一輪復(fù)習(xí)人教B版第九章難點(diǎn)突破課第二課時(shí)　定值問(wèn)題學(xué)案

第二課時(shí)定值問(wèn)題I核心突破,題型剖析題型一長(zhǎng)度或距離為定值例1(202()?新高考山東卷)已知橢圓C： 的離心率為虛，且過(guò)點(diǎn)42,1).(1)求C的方程；(2)點(diǎn)M,N在C上，且AM_L4N,4Q_LMN,。為垂足.證明：存在定點(diǎn)。，使得|。。|為定值.⑴解由題設(shè)得方+方=1,且巴解得。2=6,〃=3.所以C的方程為5+9=1.o3⑵證明設(shè)M(xi,yi),N(xi,y2).若直線MN與x軸不垂直，設(shè)直線MN的方程為y=kx-\-m,代入點(diǎn)+方=1,o3得(1+2斤)*+4%〃優(yōu)+2/n2—6=0.于是Xl+X2=4km1+2P2"?2—6.①于是Xl+X2=4km1+2P2"?2—6.①故(XI-2)(X2—2)+(羅一1)&2—1)=0,整理得(K+1)x1x2+{ktn—k-2)(x\+xz)+(m—l)2+4=0.—6 Akm將①代入上式，可得(D+1)[_|_0心2—(km—k—2)[心2+(，〃—1)2+4=0,1I乙卜 1INK整理得(2Z+3m+1)(22+機(jī)-1)=0.因?yàn)锳(2,1)不在直線MN上，所以2k+m—17^0,所以2攵+3機(jī)+1=0,21.所以直線MN的方程為才一g(ZWl).所以直線MN過(guò)點(diǎn)「停，—1j.若直線MN與x軸垂直，可得Mxi，-yi).由山譏俞=(),交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，求證：直線A8的斜率是定值.證明設(shè)直線AB方程為"小-2)+"。-1)=1,rr2v2因?yàn)槲?5=

oLr2vr2v2因?yàn)槲?5=

oL(工一2+2)2(廠1+1)2

2(x-2)2,(y-1)2,4(x-2),2(y-1)=-8--+-8-+ 2-+L、r(1-2)2(V-1)24(X-2)2(V—1)所以橢圓方程可化為g+ 2 + § + 2 =°，設(shè)A(xi,yi),5(X2,丁2),(r—2)2(v—1)24(X—2)聯(lián)立直線與橢圓方程齊次化得一—+手一+ ‘8-[皿]-2)+〃()，-1)]+2(y—1) 2 [w(x-2)+—1)]=0,左右兩邊除以(1一2)2得、2-V+2(?+窺、2-V+2(?+窺U14Z)\x—2)4機(jī)+1二0.由根與系數(shù)關(guān)系得2佇+叫yi-1)^2-1__54_2jxi—2X2-2 2〃+1'2又直線以，尸B傾斜角互補(bǔ)，、 2隹+胃)所以心"+ki>B=_0I,—0,2/7+12即不+,=°，所以心8=一7=子故直線A8斜率為定值，此定值為去得Qi—2)(xi-2)+(y\-1)(一)，i-1)=0.又亮+弓=1,所以3x?—8M+4=0.2解得了1=2(舍去),或加=不此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn)尸停，一§.令。為A尸的中點(diǎn)，即扇，若。與。不重合，則由題設(shè)知A尸是RlZ\ADP的斜邊，故|Q0馬”|=￥.若D與P重合,則|QQ|=g|AP|.綜上，存在點(diǎn)。住，目，使得|￡＞。|為定值.感悟提升1.求某線段長(zhǎng)度為定值.利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得.2.求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得.訓(xùn)練1(2022?成都診斷)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)(其中工20)到定點(diǎn)尸(1,0)的距離比點(diǎn)P到)，軸的距離大1.(1)求點(diǎn)尸的軌跡。的方程；(2)過(guò)橢圓G：親+臺(tái)=1的右頂點(diǎn)作直線交曲線。于A,8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).IVzI乙①求證：②設(shè)OA,08分別與橢圓。相交于點(diǎn)。，E,證明：坐標(biāo)原點(diǎn)到直線。E的距離為定值.(1)解由題意，得N(x—1) =x+1(%20),兩邊平方,整理得丁=4元所以所求點(diǎn)P的軌跡C的方程為)，2=4.工⑵證明①設(shè)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)(4,0)的直線A8的方程為x=my+4.代入拋物線方程＞2=4龍，得)，2—4)町，-16=(),由題意知/＞().儕+"=4根，設(shè)A(xi,yi),8(X2,刈，則J Vlyiy2=-16,.\x\X2~\-y\y2=(my\+4)?！☉?hù)+4)+yi”=(1+加2)y],2+4/〃(yi+戶(hù))+16=-16(1+tn2)+4mX4m+16=0,即殖?協(xié)=0,：.OA1OB.r2v2②設(shè)D(X3,J3),E(X4,>'4),直線。E的方程為代入京+右=匕得(3於+4))2+6/+3%—48=(),/>(),工日?6/z 3A2—484萬(wàn)一48產(chǎn)3/+4+4萬(wàn)一48產(chǎn)3/+4+從而X3X4=()3+A)(/Y4+2)=Z2y3y4+ +)W)+22=???OQJ_OE,，而?歷=(),即心足+y3y4=0,代入，整理得??????坐標(biāo)原點(diǎn)到直線OE的距離d=W_4^21W+產(chǎn) 7為定值.題型二斜率或其表達(dá)式為定值例2(12分)已知拋物線CV=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(1,2).過(guò)點(diǎn)。(0,1)的直線/與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線用交y軸于M,直線PB交)，軸于N.⑴求直線/的斜率的取值范圍；(2)設(shè)。為原點(diǎn)，QM=XQO,QN=f.iQb,求證：:為定值.［規(guī)范解答］(1)解因?yàn)閽佄锞€)?=2px過(guò)點(diǎn)P(l,2),所以2P=4,即p=2.故拋物線C的方程為)，2=4K2分由題意知，直線/的斜率存在且不為0.設(shè)直線/的方程為)，=辰+1(kN0).F=4K,由｛:得榜+(24―4.+］=0.4分,y=kx+1依題意4=(2Z—4)2—4X3x1>0,

