北師大版-必修一-第二章 函數(shù)-§2 對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)

函數(shù)概念【課程目標(biāo)】1．了解生活中的變量關(guān)系．2．理解函數(shù)的概念．3．會(huì)求出簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域．【知識(shí)梳理】1．生活中的變量關(guān)系（1）依賴關(guān)系：在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，如果其中一個(gè)變量的值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的值也會(huì)隨之發(fā)生變化，那么就稱這兩個(gè)變量具有依賴關(guān)系．如果變量x，y具有依賴關(guān)系，對(duì)于其中一個(gè)變量x的每一個(gè)值，另一個(gè)變量y都有________的值時(shí)，那么稱變量y是變量x的函數(shù)，即這兩個(gè)變量之間具有函數(shù)關(guān)系．（2）非依賴關(guān)系：在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，如果其中一個(gè)變量的值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的值不受任何影響，那么就稱這兩個(gè)變量具有非依賴關(guān)系．[名師點(diǎn)撥]函數(shù)關(guān)系是特殊的依賴關(guān)系，具有依賴關(guān)系的兩個(gè)變量有的是函數(shù)關(guān)系，有的不是函數(shù)關(guān)系．因此說(shuō)依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系是依賴關(guān)系．例如，積雪層對(duì)越冬作物具有防凍保暖作用，大雪可以防止土壤中的熱量向外散發(fā)，又可阻止外界冷空氣的侵入，具有增墑肥田作用．所以下雪與來(lái)年的豐收具有依賴關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系．【做一做1－1】張大爺種植了10畝小麥，每畝施肥x千克，小麥總產(chǎn)量為y千克，則（）．A．x，y之間有依賴關(guān)系B．x，y之間有函數(shù)關(guān)系C．y是x的函數(shù)D．x是y的函數(shù)【做一做1－2】某人騎車的速度是v千米/時(shí)，他騎t小時(shí)，走的路程s是多少？路程是時(shí)間的函數(shù)嗎？2．函數(shù)的概念給定兩個(gè)非空____________A和B，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中________數(shù)x，在集合B中都存在____________確定的數(shù)f（x）與之對(duì)應(yīng)，那么就把對(duì)應(yīng)關(guān)系f叫作定義在集合A上的函數(shù)，記作f：A→B，或y＝______________，x∈A.此時(shí)，x叫作自變量，集合A叫作函數(shù)的定義域，集合__________叫作函數(shù)的值域．習(xí)慣上我們稱y是x的函數(shù)．[名師點(diǎn)撥]（1）符號(hào)y＝f（x）表示變量y是變量x的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號(hào)，并不表示y等于f與x的乘積；符號(hào)f（x）與f（m）既有區(qū)別又有聯(lián)系，當(dāng)m是變量時(shí)，函數(shù)f（x）與函數(shù)f（m）是一樣的；當(dāng)m是常數(shù)時(shí)，f（m）表示自變量x＝m時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，是一個(gè)常量．（2）函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．有時(shí)給出的函數(shù)沒(méi)有明確說(shuō)明定義域，這時(shí)，它的定義域就是自變量的允許取值范圍，此時(shí)的定義域又稱為此函數(shù)的“自然定義域”；如果函數(shù)涉及實(shí)際問(wèn)題，它的定義域還需使實(shí)際問(wèn)題有意義，此時(shí)的定義域又稱為此函數(shù)的“臨時(shí)定義域”．【做一做2】下列式子中不能表示函數(shù)y＝f（x）的是（）．A．x＝y(tǒng)2＋1B．y＝2x2＋1C．x－2y＝6D．x＝eq\r(y)3．區(qū)間與無(wú)窮的概念（1）區(qū)間設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a＜b，規(guī)定如下表：定義名稱符號(hào)幾何表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間______{x|a＜x＜b}開(kāi)區(qū)間______{x|a≤x＜b}左閉右開(kāi)區(qū)間______{x|a＜x≤b}左開(kāi)右閉區(qū)間______這里實(shí)數(shù)a，b都叫作相應(yīng)區(qū)間的________________．