1．相似三角形的判定【市一等獎(jiǎng)】

三角形相似的判定(一)(一)教學(xué)目標(biāo)1．掌握三角形相似的判定定理1，理解定理的證明方法，初步會(huì)運(yùn)用定理來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題．2．培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比聯(lián)想，猜想命題，再加以證明的研究問(wèn)題的方法．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)是三角形相似的判定定理1的理解和應(yīng)用；難點(diǎn)是三角形相似的判定定理1的證明．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、類(lèi)比探索兩個(gè)三角形相似的判定方法1．復(fù)習(xí)相似三角形的概念和已學(xué)過(guò)的判定方法．(1)引導(dǎo)學(xué)生思考，現(xiàn)有的判定三角形相似的兩種方法中：①定義需要兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，三對(duì)對(duì)應(yīng)邊成比例，4個(gè)條件，過(guò)于苛刻；②預(yù)備定理要求有三角形一邊的平行線，條件過(guò)于特殊，使用起來(lái)有局限性．說(shuō)明探索三角形相似的新的判定方法的必要性．(2)猜想用兩個(gè)特定的獨(dú)立條件就能判定兩個(gè)三角形相似(因?yàn)榕卸▋蓚€(gè)三角形全等需要三個(gè)特定的獨(dú)立條件，而判定兩個(gè)三角形相似結(jié)論更弱)．2．類(lèi)比聯(lián)想，猜想相似三角形的判定方法．(1)由全等三角形是相似三角形的特例，啟發(fā)我們類(lèi)比全等三角形的判定公理(或定理)，猜想相似三角形的判定方法．(2)復(fù)習(xí)一般三角形全等的判定定理，并改寫(xiě)成對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比值為1的形式如圖5(3)猜想相似三角形的判定方法．由相似三角形與全等三角形概念的區(qū)別與聯(lián)系，得到猜想：只需把上述全等三角形判定定理中比值為1改成比值為正數(shù)“k”，就可得到相似三角形的判定方法．寫(xiě)出猜想命題．猜想一(類(lèi)比角邊角公理和角角邊定理)猜想二(類(lèi)比邊角邊公理)△ABC與△A′B′C′中，若猜想三(類(lèi)比邊邊邊公理)二、用化歸的方法，證明猜想，形成定理1．復(fù)習(xí)三角形相似的預(yù)備定理．如圖6，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC．2．利用平移變換，得到新的相似三角形．(1)若將圖6中△ADE平移到其他位置△A′B′C′，仍有△A′B′C′∽△ABC．∵△ADE≌△A′B′C′，△ADE∽△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC．(2)全等三角形的四種判定方法能保證△ADE平移到△A′B′C′后，形狀、大小不變．3．啟發(fā)學(xué)生思考，平移△A′B′C′得到△ADE的條件(與前面三個(gè)猜想相對(duì)應(yīng))．方法之一：由∠A=∠A′，∠B=∠B′，能實(shí)現(xiàn)上述平移．教師可詳細(xì)分析平移的原理：由于∠A=∠A′，可將△A′B′C′平移到△ABC中，使A′與A重合，A′B′放在AB邊上，A′C′放在AC邊上，截取AD=A′B′(或AE=A′C′)，作∠ADE=∠B′，交AC于E．則由∠B=∠B′可得△A′B′C′≌△ADE(ASA或AAS)．同時(shí)由∠B=∠B′還可得到DE∥BC，從而實(shí)現(xiàn)上述化歸過(guò)程．4．教師總結(jié)實(shí)現(xiàn)上述化歸的思路(1)利用平移變換(對(duì)應(yīng)三個(gè)猜想命題有三種平移條件，下節(jié)學(xué)習(xí)后兩種)將證明相似三角形轉(zhuǎn)化為證明三角形全等(圖7中△ADE≌△A′B′C′)．(2)利用添加輔助線的方法將問(wèn)題化歸為相似三角形的預(yù)備定理(圖7中，DE∥BC則△ADE∽△ABC)．(3)利用相似三角形的傳遞性得到△A′B′C′∽△ABC．5．利用上述思路，證明猜想，得到判定定理1．教師按照教材的推理過(guò)程詳細(xì)證明，得到三角形相似的判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)例1已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°．(1)求證：△ABC∽△DEF；(2)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)邊成比例的式子．