離散狀態(tài)空間設(shè)計研究

離散狀態(tài)空間設(shè)計研究第一頁，共63頁。

狀態(tài)空間設(shè)計法是建立在矩陣?yán)碚摶A(chǔ)上、采用狀態(tài)空間模型對多輸入多輸出系統(tǒng)進(jìn)行描述、分析和設(shè)計的方法。用狀態(tài)空間模型能夠分析和設(shè)計多輸入多輸出系統(tǒng)、非線性、時變和隨機(jī)系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)，可以了解到系統(tǒng)內(nèi)部的變化情況。并且這種分析方法便于計算機(jī)求解。

2023/4/302第二頁，共63頁。7．1狀態(tài)空間描述的基本概念1.離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

設(shè)連續(xù)的被控對象的狀態(tài)空間表達(dá)式

在作用下，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)為其中為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。取，，考慮到零階保持器的作用，有則（5－1－1）

（5－1－２）

（5－1－3）

（5－1－４）

2023/4/303第三頁，共63頁。作變量置換，令：

由此可得系統(tǒng)連續(xù)部分的離散化狀態(tài)空間表達(dá)式其中：式中：為維狀態(tài)向量，為維控制向量，為維輸出向量，為維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，為維輸入矩陣，為維輸出矩陣。（5－1－５）

（5－1－６）

（5－1－７）

2023/4/304第四頁，共63頁?？捎玫ㄇ蟮?，

即：以k＝0，1，…

代入式（5－1－6）離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2023/4/305第五頁，共63頁。離散時間系統(tǒng)的能控性

描述的系統(tǒng)，如果存在有限個控制信號，，能使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。

…、…寫成矩陣形式

能控性定義：對于式根據(jù)狀態(tài)方程的解，有2023/4/306第六頁，共63頁。則、、…、有解的充分必要條件，也即系統(tǒng)的能控性判據(jù)為式中:n為系統(tǒng)狀態(tài)向量的維數(shù)。得到輸出的能控性條件為式中:r為輸出向量的維數(shù)。2023/4/307第七頁，共63頁。描述的系統(tǒng)，如果能根據(jù)有限個采樣信號，，確定出系統(tǒng)的初始狀態(tài)，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的

。

離散時間系統(tǒng)的能觀性

…、能觀性定義：對于式根據(jù)狀態(tài)方程的解，從0到時刻，各采樣瞬時的觀測值為：2023/4/308第八頁，共63頁。寫成矩陣形式

則有解的充分必要條件，即系統(tǒng)的能觀性判據(jù)為式中n為系統(tǒng)狀態(tài)向量的維數(shù)。2023/4/309第九頁，共63頁。7．2采用狀態(tài)空間模型的極點配置設(shè)計

圖5－2按極點配置設(shè)計的控制器狀態(tài)空間模型按極點配置設(shè)計的控制器由兩部分組成：一部分是狀態(tài)觀測器，它根據(jù)所量測到的輸出重構(gòu)出狀態(tài)；另一部分是控制規(guī)律，它直接反饋重構(gòu)的狀態(tài)，構(gòu)成狀態(tài)反饋控制。

根據(jù)分離性原理，控制器的設(shè)計可以分為兩個獨立的部分：一是假設(shè)全部狀態(tài)可用于反饋，按極點配置設(shè)計控制規(guī)律；二是按極點配置設(shè)計觀測器。2023/4/3010第十頁，共63頁。1按極點配置設(shè)計控制規(guī)律設(shè)被控對象的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為控制規(guī)律為線性狀態(tài)反饋

假設(shè)反饋的是被控對象實際的全部狀態(tài)x(k)得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為作Z變換

顯然，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

圖5-3狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2023/4/3011第十一頁，共63頁。如何設(shè)計反饋控制規(guī)律，以使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的極點配置？

首先根據(jù)對系統(tǒng)的性能要求，找出所期望的閉環(huán)系統(tǒng)控制極點，再根據(jù)極點的期望值，求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為反饋控制規(guī)律應(yīng)滿足如下的方程如果被控對象的狀態(tài)為維，控制作用為維，則反饋控制規(guī)律為維，即中包含個元素。2023/4/3012第十二頁，共63頁。例7-1