[知識(shí)拓展]并不是所有的數(shù)集都能用區(qū)間表示．例如：數(shù)集M＝{1,2,3,4}就不能用區(qū)間表示．由此可見(jiàn)，區(qū)間仍是集合，是一類特殊數(shù)集的另一種符號(hào)語(yǔ)言．（2）無(wú)窮的概念及無(wú)窮區(qū)間定義R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符號(hào)（－∞，＋∞）________________________________[名師點(diǎn)撥]無(wú)窮大“∞”是一個(gè)符號(hào)，不是一個(gè)具體的數(shù)．因此不能將[1，＋∞）寫成[1，＋∞]．【做一做3】將下列集合用區(qū)間表示出來(lái)，并在數(shù)軸上表示區(qū)間．（1）{x|x≥1}；（2）{x|x＜1或x≥2}；（3）{x|2≤x≤8且x≠5}．答案：1．（1）唯一確定【做一做1－1】A【做一做1－2】解：t小時(shí)走的路程是s＝vt.由于時(shí)間t每取一個(gè)值，路程s有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，所以路程是時(shí)間的函數(shù)．2．?dāng)?shù)集任何一個(gè)唯一f（x）{f（x）|x∈A}【做一做2】AA選項(xiàng)中，給定一個(gè)x（比如x＝5），有兩個(gè)y（y＝±2）與它對(duì)應(yīng)，所以y不是x的函數(shù)．同理可驗(yàn)證其他選項(xiàng)中y都是x的函數(shù)．3．（1）[a，b]（a，b）[a，b）（a，b]端點(diǎn)（2）[a，＋∞）（a，＋∞）（－∞，a]（－∞，a）【做一做3】解：（1）[1，＋∞）；（2）（－∞，1）∪[2，＋∞）；（3）[2,5）∪（5,8]．?dāng)?shù)軸表示分別如圖（1）（2）（3）．【重點(diǎn)難點(diǎn)】如何理解函數(shù)符號(hào)f（x）的意義？剖析：（1）符號(hào)“y＝f（x）”中的“f”表示對(duì)應(yīng)法則，在不同的具體函數(shù)中，“f”的含義不一樣，可以把函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則“f”形象地看作一個(gè)“暗箱”．例如y＝f（x）＝x2，可以將其看作輸入x，輸出x2，于是“暗箱”相當(dāng)于一個(gè)“平方機(jī)”的作用（如圖所示），則顯然應(yīng)該有f（a）＝a2，f（m＋1）＝（m＋1）2，f（x＋1）＝（x＋1）2.（2）符號(hào)y＝f（x）是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為x是自變量，它是法則所施加的對(duì)象；f是對(duì)應(yīng)法則，它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式，可以是圖像、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù)，當(dāng)x允許取某一具體值時(shí)，相應(yīng)的y值為與該自變量值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．y＝f（x）僅僅是函數(shù)符號(hào)，不是表示“y等于f與x的乘積”．在研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)f（x）外，還常用g（x），F(xiàn)（x），G（x）等來(lái)表示函數(shù)．（3）f（x）與f（a）的區(qū)別與聯(lián)系：f（a）表示當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f（x）的值，是一個(gè)常量，而f（x）是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個(gè)變量，f（a）是f（x）的一個(gè)特殊值．如一次函數(shù)f（x）＝3x＋4，當(dāng)x＝8時(shí)，f（8）＝3×8＋4＝28是一個(gè)常數(shù)．[歸納總結(jié)]y＝f（x）是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，它也未必就是一個(gè)解析式，y＝f（a）表示自變量x＝a時(shí)的函數(shù)值，它是一個(gè)常數(shù)；y＝f（x）是函數(shù)，通常是一個(gè)依賴于x變化而變化的變量．函數(shù)還可以用其他一些符號(hào)來(lái)表示，例如：F（x），G（x），h（x），…，也就是說(shuō)，不管用哪一個(gè)字母表示，它總是表達(dá)同樣一個(gè)含義：y是x的函數(shù)．