教師著重啟發(fā)學(xué)生思考如何利用三角形內(nèi)角和定理找出兩個(gè)三角形中兩對(duì)對(duì)應(yīng)相等的角．練習(xí)課本練習(xí)題．例2已知：如圖8，直線BE，DC交于A，∠E=∠C．求證：DA·AC=BA·AE．說(shuō)明：題目很簡(jiǎn)單，但教師還應(yīng)注意總結(jié)以下幾點(diǎn)．①本題出現(xiàn)的找對(duì)應(yīng)角的特殊方法是對(duì)頂角相等．②利用證明三角形相似證明等積式或比例式．③可教給學(xué)生利用分析法尋找解題思路，即欲證等積式，先化為比例式，然后證它們所在的兩個(gè)三角形相似．④可用變換的思想對(duì)此題加以引伸，教師用教具或制作活動(dòng)投影片演示以下過(guò)程，見(jiàn)圖9．⑤教師要強(qiáng)調(diào)圖9(c)，(e)，(d)是本章常用到的相似三角形的基本圖形．對(duì)圖9(d)，讓學(xué)生寫(xiě)出三邊對(duì)應(yīng)成比例的式子，發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要結(jié)論：圖9(d)中有公共邊和共角的兩個(gè)相似三角形的公共邊(AB)是這兩三角形落在同一條直線上的兩邊(AD，AC)的比例中項(xiàng)．熟悉這個(gè)基本圖形和基本性質(zhì)，有助于分析解題思路，但應(yīng)用時(shí)應(yīng)將相似的過(guò)程證一遍．它的結(jié)論對(duì)特殊化的圖9(e)照樣適用(射影定理)，以后將專(zhuān)門(mén)研究．例3已知：如圖10，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D．(1)圖中有幾個(gè)直角三角形？它們相似嗎？為什么？(2)用語(yǔ)言敘述第(1)題的結(jié)論：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似．(3)寫(xiě)出相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的表達(dá)式．教師總結(jié)：(1)有一對(duì)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似．(2)本題出現(xiàn)的常用的找對(duì)應(yīng)角的方法是公共角及利用同角的余角相等．(3)本題是一個(gè)很重要的結(jié)論，可以直接用來(lái)判定基本圖形——圖10中的直角三角形相似．四、師生共同小結(jié)在學(xué)生思考總結(jié)的基礎(chǔ)上，教師歸納：1．三角形相似與全等的判定方法的類(lèi)比．2．三角形相似的判定定理1，并強(qiáng)調(diào)判定相似需且只需兩個(gè)獨(dú)立條件．3．常用的找對(duì)應(yīng)角的方法：①已知角相等；②已知角度計(jì)算得出相等的對(duì)應(yīng)角；③公共角；④對(duì)頂角；⑤同角的余(補(bǔ))角相等．五、作業(yè)課本中的習(xí)題．補(bǔ)充題：2．如圖12，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，∠BDE=∠CFD．求證：BD·DC=BE·CF．課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明本節(jié)教案需要1課時(shí)完成．1．教材安排第5．4節(jié)內(nèi)容分4課時(shí)完成，本教學(xué)設(shè)計(jì)遵照教材意圖，第1課時(shí)學(xué)習(xí)判定定理1，并加以鞏固，因?yàn)檫@是判定兩個(gè)三角形相似最常用的方法；第2課時(shí)學(xué)習(xí)判定定理2和3；第3課時(shí)學(xué)習(xí)直角三角形相似的判定；第4課時(shí)是三角形相似判定的習(xí)題課，綜合使用判定方法以及常用的比例變形，證明角相等、比例式、等積式等問(wèn)題．2．三角形相似與全等的判定有類(lèi)似之處，能否讓學(xué)生用類(lèi)比的方式，猜想并獨(dú)立發(fā)現(xiàn)判定方法，關(guān)鍵在教師正確的引導(dǎo)．怎樣想到一個(gè)新知識(shí)比怎樣證明一個(gè)已知結(jié)論更重要，這就需要教師設(shè)計(jì)富有啟發(fā)性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，充分運(yùn)用深層次的類(lèi)比聯(lián)想和特殊化等手段來(lái)實(shí)現(xiàn)獨(dú)立探索知識(shí)的過(guò)程．3．課本上相似三角形的三個(gè)判定定理都是添加輔助線轉(zhuǎn)化為預(yù)備定理來(lái)處理的(直角三角形的“HL”也能用同樣的方式處理)，而轉(zhuǎn)化的方式，由于已知條件的不同也有所區(qū)別，建議教師制作活動(dòng)教具，結(jié)合平移變換的思想演示這些過(guò)程，分析清楚這些變換是怎樣