第1講matlab在高等數(shù)學和線性代數(shù)中的應用

第1 在高等數(shù)學和線性代數(shù)中的應 軟件1.1幫助的使

煙臺市，航空 help %幫助總 elfun exp %指數(shù)函數(shù)exp的詳細信lookfor當要查找具有某種功能但又不知道準確名字的指令時，help的能力就不夠了，lookfor可以根據(jù)用戶提供的完整或不完整的，去搜索出一組與之相關的指令。 %查找有關積分的指令超文本格式的幫助文 中，關于一個函數(shù)的幫助信息可以用doc命令以超文本的方式給出，doceig %eig求矩陣的特征值和特pdf幫助文可從MathWorks上有關的pdf幫助文件特殊向 %產(chǎn)生n1和n2之間線性均勻分布的n個數(shù)(缺省n時,產(chǎn)生100個數(shù)) (缺省n時,產(chǎn)生50個數(shù))%在10n1和10n2之間按照對數(shù)距離等間距產(chǎn)生neye(m,n)0,eye(size(a))可以得到與矩陣a同樣大小的單位矩陣。ii)所有元素為1的矩陣ones(n)，ones(size(a))，ones(m，n)iii）所有元素為0的矩陣zeros(n)，iv）空矩陣是一個特殊矩陣,這性代數(shù)中是不存在的。例q=[矩陣 在工作空間之中,但它的大小為零。通過空矩陣的辦法可以刪除矩陣的行與列例a3列。 產(chǎn)生m×n矩陣，其中的元素是服從[0,1]上均勻分布的隨normrnd(mu,sigma,m,n)產(chǎn)生m×n矩陣，其中的元素是服從均值為mu，標準差為的正態(tài)分布的隨機數(shù) 產(chǎn)生m×n矩陣，其中的元素是服從均值為mu的指數(shù)分布的poissrnd(mu,m,n)產(chǎn)生m×nmu的泊松（Poisson）分布unifrnd(a,b,m,nm×n矩陣，其中的元素是服從區(qū)間[a,b]上均勻分布的隨機數(shù)。randperm(n)產(chǎn)生1到n的一個隨機全排列。perms([1:n])產(chǎn)生1到n的所有全繪圖命plot，loglog，semilogx，semilogypolar。它們的使用方法基本相同，其不同特點是在不同的坐標中繪制圖形。plot命令使用線性坐標空間繪制圖形；loglog命令在兩個對數(shù)坐標空間中繪制圖形semilogx(或semilogy)命令使用x（或y軸）為對數(shù)刻度，另外一個軸為線性刻度的坐標空間繪制圖形；polar使用極坐標空間繪制圖形。二維繪圖命令plot為了適應各種繪圖需要，提供了用于控制線色、數(shù)據(jù)點和線型的3組基本參數(shù)。它的使用格該命令是繪制y對應x的軌跡令。y與x均為向量，且具有相同的元素個數(shù)。用字yellow，數(shù)據(jù)點subplotn個不同坐標系，且可分別在每一個坐標函數(shù)畫圖令是fplot命令 既可以執(zhí)行符號函數(shù)畫圖，也可以執(zhí)行函數(shù)畫圖例 用多種命令畫出拋物線y3x2的圖形clc,clearsubplot(2,2,2),fplot(yy,[-subplot(2,2,3),ezplot(yy,[-6,6])也提供了一些三本繪圖命令，如三維曲線命令plot3，三維網(wǎng)格圖命令和三維表面圖命令surfplot3(x,y,z)通過描點連線畫出曲線，這里x,y,z都是n維向量，分別表示該曲線上點集的命令mesh(x,y,z)畫網(wǎng)格曲面。這里x,y,z是三個同維數(shù)的數(shù)據(jù)矩陣，分別表示數(shù)據(jù)點的橫坐標、縱坐標、豎坐標，命令mesh(x,y,z)將該數(shù)據(jù)點在空間中描出，并連成網(wǎng)格。命令surf(x,y,z)畫三維表面圖，這里x,y,z是三個同維數(shù)的數(shù)據(jù)矩陣，分別表示數(shù)據(jù)點的2在區(qū)間[0,10xsin(tycos(t)ztxlabel('sin(t)'),ylabel('cos(t)'),3z的三維或使用ezmesh，ezsurf繪圖 程序如clc,clearsubplot(122),ezmesh('sin(x*y)/(x*y)'),例 畫橢圓柱

x2

1 x2cosy3sinzclc,clearsubplot(121),ezsurf(x1,y1,z1), %比較ezsurf與surf的差例5xoyy1(x22lnx)，1x44此曲線繞oy軸旋轉所得到的旋轉曲面，并求旋轉面面積的數(shù)值解（精確值為24解旋轉面的方程y1(x2z2ln(x2y2))，1x2z2164旋轉面的面 S 1y2y2dxdz1xz利 程序求得的旋轉面面積S75.3930，旋轉面的圖形見圖1

圖 原曲線及旋轉面圖畫圖及求解的程序如clc,y=@(x)(x.^2-y=@(x,z)(x.^2+z.^2-log(x.^2+z.^2))/4.*(x.^2+z.^2>=1&x.^2+z.^2<=16);subplot(1,2,2),ezsurf(y),title('')symsxf=@(x,z)((x/2-x./(2*(x.^2+z.^2))).^2+(z/2-z./(2*(x.^2+z.^2))).^2+1).^(1/2).*(x.^2+z.^2>=1&x.^2+z.^2<16);I=quad2d(f,-4,4,-4,4)%注意這里使用dblquad6已知f(thethcos(thth)2sin(thg(h10f(th)dt，畫出0h[10,10]g(h)的圖形。解編寫程序如下h=-10:0.1:10;n=length(h);for等高7已知平面區(qū)域0x14000y12003（m1高程數(shù)據(jù)0y/0畫出該區(qū)域的等高線解（1）（2）畫等高線及三維表面圖 clc,clearx0=0:100:1400;y0=1200:-subplot(1,2,1),c=contourf(x0,y0,a);clabel(c)subplot(1,2,2),surf(x0,y0,a)我們把地表面積近似地看成一些三角形面積的和，已知空間中三點(ai,bi,cip(L1L2L3)/則三角形的面積為

