2023年江蘇省常州市高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D．某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油3．一個幾何體的三視圖如圖所示，其體積為（）A． B． C． D．4．已知的邊，的長分別為20,18，，則的角平分線的長為（）A． B． C． D．5．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為，若直線的圖象經(jīng)過區(qū)域，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知三棱錐的頂點都在球的球面上，平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．7．已知，取值如下表：從所得的散點圖分析可知：與線性相關(guān)，且，則等于（）A． B． C． D．8．設(shè)，當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．9．如圖，陰影部分的面積是（）A． B． C． D．10．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A． B． C． D．11．被稱為宋元數(shù)學(xué)四大家的南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》一書中記載了求解三角形面積的公式，如圖是利用該公式設(shè)計的程序框圖，則輸出的的值為（）A．4 B．5 C．6 D．712．在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為（）附：若X～N(μ,σ2)，則PA．1193 B．1359 C．2718 D．3413二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．兩名女生,4名男生排成一排,則兩名女生不相鄰的排法共有______

種(以數(shù)字作答)14．設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．若直線PA與PB的斜率之積為，則橢圓的離心率為_____．15．已知函數(shù)的定義域為，部分對應(yīng)值如下表，又知的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖所示：-10451221則下列關(guān)于的命題：①為函數(shù)的一個極大值點；②函數(shù)的極小值點為2；③函數(shù)在上是減函數(shù)；④如果當(dāng)時，的最大值是2，那么的最大值為4；⑤當(dāng)時，函數(shù)有4個零點.其中正確命題的序號是__________．16．已知等差數(shù)列的前項和為，_____；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）從某市主辦的科技知識競賽的學(xué)生成績中隨機(jī)選取了40名學(xué)生的成績作為樣本，已知這40名學(xué)生的成績?nèi)吭?0分至100分之間，現(xiàn)將成績按如下方式分成6組，第一組[40,50)；第二組[50,60)；…；第六組[90,100]，并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求成績在區(qū)間[80,90)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)；（2）從成績大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2名，求至少有1名學(xué)生的成績在區(qū)間[90,100]內(nèi)的概率．18．（12分）如圖，二面角的大小為，四邊形是邊長為的正方形，，為上的點，且平面.（1）求證：；（2）求二面角的大??；（3）求點到平面的距離.19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點，求的取值范圍；（Ⅱ）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍.20．（12分）2018年雙11當(dāng)天，某購物平臺的銷售業(yè)績高達(dá)2135億人民幣．與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系，現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.9，對服務(wù)的好評率為0.75，其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為140次．（1）請完成下表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計對商品好評140對商品不滿意10合計200（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進(jìn)行的3次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為X．①求隨機(jī)變量X的分布列；②求X的數(shù)學(xué)期望和方差．附：K2P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；（2）對于區(qū)間上的任意不相等的實數(shù)、，都有成立，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，且當(dāng)時，取得極值為.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先將函數(shù)有零點，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程有實根，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)方法判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合圖像，即可求出結(jié)果.【詳解】由得，令，則，設(shè)，則，由得；由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以；又當(dāng)時，，，作出函數(shù)圖像如下：因為函數(shù)恰有兩個零點，所以與有兩不同交點，由圖像可得：實數(shù)的取值范圍是.故選A【點睛】本題主要考查函數(shù)零點以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，通常需要將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點來處理，通過對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性、最值等，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想求解，屬于?？碱}型.2、D【解析】

解：對于A，由圖象可知當(dāng)速度大于40km/h時，乙車的燃油效率大于5km/L，∴當(dāng)速度大于40km/h時，消耗1升汽油，乙車的行駛距離大于5km，故A錯誤；對于B，由圖象可知當(dāng)速度相同時，甲車的燃油效率最高，即當(dāng)速度相同時，消耗1升汽油，甲車的行駛路程最遠(yuǎn)，∴以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故B錯誤；對于C，由圖象可知當(dāng)速度為80km/h時，甲車的燃油效率為10km/L，即甲車行駛10km時，耗油1升，故行駛1小時，路程為80km，燃油為8升，故C錯誤；對于D，由圖象可知當(dāng)速度小于80km/h時，丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，∴用丙車比用乙車更省油，故D正確故選D．考點：1、數(shù)學(xué)建模能力；2、閱讀能力及化歸思想.3、C【解析】

由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體是直三棱柱剪去一個角，其中為等腰直角三角形，，再由棱錐體積剪去棱錐體積求解.【詳解】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體是直三棱柱剪去一個角，其中為等腰直角三角形，，

