浙教版九年級數(shù)學(xué)上冊第四章相似三角形單元測試題

浙教版九年級數(shù)學(xué)上冊第四章相似三角形單元測試題/相似三角形第Ⅰ卷(選擇題共30分)一、選擇題(本題有10小題，每小題3分，共30分)1．已知四條線段a，b，c，d是成比例線段，即eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，下列說法錯(cuò)誤的是()A．a(chǎn)d＝bcB.eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(a,b)C.eq\f(a－d,b)＝eq\f(a－b,d)D.eq\f(a2,b2)＝eq\f(c2,d2)2．△ABC與△DEF的相似比為1∶4，則△ABC與△DEF的周長比為()A．1∶2B．1∶3C.1∶4D．1∶163．如圖SG4－1，△ABC與圖SG4－2中的哪一個(gè)三角形相似()圖SG4－1圖SG4－24.如圖SG4－3，蹺蹺板AB的支柱OD經(jīng)過它的中點(diǎn)O，且垂直于地面BC，垂足為D，OD＝50cm.當(dāng)它的一端(B)著地時(shí)，另一端(A)離地面的高度AC為()圖SG4－3A．25cmB．50cmC．75cmD．100cm5．如圖SG4－4，已知l1∥l2∥l3，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，則EF的長為()圖SG4－4A．1.5B．2C．2.5D．36．如圖SG4－5，在?ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，則CD的長為()圖SG4－5A.eq\f(16,3)B．82C．10D．167．如圖SG4－6，A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AB＝AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE＝3，ED＝4，則AB的長為()圖SG4－6A.eq\r(7)B．4eq\r(3)C.eq\r(21)D．78.如圖SG4－7，把一個(gè)矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點(diǎn)連線EF對折，要使矩形AEFB與原矩形相似，則原矩形長與寬的比為()圖SG4－7A．21B．31C.eq\r(2)1D．419．如圖SG4－8，在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一點(diǎn)，AD＝12，在AB上取一點(diǎn)E，使A，D，E三點(diǎn)組成的三角形與△ABC相似，則AE的長為()圖SG4－8A．16B．14C．16或14D．16或910．如圖SG4－9①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝7.如圖②，在底邊BC上取一點(diǎn)D，連結(jié)AD，使得∠DAC＝∠ACD.如圖③，將△ACD沿著AD所在的直線折疊，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連結(jié)BE，得到四邊形ABED，則BE的長是()圖SG4－9A．4B.eq\f(17,4)C．3eq\r(2)D．2eq\r(5)請將選擇題答案填入下表：題號12345678910總分答案第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本題有6小題，每小題4分，共24分)11．若x∶y＝1∶2，則eq\f(x－y,x＋y)＝________．12．如果兩個(gè)相似多邊形的面積比為1∶2，那么它們的周長比為________．13．如圖SG4－10，∠CAE＝∠DAB，請補(bǔ)充一個(gè)條件：________，使△ABC∽△ADE.圖SG4－1014．電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體．如圖SG4－11，若舞臺(tái)AB的長為20m，則主持人應(yīng)走到離A點(diǎn)至少________m處(結(jié)果精確到0.1m)．圖SG4－1115．如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(e,f)＝k(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝3(b＋d＋f)，那么k＝________．16．如圖SG4－12，在矩形ABCD中，BC＝eq\r(2)AB，∠ADC的平分線交邊BC于點(diǎn)E，AH⊥DE于點(diǎn)H，連結(jié)CH并延長交邊AB于點(diǎn)F，連結(jié)AE交CF于點(diǎn)O.給出下列命題：①∠AEB＝∠AEH；②DH＝2eq\r(2)EH；③HO＝eq\f(1,2)AE；④BC－BF＝eq\r(2)EH.其中正確命題的序號是________(填上所有正確命題的序號)．圖SG4－12三、解答題(本題有8小題，共66分)17．(6分)如圖SG4－13，在邊長為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn)三角形ABC(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn))．