人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)B版-選修3-1-中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶-“韓信點(diǎn)兵”與中國(guó)剩余定理省賽一等獎(jiǎng)

康托爾康托爾，G．F．L．Ph．(Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp)1845年3月3日生于俄羅斯圣彼得堡；1918年1月6日卒于德國(guó)薩克森的哈雷．?dāng)?shù)學(xué)、集合論．康托爾的祖父母曾居住在丹麥的哥本哈根，1807年英國(guó)炮擊哥本哈根時(shí)，他們家?guī)缀鯁适Я艘磺?，隨后遷往俄羅斯的圣彼得堡，那里有康托爾祖母的親戚．康托爾的父親喬治·魏特曼·康托爾(GeorgeWoldemarCantor)年輕時(shí)，曾在圣彼得堡經(jīng)商．后來(lái)，在漢堡、哥本哈根、倫敦甚至遠(yuǎn)及紐約從事國(guó)際買賣．1839年由于某種原因破產(chǎn)了．但不久，他又轉(zhuǎn)到股票交易上，并很快取得了成功．1842年4月21日，魏特曼與們婚后有六個(gè)孩子，康托爾是他們的長(zhǎng)子．1856年，康托爾隨同全家移居德國(guó)的威斯巴登，并在當(dāng)?shù)氐囊凰乃迣W(xué)校讀書(shū)．后來(lái)在阿姆斯特丹讀六年制中學(xué)．1862年，開(kāi)始了他的大學(xué)生活．他曾就學(xué)于蘇黎世大學(xué)、格丁根大學(xué)和法蘭克福大學(xué)．1863年，他父親突然病逝，為此，康托爾回到了柏林，在柏林大學(xué)重新開(kāi)始學(xué)習(xí)．在那里，他從當(dāng)時(shí)的幾位數(shù)學(xué)大師K．W．T．魏爾斯特拉斯(Weierstrass)、E．E，庫(kù)默爾(Kummer)和L．克羅內(nèi)克(Kro-nechen)那里學(xué)到了不少東西．特別是受到魏爾斯特拉斯的影響而轉(zhuǎn)入純粹數(shù)學(xué)．從此，他集中全力于哲學(xué)、物理、數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究，并選擇了數(shù)學(xué)作為他的職業(yè)．可是，最初他父親并不希望他獻(xiàn)身于純粹科學(xué)，而是力促他學(xué)工．但是，康托爾越來(lái)越多地受到數(shù)學(xué)的吸引．1862年，年輕的康托爾做出了準(zhǔn)備獻(xiàn)身數(shù)學(xué)的決定．盡管他父親對(duì)他的這一選擇是否明智曾表示懷疑，但仍以極大的熱情支持兒子的事業(yè)．同時(shí)還提醒康托爾要廣泛學(xué)習(xí)各科知識(shí)，他還極力培養(yǎng)康托爾在文學(xué)、音樂(lè)等方面的興趣．康托爾在繪畫(huà)方面表現(xiàn)出的才能使整個(gè)家庭為之自豪．由于康托爾一開(kāi)始就具有獻(xiàn)身數(shù)學(xué)的信念，這就為他創(chuàng)立超窮集合論，取得數(shù)學(xué)史上這一令人驚異的成就，奠定了基礎(chǔ)．盡管19世紀(jì)末他所從事的關(guān)于連續(xù)性和無(wú)窮的研究從根本上背離了數(shù)學(xué)中關(guān)于無(wú)窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭(zhēng)論乃至嚴(yán)厲的譴責(zé)，但是他不顧眾多數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家甚至神學(xué)家的反對(duì)，堅(jiān)定地捍衛(wèi)了超窮集合論．也正是這種堅(jiān)定、樂(lè)觀的信念使康托爾義無(wú)反顧地走向數(shù)學(xué)家之路并真正取得了成就．1866年12月14日，康托爾的第三篇論文“按照實(shí)際算學(xué)方法，決定極大類或相對(duì)解”(Inremathematicaarsproponendlplurisfaciendaestquamsolvendi)使他獲得了博士學(xué)位．這時(shí)，他的主要興趣在數(shù)論方面．1869年，康托爾在哈雷大學(xué)得到教職．他的授課資格論文討論的是三元二次型的變換問(wèn)題．不久，任副教授，1879年任教授，從此一直在哈雷大學(xué)擔(dān)任這個(gè)職務(wù)直到去世．1872年以后，他一直主持哈雷大學(xué)的數(shù)學(xué)講座．在柏林，康托爾是數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的成員之一．1864—1865年任主席．他晚年積極為一個(gè)國(guó)際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟工作．他還設(shè)想成立一個(gè)德國(guó)數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)，這個(gè)組織于1891年成立，康托爾是它的第一任主席．他還籌辦了1897年在蘇黎世召開(kāi)的第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)．1901年，康托爾被選為倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)和其他科學(xué)會(huì)的通訊會(huì)員或名譽(yù)會(huì)員，歐洲的一些大學(xué)授予他榮譽(yù)學(xué)位．1902年和1911年他分別獲得來(lái)自克里斯丁亞那(Christiania)和圣安德魯斯(St．Andrews)的榮譽(yù)博士學(xué)位．1904年倫敦皇家學(xué)會(huì)授予他最高的榮譽(yù)：西爾威斯特(Sylvester)獎(jiǎng)?wù)拢?874年初，康托爾經(jīng)姐姐G．索菲(Sophie)介紹，與瓦雷·古德曼(VallyGuttmann)訂婚，并于同年仲夏結(jié)婚．他們共有五個(gè)孩子．那時(shí)，哈雷大學(xué)教授的收入很微薄，康托爾一家一直處在經(jīng)濟(jì)困難之中．為此，康托爾希望在柏林獲得一份收入較高、更受人尊敬的大學(xué)教授的職位．然而在柏林，康托爾的老師克羅內(nèi)克幾乎有無(wú)限的權(quán)力．他是一個(gè)有窮論者，竭力反對(duì)康托爾“超窮數(shù)”的觀點(diǎn)．他不僅對(duì)康托爾的工作進(jìn)行粗暴的攻擊，還阻礙康托爾到首都柏林工作，使康托爾得不到柏林大學(xué)的職位．由于他的攻擊，還使數(shù)學(xué)家們對(duì)康托爾的工作總抱著懷疑的態(tài)度，致使康托爾在1884年患了抑郁癥．最初發(fā)病的時(shí)間較短，1899年，來(lái)自事業(yè)和家庭生活兩方面的打擊，使他舊病復(fù)發(fā)．這年夏天，集合論悖論縈繞在他的頭腦中，而連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問(wèn)題的解決仍毫無(wú)線索．這使康托爾陷入了失望的深淵．他請(qǐng)求學(xué)校停止他秋季學(xué)期的教學(xué)，還給文化大臣寫(xiě)信，要求完全放棄哈雷大學(xué)的職位，寧愿在一個(gè)圖書(shū)館找一份較輕松的工作．但他的請(qǐng)求沒(méi)有得到批準(zhǔn)．他不得不仍然留在哈雷，而且這一年的大部時(shí)間是在醫(yī)院度過(guò)的．同時(shí)，家庭不幸的消息也不斷傳來(lái)．