∴該幾何體的體積，

故選：C.【點睛】本題考查由三視圖求體積，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體，是中檔題.4、C【解析】

利用角平分線定理以及平面向量的線性運(yùn)算法則可得，兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，化簡即可得結(jié)果.【詳解】如圖，因為是的角平分線，所以，所以，即.兩邊平方得，所以，故選C.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算法則，以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題.向量數(shù)量積的運(yùn)算主要掌握兩點：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.5、C【解析】

由約束條件作出可行域，由直線過定點，數(shù)形結(jié)合求得定點與可行域內(nèi)動點連線的斜率的范圍，則答案可求．【詳解】由不等式組作出可行域，如圖.直線表示過點斜率為的直線.直線的圖象經(jīng)過區(qū)域即將軸繞點沿逆時針旋轉(zhuǎn)到點的位置..所以直線的圖象經(jīng)過區(qū)域，其斜率.故選：C【點睛】本題考查了直線系方程，考查了直線的斜率，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．6、D【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形把三棱錐補(bǔ)充為長方體，則該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，計算長方體的對角線，求出外接球的直徑和表面積．【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，

以AB、BD和CD為棱，把三棱錐補(bǔ)充為長方體，

則該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，

且長方體的對角線是外接球的直徑；

，

外接球O的表面積為．

故選：D．【點睛】本題考查了三棱錐外接球表面積計算問題，將三棱錐補(bǔ)成長方體，是求外接球直徑的關(guān)鍵，屬于中檔題．7、B【解析】

計算平均數(shù)，可得樣本中心點，代入線性回歸方程，即可求得a的值．【詳解】依題意,得(0+1+4+5+6+8)=4,(1.3+1.8+5.6+6.1++7.4+9.3)=5.25.又直線y=0.95x+a必過中心點(),即點(4,5.25),于是5.25=0.95×4+a,解得a=1.45.故選B.【點睛】本題考查線性回歸方程，利用線性回歸方程恒過樣本中心點是關(guān)鍵．8、A【解析】∵當(dāng)時，不等式恒成立∴當(dāng)時，不等式恒成立令，則∵∴當(dāng)時，，即在上為減函數(shù)當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)∴，即令，則∴當(dāng)時，，即在上為減函數(shù)當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)∴∵∴或故選A點睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.9、C【解析】

運(yùn)用定積分的性質(zhì)可以求出陰影部分的面積.【詳解】設(shè)陰影部分的面積為，則.選C【點睛】考查了定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10、D【解析】

分析：先求出A集合，然后由圖中陰影可知在集合A中出去A,B的交集部分即可.詳解：由題得：所以故有題中陰影部分可知：陰影部分表示的集合為故選D.點睛：考查集合的交集和補(bǔ)集，對定義的理解是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

模擬程序運(yùn)行，依次計算可得所求結(jié)果【詳解】當(dāng)，，時，，；當(dāng)，，時，，；當(dāng)，，時，，；當(dāng)，，時，，；故選B【點睛】本題考查程序運(yùn)算的結(jié)果，考查運(yùn)算能力，需注意所在位置12、B【解析】由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，圖中陰影部分的面積S=0.9545-0.6827則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為本題選擇B選項.點睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、480【解析】分析：由題意,先排男生,再插入女生,即可得兩名女生不相鄰的排法.詳解：由題意，其中名男生共有種不同的排法，再將兩名女生插入名男生之間，共有中不同的方法，所以兩名女生不相鄰的排法共有中不同的排法.點睛：本題主要考查了排列的應(yīng)用，其中認(rèn)真分析題意，得道現(xiàn)排四名男生，在把兩名女生插入四名男生之間是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.14、．【解析】