解得kl,又因?yàn)锳WO,故Z<0或O4<1.又％,P8與y軸相交，故直線/不過(guò)點(diǎn)(1,-2).從而出#—3.所以直線/斜率的取值范圍是(一8,-3)U(-3,0)U(0,1).(2)證明設(shè)A(xi,yi),5a2,yi).22—4i由(1)知Xl+l2=一二，X\X2=~^.直線%的方程為y—2==(l1).7分令工=0,得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為一,+1,

2=-^r+2?一,+1,

2=-^r+2?同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為,w=—亍1+2. 9分X21同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為,w=同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為,w=—亍1+2. 9分X21由師=4而，斷=，西得2=1—yw,4=1—yN. 10分所屋a〃1—yM1—yN(攵-1)xi(.k—1)X222Z—412X1X2—(Xl+x2) 1elc=百 =1~~i~=2.p所以1+：=2為定值. 12分答題模板第一步求圓錐曲線的方程第二步特殊情況分類(lèi)討論第三步聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程第四步應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系用參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)第五步根據(jù)相關(guān)條件計(jì)算推證第六步明確結(jié)論訓(xùn)練2(2021?大同調(diào)研)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，橢圓C^4力=13?>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,已知|A8|=4,且點(diǎn)頂點(diǎn)分別為A,B,頂點(diǎn)分別為A,B,已知|A8|=4,且點(diǎn)e,平)在橢圓上，其中c是橢圓的離心率.(1)求橢圓C的方程；⑵設(shè)P是橢圓C上異于4,8的點(diǎn)，與x軸垂直的直線/分別交直線AP,8尸于點(diǎn)M,N,求證：直線AN與直線BM的斜率之積是定值.⑴解\AB\=4,***2.ci=4,即a=2.又點(diǎn)Q，邛&)在橢圓上，“245 (245吟+福=1，咪+高=1，又〃+?=/=4,聯(lián)立方程解得3=3,???橢圓C的方程為9+^=1.(2)證明由(1)知4(一2,0),3(2,0),設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(s,/),W,N的橫坐標(biāo)為加(〃?W±2),則直線AP的方程為曠=工￡(工+2),OI4故g"'7+2(6+2))，故直線BM的斜率ki=( 2，a，(5+2)Un—2)同理可得直線AN的斜率依=(($-2)(〃7+2)故kik?=f(〃z+2) t(m—2)X(s+2)(〃l故kik?=52-4,又P點(diǎn)在橢圓上，c2t2 3???才+]=1，f2=-^(s2-4),因此%攵2=3-甲-因此%攵2=3-甲--4?-?2S3-4[[題型三幾何圖形面積為定值9 2例3(2021.西北工大附中質(zhì)檢)已知橢圓E：$+3=1(心。>0)的離心率為6,點(diǎn)(1,e)在橢圓E3上，點(diǎn)A(m0),僅0,b),△AOB的面積為亍O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線/交橢圓E于M,N兩點(diǎn)，直線OM的斜率為怎，直線ON的斜率為上，且&戊2=一E證明：△OAW的面積是定值，并求此定值.(1)解??Z=。，且(1，?)在橢圓E上，?常+瓢1,則5+岳=1.①又/=〃2—〃，②聯(lián)立①②，得6=1.1 3/又Sjob=2R?=2，得〃=3,所以橢圓石的標(biāo)準(zhǔn)方程為曰+)2=1.⑵證明當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線/：X=?—3</<3且/W0),I a=—9,解得產(chǎn)=,所以S/、omn=3x2X7-93-2I a=—9,解得產(chǎn)=,所以S/、omn=3x2X7-93-2)，=依+〃2,由,2+y2=]消去y并整理，得（9Z?+1+18如a+9〃0—9=0.J=（lSkin）2一4（9好+1）（9/h2一9）=36（93一〃尸+1）＞（）,18加 9m2—9足+也=_9.