北師大長春附屬學(xué)校2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若對任意實(shí)數(shù)，有，則（）A． B． C． D．2．已知隨機(jī)變量滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C． D．3．命題“任意”為真命題的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．4．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．5．直三棱柱中，，，、分別為、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．如圖是一個算法的程序框圖，當(dāng)輸入的x的值為7時(shí)，輸出的y值恰好是，則“？”處應(yīng)填的關(guān)系式可能是（）A． B． C． D．7．已知雙曲線，若其過一、三象限的漸近線的傾斜角，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知向量與的夾角為，，，則（）A． B．2 C．2 D．49．已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，設(shè)曲線在處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．10．2021年起，新高考科目設(shè)置采用“”模式，普通高中學(xué)生從高一升高二時(shí)將面臨著選擇物理還是歷史的問題，某校抽取了部分男、女學(xué)生調(diào)查選科意向，制作出如右圖等高條形圖，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①樣本中的女生更傾向于選歷史；②樣本中的男生更傾向于選物理；③樣本中的男生和女生數(shù)量一樣多；④樣本中意向物理的學(xué)生數(shù)量多于意向歷史的學(xué)生數(shù)量.根據(jù)兩幅條形圖的信息，可以判斷上述結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在3男2女共5名學(xué)生中隨機(jī)抽選3名學(xué)生參加某心理評測，則抽中的學(xué)生全是男生的概率為_____．（用最簡分?jǐn)?shù)作答）14．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行籃球三分球投籃比賽，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，每人分別進(jìn)行三次投籃.乙恰好比甲多投進(jìn)2次的概率是______.15．對任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“⊙”：⊙設(shè)，若函數(shù)的圖象與x軸恰有三個交點(diǎn)，則k的取值范圍是___________．16．由拋物線y＝x2，直線x＝1，x＝3和x軸所圍成的圖形的面積是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）求方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)；（2）某火車站共設(shè)有4個“安檢”入口，每個入口每次只能進(jìn)1個旅客求—個小組4人進(jìn)站的不同方案種數(shù)，要求寫出計(jì)算過程.18．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．已知，．（1）若，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（12分）某校高二（1）班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，如圖所示：試根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：（1）求全班的學(xué)生人數(shù)及分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的頻數(shù)；（2）為快速了解學(xué)生的答題情況，老師按分層抽樣的方法從位于[70,80)，[80,90)和[90,100]分?jǐn)?shù)段的試卷中抽取8份進(jìn)行分析，再從中任選3人進(jìn)行交流，求交流的學(xué)生中，成績位于[70,80)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）在中，，且.（1）求邊長；（2）求邊上中線的長.21．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，，三邊，，成等比數(shù)列，且面積為，在等差數(shù)列中，，公差為.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.22．（10分）設(shè).（1）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；（2）若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析：根據(jù)，按二項(xiàng)式定理展開，和已知條件作對比，求出的值，即可求得答案.詳解：，且，.故選：B.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù).2、B【解析】

利用期望與方差性質(zhì)求解即可．【詳解】；．故，．故選．【點(diǎn)睛】考查期望與方差的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．3、C【解析】試題分析：對此任意性問題轉(zhuǎn)化為恒成立，當(dāng)，即，，若是原命題為真命題的一個充分不必要條件，那應(yīng)是的真子集，故選C.考點(diǎn)：1.集合；2.充分必要條件.4、C【解析】

根據(jù)的單調(diào)性判斷的大小關(guān)系，由判斷出三者的大小關(guān)系.【詳解】由，，，則.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對數(shù)運(yùn)算，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查對數(shù)式比較大小，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),則、、、、，，、，設(shè)異面直線與所成角為，則，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量法求異面直線所成的角，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】試題分析：依題意，輸入的的值為，執(zhí)行次循環(huán)體，的值變?yōu)椋@時(shí)，如果輸出的值恰好是，則函數(shù)關(guān)系式可能為,故應(yīng)填A(yù).考點(diǎn)：程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu).7、B【解析】分析：利用過一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出雙曲線的離心率e的取值范圍.詳解：雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，由過一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，∴tan≤≤tan，∴1≤≤，∴1≤≤3，∴2≤1+≤4，即2≤e2≤4，解得≤e≤2，故選：B．點(diǎn)睛：求離心率的常用方法有以下兩種：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出關(guān)于的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)，消去后轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程(或不等式)求解．8、C【解析】

利用即可解決．【詳解】由題意得，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，，，所以，所以，所以，所以選擇C【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算，在解決向量模的問題時(shí)通常先計(jì)算出平方的值，再開根號即可，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

由題意可得對任意恒成立，可得，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)處切線的斜率，進(jìn)而可求出在點(diǎn)處切線的方程，將點(diǎn)代入切線的方程即可求出，進(jìn)而可求出，再利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系，即可到答案．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，所以對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，所以，，所以，所以，所以函數(shù)在處的切線的斜率，又，所以切線的方程為，又切線過點(diǎn)，所以，解得，所以函數(shù)在處的切線的斜率，所以，所以，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對稱中心方程應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及在一點(diǎn)處的切線的方程，同時(shí)考查誘導(dǎo)公式和同角基本關(guān)系，屬于中檔題．10、B【解析】

分析條形圖，第一幅圖從性別方面看選物理歷史的人數(shù)的多少，第二幅圖從選物理歷史的人數(shù)上觀察男女人數(shù)的多少，【詳解】由圖2知樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量，由圖1有物理意愿的學(xué)生數(shù)量多于有歷史意愿的學(xué)生數(shù)量，樣本中的男生更傾向物理，女生也更傾向物理，所以②④正確，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查條形圖的認(rèn)識，只要分清楚條形圖中不同的顏色代表的意義即可判別．11、B【解析】

