第5章離散時(shí)間系統(tǒng)的相位結(jié)構(gòu)與逆系統(tǒng)

第5章離散時(shí)間系統(tǒng)的相位結(jié)構(gòu)與逆系統(tǒng)第一頁，共99頁。5.1離散時(shí)間系統(tǒng)的相頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)如果：我們稱其為線性相位若也稱為線性相位第二頁，共99頁。對(duì)輸入，有假定：所以輸出是輸入的簡(jiǎn)單移位，移位的大小正比于因此不會(huì)發(fā)生失真。p.97時(shí)移性第三頁，共99頁。例：令則沒有發(fā)生相位失真具有線性相位第四頁，共99頁。例：令若則發(fā)生了相位失真第五頁，共99頁。第六頁，共99頁。如果系統(tǒng)的相頻響應(yīng)不是線性的，而輸入信號(hào)由多個(gè)正弦信號(hào)組成，那么系統(tǒng)的輸出將不再是輸入信號(hào)作線性移位后的組合，因此，輸出將發(fā)生相位失真。定義為系統(tǒng)的群延遲(GroupDelay,GD)顯然:若系統(tǒng)具有線性相位，則其群延遲為常數(shù)第七頁，共99頁。若則即相位延遲反映了載波信號(hào)的延遲，而群延遲反映了輸出包絡(luò)的延遲。思考：如何實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的零相位濾波？若 要保證系統(tǒng)是因果的，又如何實(shí)現(xiàn)？第八頁，共99頁。5.2FIR系統(tǒng)的線性相位在絕大部分信號(hào)處理的場(chǎng)合，人們都期盼系統(tǒng)具有線性相位，但是，如何實(shí)現(xiàn)線性相位？對(duì)FIR系統(tǒng)，如果保證：則該系統(tǒng)具有線性相位。第九頁，共99頁。上述對(duì)稱有四種情況：第一類FIR系統(tǒng)偶對(duì)稱奇對(duì)稱第二類FIR系統(tǒng)第十頁，共99頁。1.為奇數(shù)令并利用的對(duì)稱性，有第一類FIR系統(tǒng)第十一頁，共99頁。令令實(shí)數(shù)第十二頁，共99頁。最后有相位增益所以，只要保證濾波器的系數(shù)偶對(duì)稱，該濾波器必然具有線性相位。第十三頁，共99頁。第十四頁，共99頁。2.為偶數(shù)令則第十五頁，共99頁。第十六頁，共99頁。第二類FIR系統(tǒng)3.為奇數(shù)第十七頁，共99頁。第十八頁，共99頁。4.為偶數(shù)第十九頁，共99頁。第二十頁，共99頁。的線性組合，在時(shí)，易取得最大值，因此這一類濾波器易體現(xiàn)低通特性，且是偶函數(shù)。通過頻率移位，又可體現(xiàn)高通、帶通、帶阻特性。所以，經(jīng)典的低通、高通、帶通和帶阻濾波器的都是偶對(duì)稱的。說明：第一類FIR系統(tǒng)是第二十一頁，共99頁。的線性組合，在時(shí)，的值為零，且是奇函數(shù)。這一類濾波器都是作為特殊形式的濾波器，如Hilbert變換器、差分器等。第二類FIR系統(tǒng)是最好取為奇數(shù)，以便以中心點(diǎn)為對(duì)稱。思考：四類濾波器的對(duì)稱點(diǎn)在何處請(qǐng)掌握四種情況下線性相位表達(dá)式的推導(dǎo)方法第二十二頁，共99頁。所以，的零點(diǎn)也是的零點(diǎn),反之亦然5.3具有線性相位的FIR系統(tǒng)的零點(diǎn)分布令則第二十三頁，共99頁。的零點(diǎn):零點(diǎn)分布可能有四種情況(單位圓上及其內(nèi)）：不在實(shí)軸也不在圓上，應(yīng)是一對(duì)共軛零點(diǎn)，模<1;不在實(shí)軸，但在圓上，也是一對(duì)共軛零點(diǎn)；模＝1；在實(shí)軸但不在圓上，無共軛，角度＝0，，模<1;在實(shí)軸，且在圓上，無共軛，角度＝0，，模＝1;第二十四頁，共99頁。

四個(gè)零點(diǎn)同時(shí)存在,構(gòu)成四階系統(tǒng).在單位圓內(nèi)把該式展開，其系數(shù)也是對(duì)稱的，是具有線性相位的子系統(tǒng)。（不在實(shí)軸也不在圓上，應(yīng)是一對(duì)共軛零點(diǎn)，模<1）有鏡象零點(diǎn)第二十五頁，共99頁。無共軛零點(diǎn),有鏡象零點(diǎn)無鏡象對(duì)稱零點(diǎn),有共軛零點(diǎn).(在實(shí)軸但不在圓上，無共軛，角度＝0，，模<1)(不在實(shí)軸，但在圓上，是一對(duì)共軛零點(diǎn)；模＝1)第二十六頁，共99頁。一個(gè)具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為上述四類FIR子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)，即：很容易證明，每一個(gè)子系統(tǒng)的系數(shù)都是對(duì)稱的，因此它們都具有線性相位。無鏡象零點(diǎn),也無共軛零點(diǎn).(在實(shí)軸，且在圓上，無共軛，角度＝0，，模＝1)第二十七頁，共99頁。