在他母親去世三年后，他的弟弟G．康士坦丁(Constantin)從部隊(duì)退役后去世．12月16日，當(dāng)康托爾在萊比錫發(fā)表演講時(shí)，得到了將滿13歲的小兒子G．魯?shù)婪?Rudolf)去世的噩耗．魯?shù)婪驑O有音樂(lè)天賦，康托爾希望他繼承家族的優(yōu)良傳統(tǒng)，成為一個(gè)著名的小提琴家．康托爾在給F．克萊因(Klein)的信中不僅流露出他失去愛(ài)子的悲痛心情，而且使他回想起自己早年學(xué)習(xí)小提琴的經(jīng)歷，并對(duì)放棄音樂(lè)轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)是否值得表示懷疑．到1902年，康托爾勉強(qiáng)維持了三年的平靜，后又被送到醫(yī)院．1904年，他在兩個(gè)女兒的陪同下，出席了第三次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)．會(huì)上，他的精神又受到強(qiáng)烈的刺激，他被立即送往醫(yī)院．在他生命的最后十年里，大都處在一種嚴(yán)重抑郁狀態(tài)中．他在哈雷大學(xué)的精神病診所里度過(guò)了漫長(zhǎng)的時(shí)期．1917年5月他最后一次住進(jìn)這所醫(yī)院直到去世．康托爾的工作大致分為三個(gè)時(shí)期，早期，他的主要興趣在數(shù)論和經(jīng)典分析等方面；之后，他創(chuàng)立了超窮集合論；晚年，他較多地從事哲學(xué)和神學(xué)的研究．康托爾的成就不是一直在解決問(wèn)題，他對(duì)數(shù)學(xué)最重要的貢獻(xiàn)是他詢問(wèn)問(wèn)題的特殊方法，從而開(kāi)創(chuàng)了大量新的研究領(lǐng)域．這使他成為數(shù)學(xué)史上最富于想象力，也是最有爭(zhēng)議的人物之一．1874年，29歲的康托爾就在《克雷爾數(shù)學(xué)雜志》(CrellesJo-urnalfürMathematik)上發(fā)表了關(guān)于超窮集合理論的第一篇革命性文章，引入了震憾知識(shí)界的無(wú)窮的概念．這篇文章的題目叫：“關(guān)于一切代數(shù)實(shí)數(shù)Zahlen)．盡管有些命題被指出是錯(cuò)誤的，但這篇文章總體上的創(chuàng)造性引起了人們的注意．康托爾的集合論理論分散在他的許多文章和書(shū)信中，他的這些文章從1874年開(kāi)始分載在《克雷爾數(shù)學(xué)雜志》和《數(shù)學(xué)年鑒》(Mathemati-scheAnnale)兩種雜志上．后被收入由E．策梅羅(Zermelo)編的康托爾的《數(shù)學(xué)和哲學(xué)論文全集》(GesammelteAbhandlangenmathematischenundphilosophischenInhelts)中．1879年至1884年間，康托爾相繼發(fā)表了六篇系列文章，并匯集成《關(guān)于無(wú)窮線性點(diǎn)集》四篇直接建立了集合論的一些重要的數(shù)學(xué)結(jié)果．1883年，康托爾認(rèn)識(shí)到，要想對(duì)無(wú)窮的新理論作進(jìn)一步推廣，必須給出較前四篇系列文章更為詳盡的闡述．隨后他又發(fā)表了第五和第六兩篇文章，簡(jiǎn)潔而系統(tǒng)地闡述了超窮集合論．他在第五篇文章里，還專門(mén)討論了由集合論產(chǎn)生的數(shù)學(xué)和哲學(xué)問(wèn)題，其中包括回答反對(duì)者們對(duì)實(shí)無(wú)窮的非難．這篇文章非常重要，后來(lái)曾以《集合通論基礎(chǔ)，無(wú)窮理論的數(shù)學(xué)和哲學(xué)的探討》(GrundlageneinerallgemeinenMannigfaltigkeitslehre，einmathematisch-philosophischerVersuchinderLehredesUnendlichen)(以下簡(jiǎn)稱《集合通論基礎(chǔ)》)為題作專著單獨(dú)出版．康托爾最著名的著作是1895—1897年Mengenlehre)(共兩卷)．下面分述康托爾的主要工作．1．三角級(jí)數(shù)康托爾早年對(duì)數(shù)論、不定方程和三角級(jí)數(shù)極感興趣．似乎是微妙的三角級(jí)數(shù)激發(fā)他去仔細(xì)研究分析的基礎(chǔ)．與三角級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)唯一性有關(guān)的問(wèn)題，促使他研究E．海涅(Heine)的工作．康托爾從尋找函數(shù)的三角級(jí)數(shù)表示的唯一性的判別準(zhǔn)則開(kāi)始了他的研究．后來(lái)，他在H．施瓦茲(Schwarz)的啟發(fā)下證明了：假定對(duì)同一函數(shù)f(x)，存在兩個(gè)對(duì)每個(gè)x都收斂到同一值的三角級(jí)數(shù)表達(dá)式，將兩式相減，得到一個(gè)0的表達(dá)式，同樣對(duì)所有x的值收斂：0=C0+C1+C2+…+Cn+…(1)1870年3月，康托爾發(fā)表了一個(gè)關(guān)于唯一性定理所需要的初步結(jié)果．后來(lái)，人們把它叫康托爾-勒貝格(Lebesgue)定理．同年4月，康托爾證明了(pp．80—83)：當(dāng)f(x)用一個(gè)對(duì)一切x都收斂的三角級(jí)數(shù)表示時(shí)，就不存在同一形式的另一級(jí)數(shù)，它也對(duì)每個(gè)x收斂并且代表同一函數(shù)f(x)．在另一篇論文(pp．84—86)中，他給出了上述結(jié)果的一個(gè)更好的證明．康托爾還證明了唯一性定理可以重新敘述為：如果對(duì)一切x，有一個(gè)收斂的三角級(jí)數(shù)等于零，則系數(shù)an和bn都是零．1871年，康托爾將這個(gè)結(jié)果推廣到可以存在著有窮多個(gè)例外的點(diǎn)．到了1872年，他又將結(jié)果進(jìn)一步推廣到無(wú)窮多個(gè)例外的點(diǎn)([8]，pp．92—108)．為了描述這種點(diǎn)所構(gòu)成的集合，他引進(jìn)了點(diǎn)集的導(dǎo)出集的概念．為了說(shuō)明這些無(wú)窮例外點(diǎn)的性質(zhì)，他以一集合的導(dǎo)出集的性質(zhì)為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)無(wú)窮集作了一次分類．2．無(wú)窮集的分類(Ⅰ)設(shè)給定一集合P，P的一階導(dǎo)出集為P＇，二階導(dǎo)出集為P″，…，v階導(dǎo)出集為P(v)．P為第二種集合，如果P′，P″…P(v)，…皆為無(wú)窮．此處，P′可不包含于P，但P″，，…中的點(diǎn)皆屬于P′．P為第一種集合，如果P(v)只含有有窮多個(gè)點(diǎn)．在第二種集合的情況下，P＇可含有不屬于P的點(diǎn)，而高階導(dǎo)出集并沒(méi)有引入新點(diǎn)．他還定義P(∞)為包括那些屬于一切P(v)的點(diǎn)集，稱為“p的∞次導(dǎo)出集”．3．無(wú)理數(shù)理論由于定義導(dǎo)出集要用到極限的概念，而極限的存在又必須以實(shí)數(shù)系為前提，因之，康托爾在不預(yù)先假定無(wú)理數(shù)存在的條件下，利用有理數(shù)，建立了一個(gè)令人滿意的無(wú)理數(shù)理論．他通過(guò)“基本級(jí)數(shù)”(現(xiàn)在我們叫做基本序列或柯西序列)引入了無(wú)理數(shù)．他的作法與R．