求導(dǎo)，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)得到答案.【詳解】單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)區(qū)間上是單調(diào)遞減不滿足只能區(qū)間上是單調(diào)遞增.故故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，排除單調(diào)遞減的情況是解題的關(guān)鍵.12、A【解析】

由題先解出，再利用來判斷位置【詳解】，在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為，即在第一象限，故選A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法，復(fù)數(shù)的概念及幾何意義，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

用列舉法列出所有基本事件，從中得到所求事件包含的基本事件的個數(shù)，再用古典概型的概率公式可得答案.【詳解】設(shè)3名男生為，2名女生為，從中抽出3名學(xué)生的情況有：，，，，共10種，其中全是男生的情況有1種，根據(jù)古典概型的概率公式可得所求概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了用古典概型概率公式求概率，關(guān)鍵是用列舉法列出所有基本事件，屬于基礎(chǔ)題.14、；【解析】

將事件拆分為乙投進(jìn)3次，甲投進(jìn)1次和乙投進(jìn)2次，甲投進(jìn)0次，再根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式和獨(dú)立事件的概率計(jì)算即可求得.【詳解】根據(jù)題意，甲和乙投進(jìn)的次數(shù)均滿足二項(xiàng)分布，且甲投進(jìn)和乙投進(jìn)相互獨(dú)立；根據(jù)題意：乙恰好比甲多投進(jìn)2次，包括乙投進(jìn)3次，甲投進(jìn)1次和乙投進(jìn)2次，甲投進(jìn)0次.則乙投進(jìn)3次，甲投進(jìn)1次的概率為；乙投進(jìn)2次，甲投進(jìn)0次的概率為.故乙恰好比甲多投進(jìn)2次的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的概率計(jì)算，屬綜合基礎(chǔ)題.15、【解析】

由，得，根據(jù)定義化簡函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)與的圖象有3個交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】解：令當(dāng)時(shí)，解得，，，當(dāng)時(shí)，解得或，，或，函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象得：，函數(shù)與的圖象有3個交點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與軸恰有三個公共點(diǎn)；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)定義求出的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．16、【解析】

由題意，作出圖形，確定定積分，即可求解所圍成的圖形的面積．【詳解】解析：如圖所示，S＝x2dx＝1＝(33－13)＝.【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用，其中根據(jù)題設(shè)條件，作出圖形，確定定積分求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）56；（2）840種，計(jì)算過程見解析【解析】

（1）利用隔板法求結(jié)果；（2）將問題分4種情況分別得出其方案數(shù)，可求得結(jié)果，注意需考慮從同一個安檢口的旅客的通過順序.【詳解】（1）若定義，其中，則是從方程的非負(fù)整數(shù)解集到方程的正整數(shù)解集的映射，利用隔板法得，方程正整數(shù)解得個數(shù)是從而方程的非負(fù)整數(shù)解得個數(shù)也是56；（2）這4名旅客通過安檢口有4種情況：從1個安檢口通過，從2個安檢口通過，從3個安檢口通過，從4個安檢口通過。從1個安檢口通過共有：種方案；從2個安檢口通過，可能有1個安檢口通過1人，另一個安檢口通過3人有：種方案；從2個安檢口通過，可能每一個安檢口都通過2人有：種方案；從3個安檢口通過，可能有2個安檢口各通過1人，有1個安檢口通過2人有：種方案；從4個安檢口通過共有：種方案，所以這4個旅客進(jìn)站的不同方案有：種.【點(diǎn)睛】本題考查利用隔板法解決不定方程非負(fù)整數(shù)解問題，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由題意可得，再由等差數(shù)列的定義即可得證；（2）求得，即，再由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡可得所求和．【詳解】（1）因?yàn)?，所以可化為，又，所以是首?xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．（2）由（1），知，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等差（等比）數(shù)列的前項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的分組求和法的應(yīng)用．19、（1）50，20；（2）158【解析】解：(1)由莖葉圖可知，分?jǐn)?shù)在[50,60)上的頻數(shù)為4，頻率為0.008×10＝0.08，故全班的學(xué)生人數(shù)為40.08分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的頻數(shù)等于50－(4＋14＋8＋4)＝20.(2)按分層抽樣原理，三個分?jǐn)?shù)段抽樣數(shù)之比等于相應(yīng)人數(shù)之比．又[70,80)，[80,90)和[90,100]分?jǐn)?shù)段人數(shù)之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的樣本中分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的有5人，分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的有2人，分?jǐn)?shù)在[90,100]之間的有1人．從中任取3人，共有C83＝56種不同的結(jié)果．被抽中的成績位于[70,80)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生人數(shù)X的所有取值為0,1,2,3.它們的概率分別是：P(X＝0)＝C3356P(X＝1)＝C51CP(X＝2)＝C52C31P(X＝3)＝C5356＝10∴X的分布列為X

0

1

2

3

P

15615561528528∴X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×156＋1×1556＋2×1528＋3×528＝20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，可以求出的值，利用三角形內(nèi)角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出長；（2）利用余弦定理可以求出的長，進(jìn)而可以求出的長，然后在中，再利用余弦定理求出邊上中線的長.【詳解】（1），，由正弦定理可知中：（2）由余弦定理可知：，是的中點(diǎn)，故，在中，由余弦定理可知：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函數(shù)關(guān)系、以及三角形內(nèi)角和定理，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21、（1）；（2）.【解析】分析：（1）先利用已知求出b,再求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)先求出，再利用裂項(xiàng)相消求