(1)將△ABC向上平移3個(gè)單位，然后再向右平移2個(gè)單位得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；(2)請畫出一個(gè)格點(diǎn)三角形A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比為2∶1.圖SG4－1318．(6分)如圖SG4－14，在△ABC中，DE∥BC，AD＝EC，DB＝1cm，AE＝4cm，BC＝5cm.求DE的長．圖SG4－1419．(6分)如圖SG4－15，△ABC在方格紙中．(1)請?jiān)诜礁窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，2)，并寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作出將△ABC放大2倍后的圖形△A′B′C′；(3)計(jì)算△A′B′C′的面積．圖SG4－1520．(8分)如圖SG4－16，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA邊向終點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．若點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，C同時(shí)出發(fā)，則經(jīng)過多長時(shí)間△CPQ與△CBA相似？圖SG4－1621．(8分)如圖SG4－17，BD是⊙O的直徑，A，C是⊙O上的兩點(diǎn)，且AB＝AC，AD與BC的延長線交于點(diǎn)E.(1)求證：△ABD∽△AEB；(2)若AD＝1，DE＝3，求BD的長．圖SG4－1722．(10分)如圖SG4－18，小明想測量電線桿AB的高度，他發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子正好落在坡面的CD和地面的BC處，已知CD和地面成30°角，CD＝4m，BC＝10m，且此時(shí)測得1m高的標(biāo)桿在地面上的影長為2m．求電線桿AB的高度．圖SG4－1823．(10分)已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB(如圖SG4－19①)或線段AB的延長線(如圖②)于點(diǎn)P，連結(jié)BQ.(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：△AQP∽△ABC；(2)當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長．圖SG4－1924．(12分)有這樣一道作業(yè)題：圖SG4－20如圖SG4－20，有一塊三角形余料ABC，它的邊長BC＝120mm，高AD＝80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．加工成的正方形零件的邊長是多少毫米？小穎解得此題的答案為48mm.小穎善于思考，她又提出了下面的問題：(1)如果原題中所要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖SG4－21①，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩邊長分別為多少毫米？(2)如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖SG4－21②，這樣，此矩形零件的兩邊長就不能確定，但這個(gè)矩形的面積有最大值，求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長．①②圖SG4－21

1．[答案]C2．[答案]C3．[答案]D4．[答案]D5．[答案]D6．[答案]C7．[解析]C∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠D.又∵∠BAD＝∠EAB,∴△ABD∽△AEB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AB)，∴AB2＝3×7＝21，∴AB＝eq\r(21).故選C.8．[答案]C9．[答案]D10．[解析]B∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC.又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴eq\f(CA,CB)＝eq\f(CD,CA)，∴eq\f(4,7)＝eq\f(CD,4)，∴CD＝eq\f(16,7)，∴BD＝BC－CD＝eq\f(33,7).在題圖③中，設(shè)AE與BD交于點(diǎn)F.∵∠ABF＝∠ACF＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，∴△ABF∽△DEF，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(AF,DF)＝eq\f(BF,EF)＝eq\f(7,4).設(shè)AF＝x，則EF＝4－x，BF＝7－eq\f(7x,4)，DF＝eq\f(4x,7).∵BF＋DF＝BD＝eq\f(33,7)，∴7－eq\f(7x,4)＋eq\f(4x,7)＝eq\f(33,7)，∴x＝eq\f(64,33)，∴DF＝eq\f(256,231)，∴eq\f(DF,DE)＝eq\f(DE,BD).又∠EDF＝∠BDE，∴△DEF∽△DBE，∴eq\f(EF,BE)＝eq\f(DF,DE)，∴BE＝eq\f(17,4)，故選B.11．