戴德金(Dedekind)從幾何方面作的處理截然不同．對(duì)于有理數(shù)，他在1883年的一篇文章([8]，pp．165—204)中說(shuō)，巳經(jīng)沒(méi)有必要去討論它，因?yàn)檫@方面的工作已經(jīng)由H．G．格拉斯曼(Grassmann)在他的《算術(shù)教本》(LehrbuchderArithmetik，1861)和J．H．T．繆勒(Müller)在他的《一般算術(shù)教程》(LehrbuchderallgemeinenArithmetik，1855)中完成了．康托爾在他的《關(guān)于無(wú)窮線性點(diǎn)集(5)》中，給出了無(wú)理數(shù)理論較詳細(xì)的內(nèi)容．他引進(jìn)一個(gè)新的數(shù)類——實(shí)數(shù)，它既包含有理數(shù)又包含無(wú)理數(shù)．他從有理數(shù)序列｛an｝開(kāi)始研究，這種序列滿足：對(duì)于任何一個(gè)給定的正有理數(shù)ε＞0，序列中除去有限個(gè)項(xiàng)以外，彼此相差都小于ε，亦即對(duì)于任意的正整數(shù)m一致地有l(wèi)im(an+m-an)=0成立．這樣的序列叫基本序列．每個(gè)這樣的序列定義一個(gè)實(shí)數(shù)，記作b．在這篇文章里，康托爾還定義了實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算和兩個(gè)實(shí)數(shù)的不等關(guān)系，證明了：實(shí)數(shù)系是完備的．康托爾進(jìn)一步得到：任意的正實(shí)數(shù)r可以通過(guò)如下形式的級(jí)數(shù)來(lái)表示：其中系數(shù)cr，滿足不等式：0≤cr≤r-1．(2)式現(xiàn)在叫做康托爾基數(shù)．實(shí)數(shù)系建立以后，可知直線上每一點(diǎn)都有對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)．但是，對(duì)每一實(shí)數(shù)，是否直線上都有一相應(yīng)的點(diǎn)？這必須通過(guò)公理才能保證．康托爾在這篇論文里把它作為公理提了出來(lái)．因此這條公理又被稱為康托爾公理．據(jù)此，實(shí)數(shù)集與直線上的點(diǎn)集就有了一一對(duì)應(yīng)．4．無(wú)窮集的分類(Ⅱ)康托爾對(duì)無(wú)窮集的第二種分類標(biāo)準(zhǔn)是建立在集合論中的．他的這種思想出自1873年11月他給在布倫茲維克的伙伴戴德金的一封交流信中，并在1874年的論文“關(guān)于一切代數(shù)實(shí)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)”里正式提出．他以“一一對(duì)應(yīng)”為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于凡能和正整數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的集合都稱為可數(shù)集．這是最小的無(wú)窮集．不久，康托爾證明了：有理數(shù)是可數(shù)的；而全體實(shí)數(shù)是不可數(shù)的．1873年11月他給出了有理數(shù)集合可數(shù)的第一個(gè)證明([8]，pp．115—118)；但他的第二個(gè)證明([8]，pp．283—356)是現(xiàn)在常采用的．康托爾把有理數(shù)排列成如下的形式(下圖)：在一個(gè)半平面上，最上面一排稱為第一行，標(biāo)以數(shù)1，從上而下，分別稱為第二行，第三行，…，順次標(biāo)以數(shù)2，3，…．每行正中間為0列，標(biāo)以數(shù)0．從中間開(kāi)始向右，順次為1列，2列，…，從0列向左，順次為－1列，－2列，…等等．在m行n列相交處放置有理數(shù)

集與正整數(shù)集構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)．這就證明了有理數(shù)集可數(shù)．更讓人驚訝的是，康托爾還證明了所有代數(shù)數(shù)的全體所構(gòu)成的集也是可數(shù)的．這里所謂代數(shù)數(shù)就是滿足下面代數(shù)方程a0xn+a1xn-1+…+an=0的數(shù)，其中ai(i=0，1，2，…，n)都是整數(shù)．為了證明這一點(diǎn)，康托爾對(duì)任一個(gè)n次代數(shù)方程指定一個(gè)數(shù)(叫高)N如下：N=(n-1)+|a0|+|a1|+…+|an|．其中ai(i=0，1，…，n)都是這個(gè)方程的系數(shù)．?dāng)?shù)N是一個(gè)正整數(shù)．對(duì)每一個(gè)N，以N為高的代數(shù)方程只有有限個(gè)．因此它們的全部解也只有有限個(gè)，除去重復(fù)的之外，所對(duì)應(yīng)的代數(shù)數(shù)也只有有限個(gè)，設(shè)為φ(N)．他從N=1開(kāi)始，對(duì)于所對(duì)應(yīng)的代數(shù)數(shù)從1到n1給以標(biāo)號(hào)；對(duì)應(yīng)于N=2的代數(shù)數(shù)從n1+1到n2給以標(biāo)號(hào)；依次下去．由于每一個(gè)代數(shù)數(shù)一定會(huì)編到號(hào)，并且必與唯一的一個(gè)正整數(shù)相對(duì)應(yīng)，從而所有代數(shù)數(shù)的集合是可數(shù)的．1873年12月7日，康托爾還成功地證明了實(shí)數(shù)集和正整數(shù)集之間不存在一一對(duì)應(yīng)．他曾給出兩個(gè)證明，第一個(gè)證明在前面提到過(guò)的1874年的那篇文章里．第二個(gè)證明([8]，pp．278—281)比第一個(gè)證明復(fù)雜得多，但它不依賴于無(wú)理數(shù)的技術(shù)．今天大多數(shù)教科書(shū)中采用的是他的第二個(gè)證明．其實(shí)，他主要證明區(qū)間(0，1]中的點(diǎn)不可數(shù)．在十進(jìn)制下，0與1之間的每個(gè)實(shí)數(shù)都可以寫(xiě)成0．p1p2p3…這樣形式的無(wú)窮小數(shù)．并約定將有理數(shù)寫(xiě)成無(wú)窮小數(shù)，如假設(shè)實(shí)數(shù)集(0，1]是可數(shù)的，將其元素全部枚舉出來(lái)，得到序列a1，a2，a3，…，an，…(3)于是正整數(shù)集與實(shí)數(shù)集(0，1]之間可構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)：現(xiàn)在構(gòu)造一個(gè)數(shù)b=0．b1b2b3…bk…，其中則b是0與1之間的其數(shù)字都是4或5的一個(gè)無(wú)窮小數(shù)．并且它的第K位數(shù)字bk≠pKK，所以b與(3)中任何一個(gè)數(shù)都不相同．這就是說(shuō)，數(shù)列(3)并沒(méi)有把(0，1]中的數(shù)枚舉完．因此，假設(shè)(0，1]可數(shù)是錯(cuò)誤的．故(0，0]不可數(shù)．值得注意的是：上述證明中，康托爾在構(gòu)造數(shù)b時(shí)，那里的數(shù)字4和5并不起什么特殊的作用．只用了b的一種性質(zhì)：即b的第K位數(shù)字bk與(3)式中第K個(gè)數(shù)的第K位數(shù)字pkk不同．其實(shí)，與pkk不同的其余九個(gè)數(shù)字都可以作為bk．在證明中起決定作用的是對(duì)角線上的數(shù)字pkk．