5.4全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)如果一個(gè)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)對(duì)所有的頻率都等于1(或一個(gè)常數(shù)),即則稱系統(tǒng)為全通系統(tǒng)。最簡(jiǎn)單的全通系統(tǒng)，純延遲全通系統(tǒng)第二十八頁，共99頁。一階全通系統(tǒng)：鏡像對(duì)稱第二十九頁，共99頁。二階全通系統(tǒng)：一對(duì)位于單位圓內(nèi)的共軛極點(diǎn)，一對(duì)共軛零點(diǎn)和極點(diǎn)以單位圓為鏡像對(duì)稱(共軛并求倒數(shù)）高階全通系統(tǒng)：第三十頁，共99頁。高階全通系統(tǒng)的另一種表示形式即對(duì)該全通系統(tǒng)，請(qǐng)自己證明：式中系數(shù)a1,a2,……aN均為實(shí)數(shù)第三十一頁，共99頁。1.

是IIR系統(tǒng)(不考慮純延遲形式）；2.極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)相等；3.極點(diǎn)和零點(diǎn)是以單位圓鏡像對(duì)稱的；4.極點(diǎn)都在單位圓內(nèi),零點(diǎn)都在單位圓外；5.每一對(duì)極零點(diǎn)都是鏡像對(duì)稱的，且零點(diǎn)在單位圓外，由零變到時(shí)，相頻響應(yīng)是單調(diào)遞減的(全通系統(tǒng)的群延遲始終為正值)全通系統(tǒng)的特點(diǎn)：第三十二頁，共99頁。IIR系統(tǒng)的無限長(zhǎng)，無法對(duì)稱，即無法作到線性相位。在實(shí)際中，可以用一個(gè)全通系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)相級(jí)聯(lián)，在不改變幅頻響應(yīng)的情況下對(duì)相頻響應(yīng)做矯正，使其接近線性相位。全通系統(tǒng)的應(yīng)用：全通系統(tǒng)還廣泛應(yīng)用在系統(tǒng)分析及一些特殊濾波器的設(shè)計(jì)方面第三十三頁，共99頁。一階全通系統(tǒng)極－零圖幅頻相頻抽樣響應(yīng)第三十四頁，共99頁。三階全通系統(tǒng)相頻響應(yīng)極－零圖幅頻第三十五頁，共99頁。一個(gè)離散系統(tǒng)，其極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)，但對(duì)零點(diǎn)沒有限制，如果：所有的零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)：最小相位系統(tǒng)；2.所有的零點(diǎn)都在單位圓外：最大相位系統(tǒng)；3.單位圓內(nèi)、外都有零點(diǎn)：混合相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)第三十六頁，共99頁。在具有相同幅頻響應(yīng)的因果的穩(wěn)定的濾波器集合中,最小相位濾波器具有最小的相位偏移最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)：例：作為練習(xí)，請(qǐng)證明如下兩個(gè)系統(tǒng)具有相同的幅頻響應(yīng)：那一個(gè)是最小相位系統(tǒng)第三十七頁，共99頁。幅頻相頻單位抽樣響應(yīng)更集中在n=0附近第三十八頁，共99頁。在所有具有相同幅頻響應(yīng)的離散系統(tǒng)中,最小相位系統(tǒng)的具有最小的延遲；令：累積能量有：所以，最小相位系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)又稱最小延遲序列。思考：具有線性相位的FIR系統(tǒng)是否是最小相位系統(tǒng)？第三十九頁，共99頁。例.三個(gè)系統(tǒng)它們具有相同的幅頻響應(yīng)，試判斷，那一個(gè)是最小相位系統(tǒng)？最大相位系統(tǒng)？混合相位系統(tǒng)？請(qǐng)注意：為保證系統(tǒng)具有相同的幅頻響應(yīng)（相同的定標(biāo)），的表達(dá)式。第四十頁，共99頁。第四十一頁，共99頁。3.對(duì)于穩(wěn)定因果系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)其是最小相位系統(tǒng)時(shí),該系統(tǒng)才有逆系統(tǒng)（InverseSystem)令記的逆系統(tǒng)Deconvolution(反卷積）Systemidentification(系統(tǒng)辨識(shí)）第四十二頁，共99頁。例如第四十三頁，共99頁。4.任一非最小相位的因果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)均可由一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng)級(jí)聯(lián)而成,即：由于最小相位系統(tǒng)有著以上特殊的性質(zhì)，因此有著廣泛的應(yīng)用，特別是在信號(hào)的建模與系統(tǒng)辨識(shí)方面。