設(shè)點P的坐標(biāo)為，代入橢圓方程，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡整理，即可得到所求離心率．【詳解】設(shè)點P的坐標(biāo)為．由題意，有，①由A（﹣a，0），B（a，0），得，．由，可得，代入①并整理得．由于，故，于是，∴橢圓的離心率．故答案為：．【點睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法，是中檔題．求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).15、②③【解析】分析：由題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系逐一考查所給的命題即可求得結(jié)果．詳解：由導(dǎo)數(shù)圖象可知，當(dāng)﹣1＜x＜0或2＜x＜4時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0＜x＜2或4＜x＜5，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x=0和x=4，函數(shù)取得極大值f（0）=2，f（4）=2，當(dāng)x=2時，函數(shù)取得極小值f（2），所以①錯誤；②③正確；因為在當(dāng)x=0和x=4，函數(shù)取得極大值f（0）=2，f（4）=2，要使當(dāng)x∈[﹣1，t]函數(shù)f（x）的最大值是2，則2≤t≤5，所以t的最大值為5，所以④不正確；由f（x）=a知，因為極小值f（2）未知，所以無法判斷函數(shù)y=f（x）﹣a有幾個零點，所以⑤不正確．故答案為：②．點睛：本題考查了導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值與最值及零點個數(shù)問題，重點考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計算能力，屬于中檔題．16、70【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合可列出兩個關(guān)于的二元一次方程，解這個二元一次方程組，求出的值，再利用等差數(shù)列的前項和公式求出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得：，【點睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的求法，熟記公式、正確解出方程組的解，是解題的關(guān)鍵.本題根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可直接求解：，.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4;（2）P(A)=3【解析】試題分析：(Ⅰ)由各組的頻率和等于1直接列式計算成績在[80,90)的學(xué)生頻率,用40乘以頻率可得成績在[80,90)的學(xué)生人數(shù);

(試題解析：（1）因為各組的頻率之和為1，所以成績在區(qū)間[80,90)內(nèi)的頻率為所以選取的40名學(xué)生中成績在區(qū)間[80,90)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（2）設(shè)A表示事件“在成績大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2名，至少有1名學(xué)生的成績在區(qū)間[90,100]內(nèi)”，由（1）可知成績在區(qū)間[80,90成績在區(qū)間[90,100]內(nèi)的學(xué)生有0.005×10×40=2（人），記這2名學(xué)生分別為則選取2名學(xué)生的所有可能結(jié)果為(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f)，(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15種，事件“至少有1名學(xué)生的成績在區(qū)間[90,100]內(nèi)”的可能結(jié)果為(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)，共9種，所以P(A)=918、(1)見解析；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）由平面可證，由二面角為直二面角及是正方形可證，再由線面垂直判定定理得平面，即可得證；（2）取的中點，連接，，由四邊形為正方形可證，，即可得為二面角的平面角，根據(jù)題設(shè)條件求出及，即可得二面角的余弦值；（3）利用等體積法，由即可得點到平面的距離.試題解析：（1）∵平面，∴.又∵二面角為直二面角，且，∴平面，∴，∴平面，∴.（2）取的中點，連接，.∵四邊形為正方形，∴，∴，即為二面角的平面角，又，∴，由（1）知，且，∴，∴，由，解得，∴，即∴，即二面角的余弦值為.（3）取的中點，連接，∵，二面角為直二面角，∴平面，且.∵，，∴平面，∴，∴，又，由，得，∴.點睛：立體幾何的證明需要對證明的邏輯關(guān)系清楚，證明線線垂直，先由線面垂直得到線線垂直，再由線線垂直證明線面垂直；用普通法求二面角，講究“一作、二證、三求”，通過輔助線先把二面角的平面角及計算所需線段作出來，再證明所作角是二面角的平面角；點到面的距離還原到體積問題，則利用等體積法解題.19、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)圖象以及零點存在定理列不等式，解得的取值范圍，（2）根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系分類討論滿足題意的條件，解不等式得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）因為函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點，所以有解得所以的取值范圍為：（Ⅱ）要使在區(qū)間上恒成立，需滿足或或解得：無解或或無解所以所以的取值范圍為：.【點睛】研究二次函數(shù)最值或單調(diào)性，一般根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系進(jìn)行分類討論；研究二次方程在定義區(qū)間有解，一般從開口方向，對稱軸位置，判別式正負(fù)，以及區(qū)間端點函數(shù)值正負(fù)四個方面進(jìn)行考慮.20、（1）詳見解析（2）①詳見解析②E(X)=2110【解析】

(1)補(bǔ)充列聯(lián)表，根據(jù)公式計算卡方值，進(jìn)行判斷；（2）（ⅰ）每次購物時，對商品和服務(wù)都好評的概率為710，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二項分布，按照二項分布的公式進(jìn)行計算即可得到相應(yīng)的概率值；（ⅱ）按照二項分布的期望和方差公式計算即可【詳解】（1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的2×2列聯(lián)表：對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計對商品好評14040180對商品不滿意101020合計15050200則K2由于7.407＜7.879，則不可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)．（2）（?。┟看钨徫飼r，對商品和服務(wù)都好評的概率為710且X的取值可以是0，1，2，3，則P(X=0)=(310P(X=2)=C32故X的分布列為X0123P27189441343（ⅱ）由于X～B（3，710），則E(X)=3×710【點睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求