這種證明方法稱為康托爾對(duì)角線法．在發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)不同的無(wú)窮集(整數(shù)集和實(shí)數(shù)集)以后，康托爾開(kāi)始考慮是否還有更大的無(wú)窮．他首先想到，平面上的所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合是否就是那更大的無(wú)窮．三年之后，他證明了：一條直線上的點(diǎn)和整個(gè)Rn(n維空間)中的點(diǎn)可以構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)．這個(gè)結(jié)果和他始料的相反．1877年6月他寫(xiě)信給戴德金，請(qǐng)審查他的證明，并說(shuō)：“我見(jiàn)到了，但是簡(jiǎn)直不能相信它．”(BriefweichselCantor-Dedekind，p．34)康托爾關(guān)于一直線中的點(diǎn)和Rn中的點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的思想是：把單位正方形中的點(diǎn)和(0，1)線段上的點(diǎn)之間構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)．設(shè)(x，y)是單位正方形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)．x是(0，1)中的點(diǎn)．設(shè)x，y都表示成無(wú)窮小數(shù)(當(dāng)為有限小數(shù)時(shí)，寫(xiě)成9的無(wú)限循環(huán))．我們把x和y的小數(shù)分成一組一組的，每一組都終止在第一個(gè)非零的數(shù)字上．例如令z=010274060058604…其中各組數(shù)字是：先排x的第一組，再排y的第一組，然后排x的第二組，y的第二組，依次下去．如果兩個(gè)x或兩個(gè)y有不同的小數(shù)位數(shù)字，則所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)x不同．這說(shuō)明(x，y)→z是一對(duì)一的．反之，對(duì)于任意的z∈(0，1)，把z的小數(shù)也像上面那樣分組，并把上述過(guò)程倒過(guò)去使用，作出相應(yīng)的x和y，則(x，y)是單位正方形中的點(diǎn)，所以上述映射是一一的．但它是不連續(xù)的．粗略地說(shuō)，對(duì)應(yīng)于彼此靠近的x點(diǎn)的(x，y)點(diǎn)不一定靠近，反之亦然．5．點(diǎn)集理論康托爾的點(diǎn)集理論，包含了大量的定義、定理和例子．例如，“閉包”、“稠密集”和“良定義集”等概念．康托爾還把一個(gè)閉的并且在它自身是稠密的集合叫“完備的”．他還給出了一個(gè)著名的三分集的例子，后來(lái)人們把它叫做“康托爾集”，它是一個(gè)完備的不連續(xù)集．這個(gè)集合被定義在[0，1]區(qū)間，它的所有點(diǎn)滿足公式其中Cr取值0或2．他還給出了“處處稠密”集的定義，指出了處處稠密集和導(dǎo)集之間的聯(lián)系．康托爾點(diǎn)集理論中的第二個(gè)重要問(wèn)題是：討論無(wú)窮集合的基數(shù)，并按基數(shù)對(duì)集合進(jìn)行分類．他給出了一些很重要的結(jié)果．另外，康托爾的可除容度理論使一些數(shù)學(xué)家感興趣，并將其應(yīng)用到微積分的某些定理的推廣上．6．初等集合論康托爾把集合定義為“把我們的感覺(jué)或思維所確定的不同對(duì)象(稱之為集合的元素)匯合成一個(gè)總體”(《數(shù)學(xué)年豎》，1895，pp．481—512)．在他早年的論文中，他有時(shí)使用“雜多”(Mannig-faltigkeit)一詞代替集合．一個(gè)集合包含它的元素(或分子)，反過(guò)來(lái)這些元素屬于集合．一給定集合S的一個(gè)子集是：它的所有元素都是S的元素；子集與元素不同，它是S的一部分．一個(gè)集合可以用列出它所有元素的方法來(lái)表示，如集合｛1，2｝；或者用一個(gè)性質(zhì)來(lái)刻畫(huà)它的元素．在每一種情況下，有相同元素的兩個(gè)集合A和B，稱為相等．記作A=B．至此可以看到，康托爾的集合論類似于G．布爾(Boole)的類理論，但更加復(fù)雜．兩個(gè)集合S和T稱之為等價(jià)的，如果在它們之間存在一一對(duì)應(yīng)，記作ST．一個(gè)集合的基數(shù)是一切等價(jià)集合所共有而其他集合不具有的東西．集合P的基數(shù)被記作．這里兩道水平線表示雙重抽象．如果P有窮，就是一個(gè)自然數(shù)；如果P無(wú)窮，不是自然數(shù)，這個(gè)推廣可借助對(duì)無(wú)窮所下的新定義而極易達(dá)到．我們說(shuō)，一個(gè)集合是無(wú)窮的，當(dāng)且僅當(dāng)它能與它的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng)．正如有窮集合的基數(shù)可比較，無(wú)窮集合的基數(shù)也可比較．因?yàn)槿绻我患蟂等價(jià)于集合T的某一子集但不等價(jià)于T本身，那么S的基數(shù)小于T的基數(shù)．康托爾還借已知集合定義了構(gòu)成新集合的并、交、笛卡兒積和嵌入等運(yùn)算．除此之外，還定義了一種特別重要的集合，叫集合S的冪集．它是S的一切子集的集合(在S的子集中包括S本身和空集)，他常用“S”表示，這里的字母取自德文詞Untermenge．現(xiàn)在人們則喜歡用P(S)表示S的冪集．引進(jìn)集合的運(yùn)算以后，康托爾又定義了基數(shù)的一般算術(shù)，包括加、乘和冪運(yùn)算．當(dāng)考慮無(wú)窮集時(shí)，由定義所得的結(jié)果在許多方面與自然數(shù)算術(shù)不同．7．超窮數(shù)康托爾關(guān)于良序集和序數(shù)的理論，發(fā)表在1879年到1884年的《數(shù)學(xué)年鑒》雜志上．后來(lái)這些文章都被收入題為《關(guān)于無(wú)窮線性點(diǎn)集(5)》中．康托爾指出：自然數(shù)序列1，2，3，…是從1開(kāi)始，并通過(guò)相繼加1而產(chǎn)生的．他把這種通過(guò)相繼加1定義有窮序數(shù)的過(guò)程概括為“第一生成原則”．將全體有窮序數(shù)集稱為第一數(shù)類，用(Ⅰ)表示，顯然其中無(wú)最大元．但康托爾覺(jué)得，用一個(gè)新數(shù)ω來(lái)表示它的自然順序沒(méi)有什么不妥，這個(gè)新數(shù)ω是緊跟在整個(gè)自然數(shù)序列之后的第一個(gè)數(shù)——第一個(gè)超窮序數(shù)．從ω出發(fā)運(yùn)用第一生成原則，可以得到一個(gè)超窮序數(shù)序列：ω，ω+1，ω+2，…，ω+n，…(4)在(4)里，沒(méi)有最大數(shù)．不妨用2ω來(lái)表示它．繼續(xù)使用第一生成原則，得2ω，2ω+1，2ω+2，…，2ω+n，…在這一過(guò)程中，可以把ω看成自然數(shù)(單增序列)的一個(gè)永遠(yuǎn)達(dá)不到的極限．不過(guò)，康托爾僅僅強(qiáng)調(diào)ω是作為緊跟在全體自然數(shù)n∈N之后的第一個(gè)序數(shù)．它比所有的自然數(shù)n都大．第二生成原則是：給定任意有特定順序、但其中無(wú)最大元素的集合，可以作為原集合的極限或后繼者而得一新序數(shù)．