電動(dòng)力學(xué)二四鏡象法

電動(dòng)力學(xué)二四鏡象法1第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一目的：

學(xué)習(xí)一種求解靜電場的

特殊方法--鏡象法（簡潔明了）主要內(nèi)容：

一、相關(guān)內(nèi)容回顧

二、鏡象法的基本思想

三、鏡象法應(yīng)用舉例

四、總結(jié)與討論2第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一唯一性定理給出靜電場可以唯一求解的條件唯一性定理：在可均勻分區(qū)的區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布，區(qū)域V內(nèi)的電場由V的邊界S上的電勢或者電勢法向?qū)?shù)唯一地確定。一、相關(guān)內(nèi)容回顧3第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一如果V內(nèi)含有導(dǎo)體區(qū)域，將導(dǎo)體表面視為邊界面。如果不是給定導(dǎo)體邊界上的電勢或者電勢法向?qū)?shù)，而是給定每個(gè)導(dǎo)體上的總電荷，唯一性定理同樣成立。這是由電荷與電場之間的制約關(guān)系決定的。4第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一分離變量法：適用于所考慮的區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷分布的情況，求解拉普拉斯方程。分離變量法（）鏡象法（？）格林函數(shù)法（？）多極矩展開法（？）靜電學(xué)的基本問題是求滿足給定邊界條件的泊松方程的解。主要方法有四種。5第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一一種重要的特殊情形是：區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或者幾個(gè)點(diǎn)電荷。區(qū)域的邊界是導(dǎo)體或者介質(zhì)。這一個(gè)或者幾個(gè)電荷要在導(dǎo)體界面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，或者在介質(zhì)表面產(chǎn)生束縛。二、鏡象法求解靜電場的基本思想6第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一上述特殊情形的泊松方程邊值問題，可以采用一種比較簡潔的特殊方法來求解。這種方法就是鏡象法。鏡象法的基本思想就是：在求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應(yīng)電荷，但不改變求解區(qū)域的邊值關(guān)系和邊界條件?；蛘哒f，只要不改變求解區(qū)域的電荷分布、邊值關(guān)系和邊界條件，象電荷可以取代感應(yīng)電荷，象電荷在所考慮區(qū)域產(chǎn)生的電場就是感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場。7第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一三、鏡象法應(yīng)用舉例例1接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點(diǎn)電荷Q，求空間中的電場。8第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一解電荷：一個(gè)點(diǎn)電荷界面：接地?zé)o窮大導(dǎo)體區(qū)域：上半空間（下半空間電勢為零）已知界面電勢為零，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢。9第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一上半空間的電勢的特征：導(dǎo)體表面是等勢面電場線垂直于導(dǎo)體表面點(diǎn)電荷Q使導(dǎo)體表面產(chǎn)生異號的感應(yīng)電荷Q

。整個(gè)電場是由Q和Q共同產(chǎn)生的。電荷分布和電場分布：10第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)想在導(dǎo)體板下方與電荷Q對稱的位置上放一個(gè)假想電荷Q’=Q

，然后把導(dǎo)體板抽去。這樣，沒有改變所考慮空間的電荷分布（即沒有改變電勢服從的泊松方程）。Q假想電荷Q’與給定電荷Q激發(fā)的總電場如圖所示。由對稱性看出，在原導(dǎo)體板平面上，電場線處處與它正交，因而滿足邊界條件。11第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一導(dǎo)體板上部空間的電場可以看作原電荷與鏡象電荷共同激發(fā)的電場。場點(diǎn)P的電勢導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷確實(shí)可以用板下方一個(gè)假想電荷Q’代替。12第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一選Q到導(dǎo)體板上的投影點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)Q到導(dǎo)體板距離為a，有可以看出，引入象電荷取代感應(yīng)電荷，的確是一種求解泊松方程的簡潔方法。13第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一例2真空中有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球，距球心為a（a>R0）處有一點(diǎn)電荷Q，求空間各點(diǎn)的電勢（如圖）。14第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一解電荷：一個(gè)點(diǎn)電荷界面：導(dǎo)體球面區(qū)域：球面外區(qū)域已知界面電勢為零，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢。15第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一點(diǎn)電荷Q使導(dǎo)體表面產(chǎn)生異號的感應(yīng)電荷Q’