對于單輸入系統(tǒng)，給定二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程設(shè)計狀態(tài)反饋控制規(guī)律，使閉環(huán)極點為解根據(jù)能控性判據(jù)，因

所以系統(tǒng)是能控的。期望的閉環(huán)特征方程為設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律

2023/4/3013第十三頁，共63頁。取，比較兩邊同次冪的系數(shù)，有可得：即狀態(tài)反饋控制規(guī)律為

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

2023/4/3014第十四頁，共63頁。2按極點配置設(shè)計狀態(tài)觀測器

在實際工程中，采用全狀態(tài)反饋通常是不現(xiàn)實的。常用的方法是設(shè)計狀態(tài)觀測器，由測量的輸出值重構(gòu)全部狀態(tài)，實際反饋的只是重構(gòu)狀態(tài)。即常用的狀態(tài)觀測器有三種。

圖5-4狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖2023/4/3015第十五頁，共63頁。狀態(tài)重構(gòu)誤差的動態(tài)性能取決于特征方程根的分布。若狀態(tài)重構(gòu)誤差為：

得狀態(tài)重構(gòu)誤差方程為：

預(yù)報觀測器的特征方程：

的特性是快速收斂的，則對于任何初始誤差，都將快速收斂到零。因此，只要適當(dāng)?shù)剡x擇增益矩陣，便可獲得要求的狀態(tài)重構(gòu)性能。預(yù)報觀測器觀測器方程2023/4/3016第十六頁，共63頁。如果給出觀測器的極點，可求得觀測器的特征方程為了獲得所需要的狀態(tài)重構(gòu)性能，應(yīng)有

通過比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，可求得中的n個未知數(shù)。

對于任意的極點配置，具有唯一解的充分必要條件是對象是完全能觀的。

2023/4/3017第十七頁，共63頁?，F(xiàn)時觀測器觀測器方程

狀態(tài)重構(gòu)誤差為

狀態(tài)重構(gòu)誤差方程：

2023/4/3018第十八頁，共63頁?，F(xiàn)時觀測器特征方程：為使現(xiàn)時觀測器具有期望的極點配置，應(yīng)有

同理，通過比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，可求得K

中的n個未知數(shù)。降階觀測器

將原狀態(tài)向量分成兩部分，一部分是可以直接測量的，一部分是需要重構(gòu)的。2023/4/3019第十九頁，共63頁。被控對象的離散狀態(tài)方程可以分塊表示為即比較得：2023/4/3020第二十頁，共63頁。觀測器方程:狀態(tài)重構(gòu)誤差方程：

降階觀測器特征方程：

同理，使，通過比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，可求得K

中的n個未知數(shù)。2023/4/3021第二十一頁，共63頁。3按極點配置設(shè)計控制器

1）控制器組成

設(shè)被控對象的離散狀態(tài)空間描述為控制器由預(yù)報觀測器和狀態(tài)反饋控制律組成，即2）分離性原理閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

矩陣形式：

2023/4/3022第二十二頁，共63頁。閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為可見，閉環(huán)系統(tǒng)的2n個極點由兩部分組成，一部分是按極點配置設(shè)計的控制規(guī)律給定的n個極點，稱為控制極點，另一部分是按極點配置設(shè)計的狀態(tài)觀測器給定的n個極點，稱為觀測器極點。兩部分相互獨立，可分別設(shè)計。2023/4/3023第二十三頁，共63頁。3）數(shù)字控制器實現(xiàn)設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律為代入預(yù)報觀測器方程觀測器與控制規(guī)律的關(guān)系

得控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

將脈沖傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為差分方程，就可以在計算機(jī)上實現(xiàn)數(shù)字控制器。2023/4/3024第二十四頁，共63頁。

，無阻尼自然頻率；

②觀測器極點所對應(yīng)的衰減速度比控制極點所對應(yīng)的衰減速度快約3倍。例7－3

設(shè)被控對象的傳遞函數(shù)為，采樣周期，采用零階保持器，試設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，要求：①閉環(huán)系統(tǒng)的性能相應(yīng)于二階連續(xù)系統(tǒng)的阻尼比解被控對象的等效微分方程為

