概率隨機變量的函數的分布

概率隨機變量的函數的分布第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一比如，某廠的電機的噪聲電壓V的密度分布：求功率

W=V2/R

(R為電阻)的分布.

在實際應用中，人們常常對隨機變量的函數感興趣.§2.4隨機變量函數的分布第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一在許多實際問題中,常常需要研究隨機變量的函數,例:☆測量圓軸截面的直徑d,而關心的卻是截面積：d為隨機變量,S就是隨機變量d的函數。的分布?！?/p>

在統(tǒng)計物理中,已知分子的運動速度x的分布,求其動能：一般地，設y=g(x)是一元實函數，X是一個隨機變量，若X的取值在函數y=g(x)的定義域內，則Y=g(X)也為一隨機變量。第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一隨機變量的函數隨機變量分布函數密度函數第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一隨機變量的函數是一個這樣的隨機變量，若隨機變量Y滿足：

Y=g(X)則稱隨機變量Y是X的隨機變量的函數。設隨機變量X的分布已知，Y=g(X)(設g是連續(xù)函數），如何由X的分布求出Y的分布？方法將與Y有關的事件轉化成X的事件第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一設r.v.

X的分布律為由已知函數g(x)可求出r.v.

Y的所有可能取值，則Y的概率分布為離散型r.v.函數的分布第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一設X為離散型R．V,其分布律為X

x1x2x3

．．．．．．．xn．．．．pk

p1p2p3．．．．．．．pn．．．．隨機變量X的函數Y=g(X)的分布律為Y

g(x1)

g(

x2)g(x3)．．．．．g(xn)．．．．pk

p1p2p3．．．．．pn．．．．有可能g(xi)與g(xj)相同，此時將兩項合并，對應概率相加．

離散隨機變量的函數的分布第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一【例】已知X的概率分布為Xpk-1012求Y

1=2X–1與

Y2=X

2

的分布律第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一【例】

已知

X

的概率分布為其中

p+q=1,0<p<1,求

Y=SinX

的概率分布解第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一故Y的概率分布為Ypi-101第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一課堂練習：加油站代營出租車業(yè)務，每出租1輛車收入3元。該油站每天要付出60元工職。每天出租汽車數X的分布律如下：X10203040P0.150.250.450.15求加油站獲利的概率。第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一方法：（1）從分布函數出發(fā)（2）用公式直接求密度函數連續(xù)性r.v.函數的分布設X為一個連續(xù)型R.V，其概率密度函數為f(x)。y=g(x)為一個連續(xù)函數，求隨機變量Y=g(X)的概率密度函數fY(y)。第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一(1)求Y的分布函數FY(y)根據分布函數的定義(2)對FY(y)求導，得到fY(y)分布函數法解不等式轉化為求關于X的概率第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一【例】設隨機變量X具有概率密度求隨機變量Y=2X+8的概率密度。

先求Y=2X+8的分布函數FY(y).Step1:第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一求Y=2X+8的概率密度Step2:第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一【例】設隨機變量X具有概率密度求的概率密度。解先求分布函數FY(y)。由于解不等式轉化為求關于X的概率第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一于是得Y的概率密度為：第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一

從上述兩例中可以看到，在求P(Y≤y)

的過程中，關鍵的一步是設法從{

g(X)≤y

}中解出X,從而得到與{g(X)≤y}等價的X的不等式。

這樣做是為了利用已知的X的分布，從而求出相應的概率。這就是分布函數法。例如，用代替

{2X+8≤y}用

代替{X2

≤

y}第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一【例】

已知隨機變量X～N(0,1)。解第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一【例】已知隨機變量X～解第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一定理

設隨機變量X具有概率密度

又設函數處處可導，且（或），是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為：則其中是函數的反函數.第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一【例】設X~N（0，1），其概率密度為：則概率密度函數為：此時稱Y服從自由度為1的

分布。第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一【例】設隨機變量，證明解第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一推論定理第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一求的密度函數解:是x的單調可導函數,第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一即Y服從[19，21]上的均勻分布．Y=0.1X+10的密度函數為X的密度函數為

設隨機變量服從[90，110]上的均勻分布,求

Y=0.1X+10的密度函數。例解第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一注意連續(xù)r.v.的函數的分布函數不一定是連續(xù)函數例如X~U(0,2)令Y=g(X)xy1FY(y)不是連續(xù)函數第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一2.設隨機變量，求的概率密度。

練一練第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一X,

求其密度函數f(x).

ABCh.M問題在高為h

的ABC中任取一點M,點M到AB

的距離為隨機變量X,

求其密度函數f(x).

問題ABCh.M第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一設r.v.服從(0,1)內均勻分布,又其中求r.v.的p.d.f.問題第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一思考題：設隨機變量X服從(0,2)上的均勻分布,設Y=g(X)是連續(xù)型的隨機變量嗎?第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一思考題答案：否.∵Y在[0,1]上取值,Y的分布函數為第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一不是連續(xù)函數,∴Y不是連續(xù)型的隨機變量.又∵Y的取值不是有限個或可列個,∴Y

也不是離散型的隨機變量.Y是一個非離散非連續(xù)型的隨機變量.第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一1.設離散型隨機變量X

的分布律為練習題：求:(1)X+2;(2)的分布律.2.若X

服從上的均勻分布,求Y=tanX

的密度函數.第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一3.對圓的直徑作近似度量,設其值均勻分布于(a,b)內,試求圓的面積的密度函數.4.設隨機變量X

的密度函數為求

的分布函數和密度函數.5.隨機變量X服從參數為θ的指數分布,求Y=1/X

的概率密度.第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一6.設隨機變量X

服從參數為p

的幾何分布,即求:的分布律.第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一1.(1)(2)練習題答案：第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一3.解:設圓的直徑為隨機變量D,圓的面積第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一4.解法一(分布函數法)X的取值范圍是(-1,1),Y的取值范圍是[1,2),第41頁，共46頁，2