+],XlX2=9.+[，yi、，>>2（履1+機(jī)）（米2+〃7）\fn\\fn\\fn\k\kz=X=XIX2 X\X2-9d+m2 1\fn\-9d+m2 19m2-9 9'化簡(jiǎn)得9F+1=2〃P,滿(mǎn)足/>0.\MN\=[1+F|xi~X2\=7l+py（Xl+X2）2—4x112I~~；~~z /?18km1 97w2—96yl1 &之一加2+1= 9F+1 ^又原點(diǎn)O到直線/的距離所以S/、OMN=3x|MMXd3d1+標(biāo)79。一加2+1 |〃力= 9M+1 XV1+^3依3=2m2=7綜上可知，△0MN的面積為定值亍感悟提升解此類(lèi)題的要點(diǎn)有兩個(gè)：一是計(jì)算面積，二是恒等變形.如本題，要求△0MN的面積，則需要計(jì)算弦長(zhǎng)|MN|和原點(diǎn)。到直線/的距離乩然后由面積公式表達(dá)出S,owM如果是其他凸多邊形，一般需要分割成三角形分別求解），再將由已知得到的變量之間的等量關(guān)系3代入面積關(guān)系式中，進(jìn)行恒等變形，即得叉0的為定值訓(xùn)練3已知點(diǎn)尸（0,2）,過(guò)點(diǎn)P（0,—2）且與y軸垂直的直線為/i,/2_l_x軸，交人于點(diǎn)M直線/垂直平分EV,交h于點(diǎn)、M.(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)記點(diǎn)M的軌跡為曲線E,直線48與曲線E交于不同兩點(diǎn)A(xi,yi),8(x2,”)，且jq—1=M+m2(根為常數(shù))，直線/，與平行，且與曲線石相切，切點(diǎn)為C,試問(wèn)△A3C的面積是否為定值.若為定值，求出△ABC的面積；若不是定值，說(shuō)明理由.解(1)由題意得尸MTMNI，即動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(0,2)的距離和到直線y=-2的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡是以尸(0,2)為焦點(diǎn)，直線)，=—2為準(zhǔn)線的拋物線，根據(jù)拋物線定義可知點(diǎn)歷的軌跡方程為f=8y.y=kx-\-b,⑵由題意知，直線4B的斜率存在，設(shè)其方程為)，="+〃，由［。消去y整理得x2一￡=8y8日一8/?=(),/=64F+32">0.則jvi+x2=8A,xrx2=-8。設(shè)AB的中點(diǎn)為Q,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(軟，4F+8).由條件設(shè)切線方程為)，=丘十八y t由?2o'消去y整理得f—8區(qū)―8f=o.X=8y??直線與拋物線相切，???/=6必2+32/=(),???/=-2&2,??切點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4k,?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4A,2斤)..??CQJ_x軸，Vx2_xi=/?2+1,(X2—XI)2=(XI+x2)2—4(—8b)=643+32匕=(〃尸+1)2,. (62+1)2-64-?6= ?S^ABC=^\CQ\-\X2—Xl\=；?(23+〃>(X2-Xl)(ffl2+l)3= 64 ，??"2為常數(shù)，???△ABC的面積為定值.微點(diǎn)突破/齊次化處理策略圓錐曲線中常見(jiàn)一類(lèi)問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是條件中的兩直線斜率之和或之積是一個(gè)指定常

08/10數(shù).這種問(wèn)題的求解方法多種多樣，但是采用齊次化方法，可以將這兩種題型統(tǒng)一處理.接下來(lái)談?wù)匌R次化方法在處理圓錐曲線這些問(wèn)題中的應(yīng)用.一、處理兩直線斜率之積為定值的問(wèn)題例1已知橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為2〃，2伙心比>()),P,。分別在橢圓上,且OPLOQ.求證：/+會(huì)為定值.證明設(shè)P,。坐標(biāo)分別為(XI,yi),(X2,”)，直線PQ：〃a+/?y=l,橢圓今+，=1(〃>">()),2 2聯(lián)立方程%+方=1，jnx-1-ny=1.聯(lián)立方程齊次化有,+$=("?x+〃y)2,整理可得r—2mnxy+R一機(jī)?卜=0.左右兩邊同除以_2吟+$_序）_2吟+$_序）_2吟+$_序）=0._2吟+$_序）=0.由根與系數(shù)的關(guān)系得*