。電荷分布和電場分布：整個(gè)電場是由Q和Q’共同產(chǎn)生的。16第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一在球內(nèi)區(qū)域（所考慮區(qū)域之外）引入象電荷，取代球面上的感應(yīng)電荷，不改變體系方程。球面外區(qū)域電勢的特征：導(dǎo)體表面是等勢面電場線垂直于導(dǎo)體表面預(yù)計(jì)電場線如圖所示17第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一不改變邊值關(guān)系和邊界條件的要求為由對稱性，Q’應(yīng)在OQ連線上?？紤]球面上任一點(diǎn)P（如圖）18第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一因此對球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有只要選Q’的位置使OPQ~OQ’P，則19第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一假想電荷Q’的大小為由兩三角形相似的條件可得假想電荷Q’的位置20第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一球外任一點(diǎn)P（如圖）的電勢為21第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)高斯定理，收斂于球面的電通量為Q’。Q’為球面的總感應(yīng)電荷，它是受電荷Q的電場的吸引而從接地處傳至導(dǎo)體球上的。物理結(jié)果討論：然而|Q’|<Q，由電荷Q發(fā)出的電場線只有一部分收斂于球面上，剩下的一部分發(fā)散至無窮遠(yuǎn)處。22第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一例3如上例，但導(dǎo)體球不接地而帶電荷Q0，求球外電勢，并求電荷Q所受的力。23第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一這里給出的條件為：（1）球面為等勢面（電勢待定）；（2）從球面發(fā)出的總電通量為Q0。在球內(nèi)放置與上例相同的假想電荷Q’（電勢為零），在球心處再放一個(gè)假想電荷Q0－Q’（球面等勢），就可同時(shí)滿足上面兩個(gè)條件。解24第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一球外任一點(diǎn)P的電勢為因此電荷Q所受的力等于Q’和球心處的電荷Q0－Q’對它的作用力F，25第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一過渡到點(diǎn)電荷相互作用模型吸引力，趨于消失R00物理結(jié)果討論：26第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一aR0即使Q和Q0同號，只要Q距球面足夠近，就受到導(dǎo)體的吸引力。原因：雖然整個(gè)導(dǎo)體的電荷與Q同號，但在靠近Q的球面部分出現(xiàn)異號電荷。從而相互吸引起主要作用。吸引力起主要作用（數(shù)值大于第一項(xiàng)）27第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)唯一性定理要求的條件求解電磁場泊松方程邊值問題；在求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應(yīng)電荷，保持求解區(qū)域電荷分布不變；引入鏡象電荷，不改變求解區(qū)域邊值關(guān)系和邊界條件。1、鏡象法的基本要領(lǐng)四、總結(jié)與討論28第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一兩種方法都是根據(jù)邊值關(guān)系和邊界條件進(jìn)行求解；可解的條件都是唯一性定理所要求的分區(qū)均勻介質(zhì)和邊界條件。2、與分離變量法比較共同點(diǎn)：29第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一不同點(diǎn)：分離變量法鏡象法電荷分布求解區(qū)域沒有（或者經(jīng)過變換沒有）自由電荷分布求解區(qū)域有一個(gè)或者幾個(gè)自由點(diǎn)電荷具體方法分離變量求解拉普拉斯方程求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應(yīng)電荷30第30頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一從前兩節(jié)的例子可以看出，邊值關(guān)系和邊界條件對于求解電場問題具有重要性作用。邊界條件大致有一下幾種類型：1、兩絕緣介質(zhì)界面上