定義兩個狀態(tài)變量

2023/4/3025第二十五頁，共63頁。則被控對象的連續(xù)狀態(tài)空間表達(dá)式離散狀態(tài)空間表達(dá)式其中：2023/4/3026第二十六頁，共63頁。①判斷被控對象的能控性和能觀性

因此，被控對象是能控且能觀的。根據(jù)能控性判據(jù)和能觀性判據(jù)

②設(shè)計狀態(tài)反饋控制規(guī)律

設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律為，對應(yīng)的特征方程為

2023/4/3027第二十七頁，共63頁。根據(jù)對閉環(huán)極點的要求，對應(yīng)的極點和特征方程為由，可得解得L1＝2，L2＝－0.317，即2023/4/3028第二十八頁，共63頁。③設(shè)計狀態(tài)觀測器

選用現(xiàn)時觀測器，設(shè)觀測器增益矩陣為

現(xiàn)時觀測器的特征方程為依題意：對應(yīng)的特征方程為2023/4/3029第二十九頁，共63頁。解得，，即由，可得

④組成控制器

其中

，。2023/4/3030第三十頁，共63頁。7．3采用狀態(tài)空間模型的最優(yōu)化設(shè)計針對隨機(jī)系統(tǒng)按最優(yōu)化方法設(shè)計控制器。

假定被控對象是線性的，系統(tǒng)性能指標(biāo)是狀態(tài)和控制的二次型函數(shù)，則系統(tǒng)的綜合問題就是尋求允許的控制信號序列，使性能指標(biāo)函數(shù)最小，這類問題稱為線性二次型（LinearQuadratic）控制問題。如果考慮系統(tǒng)中隨機(jī)的過程干擾和量測噪聲，且過程干擾和量測噪聲均是具有正態(tài)分布的白噪聲，這類問題稱為線性二次型高斯（LinearQuadraticGaussian）控制問題。2023/4/3031第三十一頁，共63頁。

最優(yōu)控制器也是由兩部分組成，一部分是狀態(tài)最優(yōu)估計器；另一部分是最優(yōu)控制規(guī)律。圖5－5

最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖

其設(shè)計也可分為兩個獨立的部分：一是將系統(tǒng)看作確定性系統(tǒng)；二是考慮隨機(jī)的過程干擾v和量測噪聲w，設(shè)計狀態(tài)最優(yōu)估計器。2023/4/3032第三十二頁，共63頁。1最優(yōu)控制規(guī)律設(shè)計有限時間最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計設(shè)連續(xù)被控對象的離散化狀態(tài)方程為初始條件給定二次型性能指標(biāo)函數(shù)

線性二次型最優(yōu)控制的任務(wù)是尋求最優(yōu)控制序列（k＝0，1，…，N－1），在把初始狀態(tài)x(0)轉(zhuǎn)移到x(N)的過程中，使性能指標(biāo)函數(shù)最小。

2023/4/3033第三十三頁，共63頁。

求解二次型最優(yōu)控制問題可采用變分法、動態(tài)規(guī)劃法等方法。這里采用離散動態(tài)規(guī)劃法來進(jìn)行求解。

動態(tài)規(guī)劃法的基本思想是：將一個多級決策過程轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼舛鄠€單級決策優(yōu)化問題，這里需要決策的是控制變量（k＝0，1，…，N－1）。令二次型性能指標(biāo)函數(shù)其中：i＝N－1、N－2、…、0。下面從最末一級往前逐級求解最優(yōu)控制序列。

2023/4/3034第三十四頁，共63頁。

首先求解，以使最小。求對u(N－1)的一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零：由上式和連續(xù)被控對象的離散化狀態(tài)方程，有2023/4/3035第三十五頁，共63頁。進(jìn)一步求得最優(yōu)的控制決策為其中得依次，可求的、、…、。、…、其中2023/4/3036第三十六頁，共63頁。計算公式歸納：

最優(yōu)性能指標(biāo)為

滿足上式的最優(yōu)控制一定存在且是唯一的。其中利用以上公式可以逆向遞推計算出S(k)和L(k)。2023/4/3037第三十七頁，共63頁。無限時間最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計設(shè)被控對象的狀態(tài)方程為