S 利用 軟件，把所有三角形的面積累加起來，得地表面積的近似值為2.24106m2。計算的程序如下clc,clearx=0:100:1400;y=1200:-m=length(x),n=length(y),s=0;fori=1:m-1forj=1:n-p12=norm(p1-p2);p23=norm(p3-p2);p13=norm(p3-p1);p14=norm(p4-p1);p34=norm(p4-p3);z2=(p13+p14+p34)/2;s2=sqrt(z2*(z2-p13)*(z2-p14)*(z2-p34));8zxex2y2在[2,2][2,2]上的等值線和相應的梯度方向。解程序如下。[X,Y]=meshgrid(-Z=X.*exp(-X.^2-[DX,DY]=gradient(Z,.2,.2);contour(X,Y,Z),holdonquiver(X,Y,DX,DY),holdoff求符號函數(shù)的定積分命令為int(expr,a,92cosxcos2解symsx10 x3x3x23x解x1dx1dt t

t31t313 tt2輸I=quadl(@(t)(t-3*t.^2+2*t.^3).^(-得到I=1.4396例 求(xy)dxdy的數(shù)值解，其中D是由y22x，xy4，xy12D圍成的閉區(qū)域。要求畫出積分區(qū)域的圖（積分的精確值為54311y2xyxy利用 畫圖及計算的程序為clc,h1=ezplot('y^2-2*x',[-6,18],[-set(h1,'Color','k'),title('');holdfplot(@(x)4-x,[0,12]),fplot(@(x)12-x,[0,20])f=@(x,y)(x+y).*(y.^2<=2*x&x+y>=4&x+y<=12);I2=quad2d(f,0,18,-I3=dblquad(f,0,18,-例 求(y2z2)dxdydz的數(shù)值解，其中是由xOy平面上曲線y22x繞x旋轉而成的曲面與平面x5所圍成的閉區(qū)域（精確值解閉區(qū)域

3利用 畫圖及計算的程序為clc,

y2z2xg=@(x,y,z)(y.^2+z.^2).*(y.^2+z.^2<=2*x&I=triplequad(g,0,5,-sqrt(10),sqrt(10),- %z的列向量為方程組的正交規(guī)滿足zTzE 13x12x22x3x42xx2x2x x1x24x33x4解formata=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,- %求有 %恢復到短小數(shù)的在數(shù)學上，非齊次線性方程組Axb的解有3種情況：R(A)R([A,b])R(A)R([A,b])R(A)R([A,b])時，無 的求解命令x=A\b（或x=pinv(A)*b，pinv的使用范圍比“\”更加當方程組有多解時，給出的是最小范數(shù)解當方程組無解時，給出的是最小二乘解。14求下列方程組的最小范數(shù)解x1x22x2x 例 求下列方程組的最小二乘x1x22x2x 例16xy2表 x62674259y49538582擬合函數(shù)yaxba擬合函數(shù)y bx解擬合的程序如clc, x0=a(1,:)';y0=a(2,:)';xs1=[x0,ones(size(x0))];構造線性方程組的系數(shù)矩陣xs2=[1./x0,ones(size(x0))];構造線性方程組的系數(shù)矩陣求特征向量和特征值令為DA的特征值，V的列是對應特征值的特征向求模最大的特征值及對應的特征向量令其中D返回的是模最大的特征值，V是模最大特征值對應的特征向量。17判別二次型f2x24x25x24xx的正定性，并求正交變換把二次型化1成解：程序如下a=[2-20;-240;00

1iffprintf('二次型正定

fprintf('二次型非正定 18已知矩陣

A

，x

f(xxx

x 2 x5 x2x2x21 解我們首先把上述問題看成是一個條件極值問題，即求如下的數(shù)學規(guī)劃問題maxxTs.t.x2x2x2 可以使用高等數(shù)學中講過的日乘子法求解。本文主要考慮用計算機軟件求解，就不給出日乘子法的求解過程。下面給出使用計算機軟件求解數(shù)學規(guī)劃問題（1）的程序及計算結果。使用Lingo軟件求解數(shù)學規(guī)劃問題（1）的程序如下a=14542656求得x10.4966，x20.5774，x30.6481時，二次型的最大值為12.1760。 a=[145;426;56mb=@(x)-x'*a*x;%把求最大值轉化為求最小值function[c,ceq]=nonl(x);c=[];ceq=sum(x.^2)-x10.4966x20.5773x30.648112.1760f(x1x2x3A的最大特征值。xTy，其中Tyy,y,y]Tf(xxx化成 g(y,y,y)y2y2y2 1 2 3其中123是矩陣A的特征值，不失一般性，不123，則 g(y,y,y)y2y2 y2y2y21 1 1

1 2 3y11y2y301。計算的程序如下clc,a=[145;426;56[vec,val]=eig(a)%求所有的特征向量和特征值val=diag(val);%提出對角線元素ind=find(val==max(val))%求最大特征值的位置zvec1=zeros(3,1);zvec1(ind)=1 zvec2=zer