[答案]－eq\f(1,3)12．[答案]1∶eq\r(2)13．[答案]答案不唯一，如∠B＝∠D(或∠C＝∠AED或AB∶AD＝AC∶AE或AC·AD＝AE·AB)14．[答案]7.615．[答案]316．[答案]①③17．解：(1)作出△A1B1C1如圖所示．(2)本題是開放題，答案不唯一，只要作出的△A2B2C2滿足條件即可(如圖所示)．18．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).又∵AD＝EC，∴eq\f(AD,1＋AD)＝eq\f(4,4＋AD)，∴AD＝2(cm)，∴AB＝3cm.又∵eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AB)，∴DE＝eq\f(10,3)cm.19．解：(1)如圖，畫出原點(diǎn)O，x軸，y軸．點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，1)．(2)△A′B′C′如圖所示．(3)△A′B′C′的面積為eq\f(1,2)×4×8＝16.20．解：設(shè)經(jīng)過ts時(shí)，△CPQ與△CBA相似，此時(shí)，BP＝2tcm，CQ＝tcm，則CP＝(8－2t)cm，0<t<4.①當(dāng)PQ∥AB時(shí)，△CPQ∽△CBA，則eq\f(CP,CB)＝eq\f(CQ,CA)，即eq\f(8－2t,8)＝eq\f(t,6)，∴t＝eq\f(12,5)；②當(dāng)eq\f(CP,CA)＝eq\f(CQ,CB)時(shí)，△CPQ∽△CAB，則eq\f(8－2t,6)＝eq\f(t,8)，解得t＝eq\f(32,11).答：經(jīng)過eq\f(12,5)s或eq\f(32,11)s時(shí)，△CPQ與△CBA相似．21．解：(1)證明：∵AB＝AC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴∠ABC＝∠ADB.又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB.(2)∵△ABD∽△AEB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AB).∵AD＝1，DE＝3，∴AE＝4，∴AB2＝AD·AE＝1×4＝4，∴AB＝2.∵BD是⊙O的直徑，∴∠DAB＝90°.在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝22＋12＝5，∴BD＝eq\r(5).22.解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F.∵DC＝4m，∠DCF＝30°，∴DF＝2m，∴BE＝DF＝2m，CF＝eq\r(CD2－DF2)＝2eq\r(3)m，∴ED＝BF＝BC＋CF＝(10＋2eq\r(3))m.∵同一時(shí)刻的光線是平行的，水平線是平行的，∴光線與水平線的夾角相等．又∵標(biāo)桿與影子構(gòu)成的角為直角，AE與ED構(gòu)成的角為直角，∴AE與影長DE構(gòu)成的三角形和標(biāo)桿與影子構(gòu)成的三角形相似，∴eq\f(AE,ED)＝eq\f(1,2)，解得AE＝(5＋eq\r(3))m，∴AB＝AE＋BE＝(7＋eq\r(3))m.答：電線桿AB的高度為(7＋eq\r(3))m.23．解：(1)證明：∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠ABC＝90°.在△AQP與△ABC中，∵∠AQP＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABC.(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得AC＝5.(I)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖①所示．∵∠QPB為鈍角，∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB＝PQ.由(1)可知△AQP∽△ABC，∴eq\f(AP,AC)＝eq\f(QP,BC)，即eq\f(3－PB,5)＝eq\f(PB,4)，解得PB＝eq\f(4,3)，∴AP＝AB－PB＝3－eq\f(4,3)＝eq\f(5,3).(II)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，如題圖②所示．∵∠QBP為鈍角，∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB＝BQ，∴∠BQP＝∠P.∵∠BQP＋∠AQB＝90°，∠A＋∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴AB＝BP，∴B為線段AP的中點(diǎn)，∴AP＝2AB＝2×3＝6.綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，AP的長為eq\f(5,3)或6.24．解：(1)設(shè)PQ＝xmm，則PN＝2xmm.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(PN,BC)，即eq\f(80－x,80)＝eq\f(2x,120)，∴x＝eq\f(240,7)，則2x＝eq\f(480,7).