當(dāng)N→∞時，其性能指標(biāo)函數(shù)簡化為

其中是非負(fù)定對稱陣，是正定對稱陣。假定［F，G］是能控的，且［F，D］是能觀的，其中D為能使DTD＝Q1成立的任何矩陣。計算機(jī)控制系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計，最經(jīng)常碰到的是離散定常系統(tǒng)終端時間無限的最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題。當(dāng)終端時間N→∞時，矩陣S

(k)將趨于某個常數(shù)，因此可得到定常的最優(yōu)反饋增益矩陣L，便于工程實現(xiàn)。2023/4/3038第三十八頁，共63頁。存在，且是與無關(guān)的常數(shù)陣。或：的解，那么對于任何非負(fù)定對稱陣，有①設(shè)S

(k)是如下的黎卡堤（Riccati）方程可以證明有以下幾點結(jié)論：2023/4/3039第三十九頁，共63頁。③穩(wěn)態(tài)控制規(guī)律

是使上面性能指標(biāo)函數(shù)J極小的最優(yōu)反饋控制規(guī)律，最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)為④所求得的最優(yōu)控制規(guī)律使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定。

②S是如下的黎卡堤代數(shù)方程

或：的唯一正定對稱解。2023/4/3040第四十頁，共63頁。

該結(jié)論說明了：當(dāng)滿足上述結(jié)論中所給條件時，最優(yōu)的反饋控制規(guī)律是常數(shù)陣；并且使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。同時該結(jié)論也指出了計算最優(yōu)反饋控制規(guī)律的途徑，它既可以通過直接黎卡堤代數(shù)方程求解，也可以通過迭代法解黎卡堤差分方程求得。同時也可以看出，結(jié)論條件“是正定對稱陣”可以放寬到“是正定對稱陣”。2023/4/3041第四十一頁，共63頁。例7－4考慮離散系統(tǒng)：其中：設(shè)計最優(yōu)控制器，使性能指標(biāo)：最小。2023/4/3042第四十二頁，共63頁。解選和，。通過MATLAB仿真，可解得兩種情況下的最優(yōu)反饋增益矩陣為：(a)權(quán)矩陣較小的情況(b)權(quán)矩陣較大的情況2023/4/3043第四十三頁，共63頁。解選，和。通過MATLAB仿真，可解得兩種情況下的最優(yōu)反饋增益矩陣為：(a)權(quán)矩陣較小的情況(b)權(quán)矩陣較大的情況2023/4/3044第四十四頁，共63頁。2狀態(tài)最優(yōu)估計器設(shè)計

目前有許多狀態(tài)估計方法，這里介紹Kalman濾波器。設(shè)被控對象的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為其中：x(k)為n維狀態(tài)向量，u(k)為m維控制向量，y(k)為r維輸出向量，v(k)為n維過程干擾向量，w(k)為r維測量噪聲向量。假設(shè)v(k)和w(k)均為離散化處理后的高斯白噪聲序列，且有設(shè)V為非負(fù)定對稱陣，W為正定對稱陣，并設(shè)v(k)和w(k)不相關(guān)。1）Kalman濾波公式的推導(dǎo)2023/4/3045第四十五頁，共63頁。

由于系統(tǒng)中存在隨機(jī)的干擾v(k)和隨機(jī)的量測噪聲w(k)，因此系統(tǒng)的狀態(tài)向量x(k)也是隨機(jī)向量，y(k)是能夠量測的輸出量。若記x(k)的估計量為問題：如何根據(jù)輸出量y(k)估計出x(k)則：為狀態(tài)的估計誤差，因而

為狀態(tài)估計的協(xié)方差陣。顯然P(k)為非負(fù)定對稱陣。這里估計的準(zhǔn)則為：根據(jù)量測量y(k)，y(k－1)，…，最優(yōu)地估計出，以使P(k)極?。ㄒ騊(k)是非負(fù)定對稱陣，因此可比較其大小）。這樣的估計稱為最小方差估計。2023/4/3046第四十六頁，共63頁。根據(jù)最優(yōu)估計理論，最小方差估計為