要理解，具有相同幅頻響應(yīng)的系統(tǒng)，它們所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)可以是不相同的，區(qū)別就在于相位（或零點(diǎn)的位置）。那么，如何由一個(gè)最小相位系統(tǒng)得到具有相同幅頻響應(yīng)的最大相位、混合相位系統(tǒng)？第四十四頁，共99頁。設(shè)有一個(gè)零點(diǎn)在單位圓之外,即其余的極零點(diǎn)均在單位圓內(nèi),則可表示為,是最小相位的,又可表示為例題：第四十五頁，共99頁。第四十六頁，共99頁。5.5譜分解（Spectralfactorization)具有相同的幅頻特性第四十七頁，共99頁。顯然：幅頻特性一樣第四十八頁，共99頁。若顯然，具有線性相位或零相位零點(diǎn)以單位圓鏡像對(duì)稱將一個(gè)轉(zhuǎn)移函數(shù)的極－零點(diǎn)重新分配，得到兩個(gè)轉(zhuǎn)移函數(shù)，這一過程（或方法）就稱為“譜分解”。最常用的是將具有線性相位系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)作分解，并且往往是分解成兩個(gè)具有相同幅頻響應(yīng)的子系統(tǒng)。譜分解定義：第四十九頁，共99頁。={1.0000，4.0500，8.1000，14.9956，27.7248，43.2996，51.1831，43.2996，27.7248，14.9956，8.1000，4.0500，1.0000}例.令顯然，該系統(tǒng)具有線性相位，共有12個(gè)零點(diǎn)：第五十頁，共99頁。下圖是對(duì)作譜分解的結(jié)果，可以看出，分解后的兩個(gè)系統(tǒng)具有相同的幅頻響應(yīng)。譜分解的目的是想得到因果的、符合某種要求的系統(tǒng)，這在信號(hào)建模、特殊濾波器的設(shè)計(jì)中經(jīng)常要用到。分解的一般方法是：令一個(gè)系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)；則另一個(gè)系統(tǒng)必然是最大相位系統(tǒng)。這樣，兩個(gè)系統(tǒng)都有著相同的幅頻響應(yīng)。另外一種分解方法是得到兩個(gè)混合系統(tǒng)，目的是保證它們都具有線性相位。第五十一頁，共99頁。第五十二頁，共99頁。5.6FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)直接實(shí)現(xiàn):一、直接實(shí)現(xiàn)和級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)第五十三頁，共99頁。級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn):第五十四頁，共99頁。乘法量減少一半二、具有線性相位的FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)第五十五頁，共99頁。二、具有線性相位的FIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)第五十六頁，共99頁。第五十七頁，共99頁。第五十八頁，共99頁。乘法量減少一半所以:第五十九頁，共99頁。FIR系統(tǒng)該系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)N點(diǎn)平均器。IIR系統(tǒng)三、FIR系統(tǒng)的遞歸實(shí)現(xiàn)及梳狀濾波器(p.289)第六十頁，共99頁。該系統(tǒng)可由一FIR系統(tǒng)和一個(gè)一階IIR系統(tǒng)級(jí)聯(lián)而成，極－零點(diǎn)抵消后，仍是一FIR系統(tǒng)。令I(lǐng)IR實(shí)現(xiàn)第六十一頁，共99頁。第六十二頁，共99頁。梳狀濾波器N點(diǎn)平均器第六十三頁，共99頁。Sinc函數(shù)第六十四頁，共99頁。思路：用DFT系數(shù)表示系統(tǒng)函數(shù)四.頻率抽樣實(shí)現(xiàn)(p.202)第六十五頁，共99頁。令梳狀濾波器N個(gè)一階IIR系統(tǒng)則可按上述級(jí)聯(lián)方式得到系統(tǒng)的信號(hào)流圖：第六十六頁，共99頁。該結(jié)構(gòu)一方面反映了Z變換、DTFT、DFT之間的關(guān)系，另一方面，給出了FIR濾波器設(shè)計(jì)的一種有效方法。第六十七頁，共99頁。第六十八頁，共99頁。第六十九頁，共99頁。第七十頁，共99頁。5.7離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)Lattice結(jié)構(gòu)在基于模型的功率譜估計(jì)、語音信號(hào)處理、自適應(yīng)濾波方面有著重要的應(yīng)用。對(duì)下式所示的FIR系統(tǒng)，其Lattice結(jié)構(gòu)如下圖：第七十一頁，共99頁。反射系數(shù)Lattice結(jié)構(gòu)的基本單元1.