及b0的計算公式為：

第八頁，共29頁。以下把單元e的貢獻記為這樣，就有

每個或的計算都在具體的單元內(nèi)單獨考慮（稱為單元分析）。第九頁，共29頁。三角形單元內(nèi)的基函數(shù) 設三角形三個頂點處待求函數(shù)值分別為u1,u2,u3。如果單元足夠小，可以采用線性近似，將單元內(nèi)任意p點的u(x,y)表示為 代入三個頂點的坐標和函數(shù)值，可以解出a、b、c。得到第十頁，共29頁。

單元節(jié)點的編號按逆時針方向排列！其中，第十一頁，共29頁。記住我們的任務—尋找基函數(shù)對比可得基函數(shù)Ni常被稱為插值函數(shù)或者形狀函數(shù)，具有以下性質(zhì)：（1）是插值的；（2）（3）在相鄰單元的公共邊界上，Ni是連續(xù)的，從而通過Ni構造的逼近函數(shù)也是連續(xù)的。第十二頁，共29頁。單元分析：計算單元內(nèi)積分對系數(shù)陣和右端項元素的貢獻。

系數(shù)陣元素： 當L為拉普拉斯算子時，由于Ni在單元內(nèi)是(x,y)的線性函數(shù)，經(jīng)Laplace算子作用后值為0。但是，在相鄰單元的邊界上，Ni是連續(xù)但是不光滑的，因此對積分的貢獻主要來自邊界。為考慮單元邊界的影響，需要借助于格林公式：第十三頁，共29頁。故，格林公式：因：第十四頁，共29頁。 寫成一般形式，若一個三角形三個頂點編號為i,j,m（逆時針順序），則 從而第十五頁，共29頁。再看邊界部分：

（1）在節(jié)點i的對邊Gjm上，Ni＝0，故積分貢獻為0；

結論：單元邊界對積分的貢獻為0。所以單元e為系數(shù)陣元素的貢獻為：

（2）在節(jié)點i的鄰邊Gij上，由于計算Kij時需要把具有公共鄰邊的單元的積分累加，此二單元的Ni是連續(xù)的；對于單一均勻媒質(zhì)，要求相鄰單元滿足 ，故積分的貢獻相互抵消。第十六頁，共29頁。

由于單元很小，做單元分析時通?？梢匀(e)為常數(shù)值（可以認為等于三個頂點上的平均值）。因此

右端項元素：公式：第十七頁，共29頁。通過上述過程，對于一個“正常”的內(nèi)部節(jié)點就建立起了一個代數(shù)方程。“非正?！钡墓?jié)點包括：媒質(zhì)交界面銜接條件和場域邊界條件，稍后再討論。上述以節(jié)點為序的分析過程對于有限元原理的說明是易于理解的。而在實際編程中，更有效率的是以單元為序，逐個計算單元系數(shù)陣[K(e)]，然后合成整體系數(shù)陣[K]。單元系數(shù)陣[K(e)]定義為

設i,j,k是節(jié)點的整體編號，元素Kij在整體矩陣中的實際位置是第i行、j列；因此必須合成到整體矩陣的第i行、j列元素上。第十八頁，共29頁。 對于靜電場問題，媒質(zhì)分界面銜接條件為媒質(zhì)交界面銜接條件

第一個條件是自動滿足的（Why？），無須格外處理。

對于第二個條件，前面計算單元邊界上積分時，默認兩邊j的法向導數(shù)相等，使內(nèi)邊界上的積分結果抵消。因此只要把泊松方程寫成或 滿足的條件將是,從而也無需另行處理。第十九頁，共29頁。 由于有限元方法能夠自動滿足媒質(zhì)交界面條件，因此有限元法特別適合于處理多層復雜媒質(zhì)問題。這是其它方法無可比擬的。媒質(zhì)交界面銜接條件第二十頁，共29頁。第一類邊界條件（強加邊界條件）第一類邊界節(jié)點是指邊界上函數(shù)值已知。因此處理方法是，合成整體系數(shù)陣之后，將該節(jié)點所在行的主元素置1，其它元素均置零，同時將右端項中對應元素設為已知函數(shù)值。要保持對稱性；有更簡便的做法第二十一頁，共29頁。第二類邊界條件（自然邊界條件）第二類邊界節(jié)點是指邊界上函數(shù)法向導數(shù)已知。對于內(nèi)部單元，相鄰單元邊界的積分相互抵消。但是對于場域邊界，如果給定第二類邊界條件不為0，則積分結果要計入右端項中。但是若給定的是齊次第二類邊界條件，則積分結果為0，無需另行處理，非常方便。第二十二頁，共29頁。有限元方法的推導過程雖然看起來有些復雜，但是最終結果是非常簡單而且優(yōu)美的。因為邊界條件的處理和媒質(zhì)交界面條件的處理都非常方便，使得有限元方法在處理復雜媒質(zhì)問題和復雜場域問題時得心應手，獲得了廣泛的應用，稱為最重要的數(shù)值分析手段。有人用“功蓋四方”來形容有限元，實不為過。中國人在有限元的發(fā)明中有自己獨特的貢獻。第二十三頁，共29頁。作業(yè)：

（1）研究方向為數(shù)值計算的同學： 編寫一個二維靜電場有限元程序，計算右圖所示問題，或其它自己找一個問題。

（2）研究方向非數(shù)值計算的同學： 簡要敘述有限元的原理，試分析計算精度可能跟哪些因素有關；并歸納一下，有限元法與有限差分法有那些相同點和不同點？第二十四頁，共29頁。稀疏矩陣技術ICCG法2.有限元方程組的求解第二十五頁，共