反復(fù)運(yùn)用這兩個(gè)生成原則，就能產(chǎn)生無(wú)窮多個(gè)序數(shù)，如ω，ω+1，…，n0ωμ+n1ωμ-1+…+nμ-1ω+nμ，…，ω∞，…等等．它們的全體構(gòu)成第二數(shù)類，記為(Ⅱ)．這些序數(shù)的基數(shù)都是可數(shù)的．接著，康托爾證明了：第二數(shù)類的基數(shù)不可數(shù)，他把這個(gè)基數(shù)記作，第二數(shù)類中也無(wú)最大序數(shù)．根據(jù)第二生成原則，在這些新序數(shù)之后又有一新序數(shù)ω1．這是第三數(shù)類的始數(shù)．如此逐步上升可以得到一系列的始序數(shù)ω1，ω2，ω3，…，與其相應(yīng)的基數(shù)為：1，2，3，…．如果無(wú)限制地使用第一和第二生成原則，第二數(shù)類似乎不存在最大元素．為此，康托爾引出了第三生成原則——限制原則．限制原則的目的在于保證，一個(gè)新數(shù)類的基數(shù)大于前一數(shù)類的基數(shù)而且是滿足這個(gè)條件的最小數(shù)類．值得注意的是，康托爾的超窮數(shù)理論，不同于以往數(shù)學(xué)家們?cè)谧兞恳饬x下使用的無(wú)窮．他說(shuō)，有窮集和無(wú)窮集的重要差別在于：在有窮集的情況下，不論其中元素的順序如何，所得的序數(shù)相同；對(duì)無(wú)窮集來(lái)說(shuō)，由于元素順序不同，從一無(wú)窮集可以形成無(wú)窮多個(gè)不同的良序集，因而得到不同的序數(shù)．為了強(qiáng)調(diào)超窮序數(shù)是一種實(shí)無(wú)窮，是被看作象實(shí)數(shù)那樣具有真實(shí)數(shù)學(xué)意義的數(shù)，在這篇文章中，他選用了ω代替∞．他還期望所引進(jìn)的這些超窮序數(shù)能像無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)那樣，最終被數(shù)學(xué)家們所接受．限制原則引進(jìn)后，康托爾考慮了數(shù)集的順序和它們的基數(shù)．他指出：(Ⅰ)和(Ⅱ)的重要區(qū)別在于(Ⅱ)的基數(shù)大于(Ⅰ)的基數(shù)．(Ⅰ)和(Ⅱ)的基數(shù)分別稱為第一種基數(shù)和第二種基數(shù)，康托爾在引進(jìn)超窮基數(shù)以及相應(yīng)的超窮算術(shù)的過(guò)程中，用了一個(gè)很重要的概念——良序集．定義給定良定義集，如果它的元素按確定的順序排列．依照這個(gè)順序，存在這個(gè)集合的第一個(gè)元素，而且對(duì)每個(gè)元素都存在一個(gè)確定的后繼(除非它是最后一個(gè)元素)．這樣的集合稱為一個(gè)良序集．顯然，自然數(shù)集是良序的．?dāng)?shù)類(Ⅰ)與(Ⅱ)都是良序的．良序集的概念對(duì)于區(qū)別有窮集和無(wú)窮集起了重要的作用．接下來(lái)，康托爾引進(jìn)了無(wú)窮良序集的編號(hào)——它用于刻畫(huà)給定集合中元素出現(xiàn)的順序．他還指出，這個(gè)新概念賦予超窮數(shù)一種直接的客觀性．他證明了：給定任何一個(gè)可數(shù)無(wú)窮的良序集，總存在(Ⅱ)中的一個(gè)數(shù)能夠唯一地表示它的順序或編號(hào)．因此，從一個(gè)簡(jiǎn)單的可數(shù)集出發(fā)，就可以產(chǎn)生不同的良序集，如正整數(shù)這個(gè)可數(shù)無(wú)窮集，可以形成序數(shù)為ω，ω+1，ω+2，…，2ω，…，ωω，…等無(wú)窮多個(gè)良序集．如果兩個(gè)良序集相似，則它們有相同的編號(hào)．因此，給定任意的(Ⅰ)或(Ⅱ)中的數(shù)α，按照自然順序選出先于α的所有元素，則所有與之相似的良序集的編號(hào)由α唯一確定．以下三個(gè)良序集｛α1，α2，α3，…，αn，αn+1，…｝，｛α2，α1，α4，…，αn+1，αn，…｝，｛1，2，3，4，…，n，…｝的編號(hào)均為ω．下面的三個(gè)良序集｛α2，α3，…，αn，…，α1｝，｛α3，α4，…，αn+1，…，α1，α2｝，｛α1，α3，…，α2，α4，…｝的編號(hào)分別為ω+1，ω+2和2ω．康托爾還用數(shù)和編號(hào)之間的差別，給出了有窮集和無(wú)窮集的新解釋．有窮集中不管元素怎樣排列，編號(hào)總是相同的．有趣的是，具有相同基數(shù)的無(wú)窮集，其元素的個(gè)數(shù)相同，也可有不同的良序并產(chǎn)生不同的編號(hào)．因此，集合的編號(hào)完全依賴于集合無(wú)素所選取的順序．他還強(qiáng)調(diào)，有窮集的基數(shù)和編號(hào)的概念是一致的．對(duì)于無(wú)窮集，基數(shù)和編號(hào)之間的區(qū)別是重要的．康托爾還把編號(hào)看成是計(jì)數(shù)概念的一種推廣．一個(gè)無(wú)窮集的編號(hào)由它的一個(gè)超窮數(shù)給定．另外，良序的概念還為定義超窮算術(shù)提供了基礎(chǔ)．8．康托爾定理和邊續(xù)統(tǒng)假設(shè)n維空間的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)相比，并不是更大的無(wú)窮．那么，是否能從已知的無(wú)窮集合出發(fā)，根據(jù)正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算，構(gòu)成更大的無(wú)窮集呢？康托爾在1891年的論文“集合論的一個(gè)根本問(wèn)題”(bereineelementareFragederMannigfaltigkeitslehre)里作了肯定的回答．他用對(duì)角線方法證明1899年，康托爾在給戴得金的信中說(shuō)，1891年論文里的結(jié)果可以表示成：2a＞a．這里a為某一集合的基數(shù)，不管這個(gè)集合是什么，這個(gè)命題在康托爾的理論中都具有重要意義．它還被敘述為：一集合的冪集，其基數(shù)比原集合的基數(shù)大．因此，給定一集合，我們可以通過(guò)其冪集來(lái)形成一更大的集合；給定一基數(shù)，我們可以得到一更大的基數(shù)．所以沒(méi)有最大的集合，也沒(méi)有最大的基數(shù)．給定集合S，用求冪集的方法，可得下面一系列一個(gè)比一個(gè)大的集合：S，P(S)，PP(S)，…．如果S的基數(shù)為a，其相應(yīng)的一個(gè)比一個(gè)大的基數(shù)為：a，2a，22a，…．以上是用冪集來(lái)構(gòu)成更大集合和更大基數(shù)的辦法．至此，我們有兩個(gè)系列的無(wú)窮基數(shù)．第一系列：012，…，(5)第二系列：，20，220，…．(6)第二系列分別表示集合ω，P(ω)，PP(ω)，…的基數(shù)．在康托爾之前，不同的無(wú)窮集的大小沒(méi)有明確的區(qū)分；它們都是無(wú)窮的，因而所有的無(wú)窮集都很大．可是，從康托爾的工作之后，這已變成一個(gè)具有明確意義的問(wèn)題．1878年，康托爾猜想20=1．(7)現(xiàn)在人們稱康托爾的這個(gè)猜想為連續(xù)統(tǒng)假設(shè)．連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的英文為continuumhypothesis．因此，(7)常縮寫(xiě)成CH．從那時(shí)起，康托爾試圖作出這樣的一個(gè)證明而未能成功．1883年他又宣稱，他希望不久用一個(gè)精確的證明來(lái)正確地回答這個(gè)問(wèn)題．