全零點(diǎn)系統(tǒng)(FIR)的Lattice結(jié)構(gòu)第七十二頁，共99頁。如何實(shí)現(xiàn)濾波器系數(shù)和的相互轉(zhuǎn)換定義：Lattice結(jié)構(gòu)中的基本關(guān)系第七十三頁，共99頁。：是Lattice結(jié)構(gòu)中第m個(gè)上、下結(jié)點(diǎn)相對(duì)輸入端的轉(zhuǎn)移函數(shù)。得到由低階倒高階，或由高到低的遞推關(guān)系。第七十四頁，共99頁。由高階至低階或由低階至高階轉(zhuǎn)移函數(shù)的遞推關(guān)系將下式關(guān)于的定義代入分別上述兩式第七十五頁，共99頁。利用待定系數(shù)法得到時(shí)域遞推關(guān)系：低到高階高到低階MATLAB中有相應(yīng)的m文件。第七十六頁，共99頁。例：第七十七頁，共99頁?？醋魇荈IR系統(tǒng)的逆形式。2.全極點(diǎn)系統(tǒng)(IIR)的Lattice結(jié)構(gòu)第七十八頁，共99頁?；締卧嫘问降谄呤彭?，共99頁。的求解方式同F(xiàn)IR系統(tǒng)Lattice結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法,只是將多項(xiàng)式的系數(shù)換成.

系數(shù)及注意：在遞推求解的過程中，反射系數(shù)有關(guān)反射系數(shù)的更多討論見第12章信號(hào)建模。第八十頁，共99頁。3.極－零系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)第八十一頁，共99頁。上半部對(duì)應(yīng)全極系統(tǒng)下半部對(duì)應(yīng)全零系統(tǒng)兩組Lattice系數(shù)求出同全極系統(tǒng)；遞推求解第八十二頁，共99頁。5.8離散系統(tǒng)的狀態(tài)變量描述1.LSI系統(tǒng)的狀態(tài)變量與狀態(tài)方程差分方程：第八十三頁，共99頁。轉(zhuǎn)移函數(shù)、差分方程、中間變量的關(guān)系第八十四頁，共99頁。狀態(tài)變量描述法的特點(diǎn):“狀態(tài)”指系統(tǒng)內(nèi)一組變量,它包含了系統(tǒng)全部過去的信息,由這一組變量和現(xiàn)在與將來的輸入，可求出現(xiàn)系統(tǒng)現(xiàn)在和將來的全部輸出；2.可用于分析多輸入、多輸出系統(tǒng)；如何選擇狀態(tài)變量？有著不同的方法。方法之一是選擇作為系統(tǒng)的狀態(tài)。第八十五頁，共99頁。定義一組新的變量相互關(guān)系狀態(tài)方程第八十六頁，共99頁。輸出方程第八十七頁，共99頁。上述內(nèi)容討論了如何由差分方程轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程。當(dāng)然，反過來也可以。第八十八頁，共99頁。兩邊取Z變換：2.由狀態(tài)方程求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)第八十九頁，共99頁。狀態(tài)方程輸出方程3.由狀態(tài)方程求輸出及單位抽樣響應(yīng)第九十頁，共99頁。反映系統(tǒng)輸入序列在n<n0的整個(gè)歷史過程系統(tǒng)在n>

n0后的輸入第九十一頁，共99頁。零輸入解零狀態(tài)解若系統(tǒng)矩陣A的所有特征值之模都小于1，第九十二頁，共99頁。whenn無窮大，An0抽樣響應(yīng)為：{第九十三頁，共99頁。例對(duì)系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)，即是系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，顯然，，該序列稱為Fibonacci序列。試?yán)脿顟B(tài)方程求。解：第九十四頁，共99頁。1．fiftfilt.m本文件實(shí)現(xiàn)零相位濾波。其調(diào)用格式是：y=filtfilt(B,A,x)。式中B是的分子多項(xiàng)式，A是分母多項(xiàng)式，x是待濾波信號(hào)，y是濾波后的信號(hào)。2．grpdelay.m求系統(tǒng)的群延遲。調(diào)用格式 [gdw]=grpdelay(B,A,N),或[gdF]=grpdelay(B,A,N,FS)式中B和A仍是的分子、分母多項(xiàng)式，gd是群延遲，w、F是頻率分點(diǎn)，二者的維數(shù)均為N；FS為抽樣頻率，單位為Hz。與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB文件第九十五頁，共99頁。3．tf2latc.m和latc2tf.m：實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)移函數(shù)和Lattice系數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換。tf2latc的調(diào)用格式是：(1)k=tf2latc(b),(2)k=tf2latc(1,a), (3)[k,c]=tf2lat