即x(k)最小方差估計等于在直到k時刻的所有量測量y的情況下x(k)的條件期望。

引入更一般的記號若，表示根據(jù)直到現(xiàn)時刻的量測量來估計過去時刻的狀態(tài)，稱為內(nèi)插或平滑；，表示根據(jù)直到現(xiàn)時刻的量測量來估計將來時刻的狀態(tài)，稱為預(yù)報或外推；，表示根據(jù)直到現(xiàn)時刻的量測量來估計現(xiàn)時刻的狀態(tài)，稱為濾波。這里所討論的狀態(tài)最優(yōu)估計問題即是指濾波問題。2023/4/3047第四十七頁，共63頁。引入如下記號；k－1時刻的狀態(tài)估計；k－1時刻的狀態(tài)估計誤差；k－1時刻的狀態(tài)估計誤差協(xié)方差陣

；一步預(yù)報估計

；一步預(yù)報估計誤差；一步預(yù)報估計誤差誤差協(xié)方差陣同樣，如：；k時刻的狀態(tài)估計2023/4/3048第四十八頁，共63頁。求一步預(yù)報誤差根據(jù)前面的定義，上式中第一項為，是輸入到控制對象的確定量，因此上式中的第二項為。第三項中、、…均與不相關(guān)，則第三項為零。

求得一步預(yù)報方程為2023/4/3049第四十九頁，共63頁。根據(jù)上式，可求得一步預(yù)報估計誤差為

可進(jìn)一步求得一步預(yù)報誤差的協(xié)方差陣為簡化為

2023/4/3050第五十頁，共63頁。

該估計器方程具有明顯的物理意義。式中第一項是的一步最優(yōu)預(yù)報估計，它是根據(jù)直到時刻的所有量測量的信息而得到的關(guān)于的最優(yōu)估計。式中第二項是修正項，它是根據(jù)最新的量測信息對最優(yōu)預(yù)報估計進(jìn)行修正。在第二項中其中稱為狀態(tài)估計器增益，或Kalman濾波器增益。設(shè)x(k)的最小方差估計具有如下的形式是關(guān)于量測量的一步預(yù)報估計。2023/4/3051第五十一頁，共63頁。是關(guān)于量測量的一步預(yù)報誤差，它包含了最新量測量的信息。因此x(k)的最小方差估計所表示的最優(yōu)狀態(tài)估計可以看成是一步最優(yōu)預(yù)報與最新量測量信息的加權(quán)平均，其中增益矩陣可認(rèn)為是加權(quán)矩陣。從而問題變?yōu)槿绾魏线m地選擇，以獲得的最小方差估計，即使得狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差為最小。

現(xiàn)在的問題變?yōu)椋簩で螅允箻O小。2023/4/3052第五十二頁，共63頁。極小。J表示的各個分量的方差之和，因而它是標(biāo)量?？梢宰C明，使極小等價于使如下的標(biāo)量函數(shù)由以上公式，可得的狀態(tài)估計誤差為2023/4/3053第五十三頁，共63頁。進(jìn)一步求得狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差陣為由于與不相關(guān)，因此交叉相乘項的期望值為零。取，使為，變?yōu)?023/4/3054第五十四頁，共63頁。其中

如果能使取極小值，那么，對于任意的增量均應(yīng)有。則必須有

2023/4/3055第五十五頁，共63頁。Kalman濾波公式歸納和給定，k＝1，2，…

若Kalman濾波增益矩陣已知，則根據(jù)以上公式遞推計算出狀態(tài)最優(yōu)估計，k＝1，2，…。可見，為獲得狀態(tài)的最優(yōu)估計，關(guān)鍵是需要事先計算出Kalman濾波增益矩陣。2023/4/3056第五十六頁，共63頁。①給定參數(shù)F、C、V、W和，給定迭代計算總步數(shù)N，置k＝1；②計算P(k|k－1)；③計算；④計算；⑤如果k＝N，轉(zhuǎn)（7），否則，轉(zhuǎn)（6）；⑥k←k－1轉(zhuǎn)（2）；⑦輸出和，k＝1，2，…N。2）Kalman濾波增益矩陣的計算2023/4/3057第五十七頁，共63頁。例7-6

已知控制對象的離散狀態(tài)方程為其中