一年后，在他的主要著作《關(guān)于無(wú)窮線性點(diǎn)集(5)》的結(jié)尾，他再一次允諾在稍后的續(xù)篇中給出這個(gè)證明．但是，直到他去世，也沒(méi)有給出這個(gè)證明．基于各種原因，連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題是重要的，并且具有挑戰(zhàn)性．1900年夏季在巴黎舉行的第二次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，D．希爾伯特(Hilbert)做了題為“數(shù)學(xué)問(wèn)題”(Mathematischeproblem)的著名演說(shuō)，提出了23個(gè)未解決的難題，其中第一個(gè)問(wèn)題就是“證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”．這個(gè)問(wèn)題在20世紀(jì)引起了全世界數(shù)學(xué)家的興趣，從而激發(fā)了很多有趣的工作．現(xiàn)在，公理集合論中的兩個(gè)最有趣而富有成果的方法，即1940年K．哥德?tīng)?Gdel)使用的可構(gòu)成性方法和1963年P(guān)．J．科恩(Cohen)使用的力迫法，都部分地回答了這個(gè)問(wèn)題．9．全序集的理論《越窮數(shù)理論基礎(chǔ)》是康托爾的最后一部重要的數(shù)學(xué)著作．這本書(shū)初稿的第Ⅰ、第Ⅱ部分于1895年5月和1897年5月分別發(fā)表在《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》(ActaMathematica)上，主要內(nèi)容隨即譯成各種文字．1895年首先由F．格貝迪(Gerbaldi)將第Ⅰ部分譯成意大利文，1899年由馬洛特(Marotte)給出兩部分的法文譯文，而英文譯文直到1915年才由P．E．B．朱德因(Jourdain)作序出版．在Ⅰ中，康托爾又一次給出了集合的抽象定義．集合M是能夠明確區(qū)分的思維或感知的對(duì)象m(稱為M的元素)的總體．十年前，康托爾在點(diǎn)集的領(lǐng)域內(nèi)，給集合以特定的內(nèi)涵．他曾寫(xiě)道：“作為一個(gè)整體，集合指確定對(duì)象的這樣一種總體，其中的對(duì)象由某一法則聯(lián)結(jié)成一個(gè)整體．”這表明《超窮數(shù)的理論基礎(chǔ)》與《集合通論基礎(chǔ)》有很大不同．在Ⅰ中，康托爾又一次給出了基數(shù)的定義．但他仍采用1887年引進(jìn)的記號(hào)．他還通過(guò)集合又一次定義了基數(shù)的加法和乘法運(yùn)算．為了定義基數(shù)的方冪，康托爾首先定義了什么叫覆蓋．引進(jìn)基數(shù)的方冪以后，康托爾得出：20=C．這里的C為連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)．他還得到C·C=20·20=2=C．一般地，Cn=C，C0=C．這些公式表明，n維和一般0維的連續(xù)統(tǒng)，同一維連續(xù)統(tǒng)有相同的基數(shù)．這樣，似乎連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問(wèn)題的解又有希望前進(jìn)一步．這些公式還可以用來(lái)更直接、更清晰地證實(shí)超窮數(shù)的一些數(shù)論性質(zhì)，從而也就進(jìn)一步證明了超窮數(shù)在數(shù)學(xué)上的合理性．康托爾在Ⅰ中還討論了有窮基數(shù)．它可以通過(guò)兩種方式確定：或者通過(guò)相繼加1的歸納過(guò)程，或者與無(wú)窮集相反，將它作為不與自身真子集等價(jià)的集合的基數(shù)來(lái)確定．作為一個(gè)整體，全體有窮基數(shù)N對(duì)于康托爾定義超窮數(shù)是必不可少的．N中的元素可以彼此區(qū)分，且每個(gè)基數(shù)都大于它前面所有的數(shù)而小于后面的每個(gè)數(shù)，任何兩個(gè)相鄰基數(shù)N和N+1之間不存在另一個(gè)基數(shù)．但是令人疑惑的是在Ⅰ中，康托爾沒(méi)有明確給出有窮數(shù)的定義．在簡(jiǎn)單聲明了具有有窮基數(shù)的集合稱為有窮集合后，康托爾開(kāi)始定義超窮集合及超窮基數(shù)．第一個(gè)超窮基數(shù)定義為全體有窮基數(shù)的集合的基數(shù)．他還感到用熟悉的希臘字母或羅馬字母表示超窮基數(shù)不合適，應(yīng)當(dāng)選擇一套獨(dú)特的記號(hào)．在選擇記號(hào)方面，康托爾一向很講究．他選第一個(gè)希伯來(lái)字母0來(lái)表示第一個(gè)超窮基數(shù)，因?yàn)檫@個(gè)字母代表數(shù)1．此外它還代表一個(gè)新起點(diǎn)．康托爾確信超窮數(shù)理論標(biāo)志著數(shù)學(xué)的一個(gè)新起點(diǎn)．康托爾對(duì)超窮基數(shù)新的解釋是值得注意的，在此之前，他從未把超窮基數(shù)等同于數(shù)．相反，他總是避免超窮基數(shù)也是數(shù)的暗示，對(duì)于最小的超窮序數(shù)，康托爾已用ω表示，但對(duì)于最小的超窮基數(shù)當(dāng)時(shí)還沒(méi)有適當(dāng)?shù)姆?hào)．可見(jiàn)，序數(shù)的概念對(duì)康托爾集合論的早期發(fā)展較基數(shù)概念重要得多．正是序數(shù)的引進(jìn)，使得定義超窮基數(shù)成為可能．而且直到建立了超窮數(shù)類的序型，康托爾才精確定義大于最小超窮基數(shù)的所有超窮基數(shù)，并決定用表示序型ω的基數(shù)．最后決定用0表示第一個(gè)超窮基數(shù)時(shí)，已到了1895年．Ⅰ的最后五章，康托爾系統(tǒng)闡述了全序集的一般理論．一個(gè)集合稱為全序的，如果它的元素可按某種規(guī)則排序，使得它的接著又引進(jìn)序集M的序型概念：對(duì)每個(gè)全序集M，都相應(yīng)地存在一其順序的特性而得出的一個(gè)一般概念．康托爾進(jìn)一步指出，任給兩個(gè)全序集，如果具有相同的序型，它們總能以多種方式彼此映射；所有具有有窮和超窮序型的良序集，只允許有一種到相似集合的保序映射．這一結(jié)論提供了康托爾稱無(wú)窮良序集的序型為“超窮序數(shù)”，稱無(wú)窮集的基數(shù)為“超窮基數(shù)”的合理性．當(dāng)然這里有一個(gè)重要的區(qū)別，每個(gè)超窮基數(shù)并不與唯一的一個(gè)超窮序數(shù)相對(duì)應(yīng)．為了建立各種序型的聯(lián)系，康托爾模仿《集合通論基礎(chǔ)》中的方法引進(jìn)了它們的運(yùn)算，還特別指出，序型運(yùn)算不滿足交換律．最后，康托爾總結(jié)了基數(shù)運(yùn)算和序數(shù)運(yùn)算的聯(lián)系．特別有成立．于是，所有關(guān)于序數(shù)的算術(shù)法則同樣適用于基數(shù)．康托爾還證明了：如果一個(gè)全序集M滿足：(1)=0；(2)M中無(wú)最大、最小元；(3)M是處處稠密的；則M的序型等于η，康托爾在給出具有序型η的集合M的充要條件之后，想方設(shè)法地刻畫(huà)具有更高基數(shù)的全序集的序型，特別是連續(xù)統(tǒng)的序型．但沒(méi)有得出新結(jié)果．只是在Ⅰ的最后一章里，才對(duì)這一問(wèn)題作了分析，嚴(yán)格闡明了一般連續(xù)域的性質(zhì)．他對(duì)序型的一般研究得出了有關(guān)連續(xù)性的新見(jiàn)解，還引進(jìn)了基本序列極限元的概念．10．良序集的理論《超窮數(shù)理論基礎(chǔ)》Ⅱ，主要介紹無(wú)窮序數(shù)和無(wú)窮基數(shù)理論．無(wú)窮基數(shù)從0擴(kuò)展到第一個(gè)不可數(shù)的無(wú)窮1，闡述了良序集的特殊理論，定義了第二數(shù)類的基數(shù)，還研究了超窮算術(shù)．但連續(xù)統(tǒng)假設(shè)以及每個(gè)超窮基數(shù)是否都可比較等問(wèn)題，仍未得到徹底解決．在《集合通論基礎(chǔ)》中，康托爾已經(jīng)認(rèn)識(shí)到良序集對(duì)于超窮數(shù)理論的重要，因?yàn)樗鼈兊男蛐蜆?gòu)成了有窮和無(wú)窮序數(shù)．因此在Ⅱ中，他系統(tǒng)地闡述了良序集理論的基本知識(shí)．特別是與無(wú)窮集合相對(duì)應(yīng)的無(wú)窮序數(shù)和無(wú)窮基數(shù)的理論．在Ⅱ中，一個(gè)良序集是建立在全序集的基礎(chǔ)上的．同時(shí)，給出了序數(shù)的一個(gè)良序序列：1，2，3，…，ω，ω+1，…，2ω，…，nω，…，ω2，…，ωω，…ωωω，…．為了能夠給出一個(gè)較以前的文章中更好的基數(shù)定義，康托爾擴(kuò)充了算與Ⅰ中全序集序型的運(yùn)算相同．在Ⅱ的最后幾章里，康托爾更詳細(xì)地討論了第二數(shù)類的序數(shù)以及它們的運(yùn)算性質(zhì)．他還把超窮數(shù)理論建立在序型的基礎(chǔ)之上，這與他以前的處理方法不同．因?yàn)檫@里的生成原則，可以用來(lái)產(chǎn)生更高階的超窮序數(shù)類．為了將有窮指數(shù)的方冪擴(kuò)充到超窮方冪，還引進(jìn)了包括ωω這種超窮數(shù)的運(yùn)算．為此，康托爾建立了超窮歸納法，并通過(guò)超窮歸納法得到了超窮序數(shù)方冪的一些重要結(jié)果．11．關(guān)于實(shí)無(wú)窮由于康托爾的集合論是以無(wú)窮集為研究對(duì)象的，從而肯定了作為完成整體的實(shí)無(wú)窮．為此，他遭到了一些數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家的批評(píng)和攻擊．為解決一些理論問(wèn)題，也為了答復(fù)這些人的批評(píng)和攻擊，康托爾作了大量的工作．他的《關(guān)于無(wú)窮線性點(diǎn)集(5)》不單純是對(duì)于新的超窮集合論的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)闡述，也第一次公開(kāi)地為實(shí)無(wú)窮這一受到大多數(shù)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和神學(xué)家長(zhǎng)期反對(duì)的概念提供了辯護(hù)．它的目的之一就是論證這種對(duì)實(shí)無(wú)窮的反對(duì)是毫無(wú)根據(jù)的．他在給瑞典數(shù)學(xué)家、歷史學(xué)家G．埃斯特姆(Enestirm)的信中寫(xiě)道：“正像每個(gè)特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣的結(jié)論：所有反對(duì)實(shí)無(wú)窮數(shù)的可能性的所謂證明都是站不住腳的．他們從一開(kāi)始就期望無(wú)窮數(shù)具有有窮數(shù)的所有特性，或者甚至把有窮數(shù)的性質(zhì)強(qiáng)加到無(wú)窮數(shù)上．與此相反，如果我們能夠以任何方式理解無(wú)窮數(shù)的話，倒是由于它們(就其與有窮數(shù)的對(duì)立而言)構(gòu)成了全新的一個(gè)數(shù)類，它們的性質(zhì)完全依賴于事物本身．這是研究的對(duì)象，而不屬于我們的主觀臆想和偏見(jiàn)．”康托爾有關(guān)實(shí)無(wú)窮的觀點(diǎn)包括以下三個(gè)方面．(1)數(shù)學(xué)理論必須肯定實(shí)無(wú)窮康托爾指出：在數(shù)學(xué)中要完全排斥實(shí)無(wú)窮的概念是不可能的，實(shí)無(wú)窮必須肯定．因?yàn)楹芏嘧罨镜臄?shù)學(xué)概念，如一切正整數(shù)，圓周上的一切點(diǎn)等等，事實(shí)上都是實(shí)無(wú)窮性的概念；關(guān)于極限理論，康托爾指出：它是建立在實(shí)數(shù)理論之上的，而實(shí)數(shù)理論的建立(無(wú)理數(shù)的引進(jìn))又必須以這樣或那樣的實(shí)無(wú)窮的概念為基礎(chǔ)，例如，戴德金分割和康托爾的基本序列都是一種實(shí)無(wú)窮的概念．極限理論事實(shí)上也是建立在實(shí)無(wú)窮的概念之上；因此，承認(rèn)作為變量的潛無(wú)窮，就必須承認(rèn)實(shí)無(wú)窮．變量如能取無(wú)窮多個(gè)值，就必須有一個(gè)預(yù)先給定的、不能再變的取值“域”，而這個(gè)域就是一個(gè)實(shí)無(wú)窮．康托爾又指出，數(shù)學(xué)證明中應(yīng)用實(shí)無(wú)窮(無(wú)窮集合)由來(lái)已久，并且也是不可避免的．后來(lái)的數(shù)學(xué)家們，如J．L．拉格朗日(Lagrange)、A．M．勒讓德(Legendre)、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、柯西、魏爾斯特拉斯、B．波爾察諾(Bolzano)等人在證明中都使用過(guò)．康托爾還舉出一個(gè)復(fù)雜證明的例子([8]，pp．210—212)：假設(shè)把一無(wú)窮點(diǎn)集分為有窮個(gè)子集，其中必有一個(gè)為無(wú)窮集．出于對(duì)數(shù)學(xué)研究的實(shí)際需要，康托爾對(duì)無(wú)窮集合進(jìn)行了數(shù)量研究，實(shí)無(wú)窮的概念就成了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象．康托爾在他1883年的一篇論文里說(shuō)，把無(wú)窮大不只是作為無(wú)窮增長(zhǎng)的量，而是以完成的無(wú)窮的形式，數(shù)學(xué)地通過(guò)數(shù)量來(lái)確定下來(lái)，這種思想“我是經(jīng)過(guò)多年科學(xué)上的努力，幾乎違背我的意愿……，邏輯地被迫承認(rèn)的”．(2)不能把有窮所具有的性質(zhì)強(qiáng)加于無(wú)窮無(wú)窮有其固有的本質(zhì)．盡管康托爾對(duì)無(wú)窮集合的研究出于數(shù)學(xué)研究的實(shí)際需要，但是他仍然面臨著怎樣對(duì)這種研究的合理性作出說(shuō)明的問(wèn)題．尤其重要的是，他必須對(duì)歷史上提出的各種關(guān)于“實(shí)無(wú)窮不能成為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象”的“論證”作出合理的解釋．1874年，康托爾在這方面邁出了關(guān)鍵性的一步．他提出了“一一對(duì)應(yīng)”原則：如果在兩個(gè)集合的元素之間能建立一一對(duì)應(yīng)，就說(shuō)這兩個(gè)集合具有相同的基數(shù)，即在數(shù)量上被認(rèn)為相等．這個(gè)原則構(gòu)成了對(duì)傳統(tǒng)的“整體大于部分”觀念的直接否定．然而，在康托爾以前，由于這一觀念的束縛，使很多數(shù)學(xué)家認(rèn)為實(shí)無(wú)窮性的概念不能成為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象；現(xiàn)在，康托爾則大膽地沖破了這一思想桎梏，并由此發(fā)展出一套關(guān)于無(wú)窮集合的數(shù)學(xué)理論——超窮數(shù)理論．對(duì)此，康托爾解釋說(shuō)：“兩個(gè)集合，其中的一個(gè)是另一個(gè)的部分，而又具有相同的基數(shù)，這是經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的，而且也沒(méi)有什么矛盾．我認(rèn)為，正是由于對(duì)這一事實(shí)缺乏認(rèn)識(shí)，才形成了關(guān)于超窮數(shù)引進(jìn)的主要障礙．”([17]，p．75)為了更清楚地說(shuō)明自己的研究工作的合理性，康托爾還曾對(duì)各種相反意見(jiàn)的錯(cuò)誤根源進(jìn)行分析，認(rèn)為一切關(guān)于“實(shí)無(wú)窮不可能”的所謂證明都是錯(cuò)誤的．(3)有窮的認(rèn)識(shí)能力可以認(rèn)識(shí)無(wú)窮康托爾在《關(guān)于無(wú)窮線性點(diǎn)集(5)》里還討論了J．洛克(Locke)、B．斯賓諾莎(Spin-oza)和G．W．萊布尼茨(Leibniz)的觀點(diǎn)．他認(rèn)為，這些人的思想雖有很多不同之處，但在無(wú)窮問(wèn)題上，一致認(rèn)為：“有窮性是數(shù)的概念的一部分；另一方面，真正的無(wú)窮，那就是上帝，是不允許有任何規(guī)定的．”反對(duì)實(shí)無(wú)窮的人還有一個(gè)理由是，人類認(rèn)識(shí)能力是有限的，所以形成的數(shù)量只限于有窮．康托爾認(rèn)為，人的認(rèn)識(shí)能力雖然有限，卻可以認(rèn)識(shí)無(wú)窮．無(wú)窮和有窮一樣，是可以“通過(guò)確定的、明確的、彼此不同的數(shù)量”來(lái)表達(dá)和理解的．在一定意義下，也可以說(shuō)人們有“無(wú)限的才能”，一步一步地去形成更大的數(shù)類或集合，去形成一個(gè)比一個(gè)更強(qiáng)的基數(shù)．康托爾還強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)的無(wú)窮與哲學(xué)的及神學(xué)的無(wú)窮不同．超窮數(shù)可以增添，這是數(shù)學(xué)的無(wú)窮，與宗教和上帝無(wú)關(guān)．哲學(xué)上的絕對(duì)與神學(xué)上的上帝都不能被規(guī)定，“一切規(guī)定都是否定”，因之也不能增添．他又說(shuō)，人們可以有堅(jiān)定的信念必然能夠認(rèn)識(shí)那“絕對(duì)的存在”．([10]，p．280)12．柏拉圖主義的觀點(diǎn)為了證明超窮數(shù)理論的“合法性”，康托爾也從事過(guò)關(guān)于超窮數(shù)的客觀實(shí)在性的分析．康托爾指出：跟有窮數(shù)一樣，超窮數(shù)也是從真實(shí)的集合中抽象出來(lái)的——這突出地表現(xiàn)在康托爾所給出的關(guān)于集合的基數(shù)和序數(shù)的定義上，集合的基數(shù)是兩次抽象的結(jié)果：一次是從對(duì)象中抽去它們所具有的質(zhì)的特性，另一次則是抽去在對(duì)象之間所存在的次序關(guān)系；(良序)集合的序數(shù)則是一次抽象的結(jié)果，即是從對(duì)象中抽去了它們所具有的質(zhì)的特性．因此，和有窮數(shù)一樣，超窮數(shù)也具有同樣的客觀實(shí)在性，它們的存在在物理世界的時(shí)空中，以及具體事物的無(wú)限性中有著自然的反映．?dāng)?shù)學(xué)的本質(zhì)不在于它與經(jīng)驗(yàn)世界的聯(lián)系，而在于數(shù)學(xué)思維的自由性．為了說(shuō)明數(shù)學(xué)思想的自由性，康托爾引進(jìn)了“兩種真實(shí)性”的概念并對(duì)它們之間的關(guān)系進(jìn)行了分析，首先，他指出數(shù)學(xué)對(duì)象具有兩種真實(shí)性：“內(nèi)在真實(shí)性”和“外部真實(shí)性”．其中，“內(nèi)在真實(shí)性”主要是指數(shù)學(xué)對(duì)象在邏輯上的相容性，“外部真實(shí)性”是指數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的客觀實(shí)在性，即“應(yīng)把數(shù)看成是對(duì)于外在于我們智力世界的事物和關(guān)系的一種表述和描述”．其次，康托爾認(rèn)為這兩種真實(shí)性事實(shí)上是一致的：一個(gè)概念如果具有內(nèi)在真實(shí)性就必然具有外部真實(shí)性．因此，對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，就只需考慮數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在真實(shí)性、即邏輯上的相容性，而無(wú)須考慮它們的客觀內(nèi)容．在康托爾看來(lái)，在數(shù)學(xué)對(duì)象的“創(chuàng)造”中，數(shù)學(xué)家們就具有了充分的“自由性”．康托爾寫(xiě)道：“數(shù)學(xué)在它自身的發(fā)展中完全是自由的，對(duì)它的概念的限制只在于：必須是無(wú)矛眉的并且和先前由確切定義引進(jìn)的概念相協(xié)調(diào)．……數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于它的自由性．”但是，究竟應(yīng)當(dāng)怎樣來(lái)認(rèn)識(shí)超窮數(shù)和無(wú)窮集合的客觀實(shí)在性呢？為了解決這一問(wèn)題，康托爾最后倒向了神學(xué)．他在1895年致法國(guó)數(shù)學(xué)家C．埃爾米特(Hermite)的信中，明確表達(dá)了這種思想．他說(shuō)，數(shù)學(xué)對(duì)象的實(shí)在性并不在于真實(shí)世界，而是存在于上帝的無(wú)窮的智慧之中；數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在真實(shí)性、即邏輯上的相容性保證了這種對(duì)象的“可能性”，而上帝的絕對(duì)無(wú)限的本性則保證了這種“可能的對(duì)象”在上帝思維中的永恒存在．此外，康托爾還談到，他的集合論就是直接淵源于神的啟示的．其實(shí)，早在1869年，即康托爾剛剛開(kāi)始學(xué)術(shù)生涯的時(shí)候，他就已經(jīng)建立了這種神學(xué)的觀念．正如J．W．道本(Dauben)所言：“這是一種強(qiáng)烈的柏拉圖主義思想，而康托爾則不斷由此而取得支持．”也就是說(shuō)，正是柏拉圖主義的哲學(xué)立場(chǎng)為康托爾提供了從事集合論、特別是超窮數(shù)理論的研究的信心和勇氣．1886年，德國(guó)的哲學(xué)家和神學(xué)家C．哥德伯累特(Gutberlet)發(fā)表了一篇文章．其中援引了康托爾的集合論來(lái)為他自己關(guān)于無(wú)窮的哲學(xué)和神學(xué)性質(zhì)的觀點(diǎn)進(jìn)行辯護(hù)．他主要關(guān)注的是數(shù)學(xué)的無(wú)窮對(duì)于上帝獨(dú)有的絕對(duì)無(wú)窮本性的挑戰(zhàn)．他和康托爾還就這個(gè)問(wèn)題通了幾次信．哥德伯累特的許多思想，激起了康托爾去研究超窮數(shù)