【典例領(lǐng)悟】題型一函數(shù)的概念例1判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)：（1）f（x）＝eq\f(|x|,x)與g（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x＜0；))（2）f（x）＝eq\r(x)eq\r(x＋1)與g（x）＝eq\r(xx＋1)；（3）f（x）＝x2－2x－1與g（t）＝t2－2t－1；（4）f（x）＝1與g（x）＝x0（x≠0）．分析：判斷函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否一致．反思：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，只需判斷這兩個(gè)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同．（1）定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，則兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)；（2）定義域不同，則兩個(gè)函數(shù)不表示同一函數(shù)；（3）對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，則兩個(gè)函數(shù)不表示同一函數(shù)；（4）即使定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù)，也不一定是同一函數(shù)，例如y＝x和y＝2x－1的定義域和值域都是R，但不是同一函數(shù)；（5）兩個(gè)函數(shù)是否相同，與自變量是什么字母無(wú)關(guān)．題型二求函數(shù)的定義域例2求下列函數(shù)的定義域：（1）y＝2eq\r(x)－eq\r(1－7x)；（2）y＝eq\f(x＋10,\r(|x|－x)).分析：求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍，可考慮列不等式或不等式組．反思：1.如果f（x）是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.2．如果f（x）是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合．3．如果f（x）是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合．4．如果f（x）是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合（即求各部分定義域的交集）．5．對(duì)于由實(shí)際背景確定的函數(shù)，其定義域還要受實(shí)際問(wèn)題的制約．題型三求函數(shù)值例3已知f（x）＝eq\f(1,1＋x)（x∈R，且x≠－1），g（x）＝x2＋2（x∈R）．（1）求f（2），g（2）的值；（2）求f（g（2））的值．分析：解決求值問(wèn)題，先分清對(duì)應(yīng)法則，再代入求值．反思：（1）求函數(shù)值問(wèn)題，首先確定出函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則f的具體含義，再代入求值．（2）求類似f（g（2））的值，要注意f，g作用的對(duì)象，按“由內(nèi)向外”的順序求值．題型四求函數(shù)的值域例4求下列各函數(shù)的值域：（1）y＝x＋1，x∈{2,3,4,5,6}；（2）y＝eq\r(x)＋1；（3）y＝x2－4x＋6；（4）y＝x＋eq\r(2x－1).分析：確定函數(shù)的值域必須認(rèn)真分析自變量x與對(duì)應(yīng)法則之間的聯(lián)系，關(guān)鍵是弄清自變量變化時(shí)由對(duì)應(yīng)法則確定函數(shù)值的變化規(guī)律．反思：求函數(shù)值域的方法：（1）圖像法：借助于函數(shù)值域的幾何意義，利用函數(shù)的圖像求值域；（2）觀察法：對(duì)于解析式比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，利用常見(jiàn)的結(jié)論如x2≥0，|x|≥0，eq\r(x)≥0等觀察出函數(shù)的值域；（3）換元法：利用換元法轉(zhuǎn)化為求常見(jiàn)函數(shù)如二次函數(shù)的值域等．論函數(shù)的值域要先考慮函數(shù)的定義域，本例（1）中，如果忽視函數(shù)的定義域，那么會(huì)錯(cuò)誤地得出函數(shù)值域?yàn)镽.避免此類錯(cuò)誤的方法是研究函數(shù)時(shí)要遵循定義域優(yōu)先的原則．題型五易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：求函數(shù)定義域時(shí)非等價(jià)化簡(jiǎn)解析式致錯(cuò)例5求函數(shù)y＝eq\r(x－2)·eq\r(x＋2)的定義域．錯(cuò)解：y＝eq\r(x－2)·eq\r(x＋2)＝eq\r(x2－4)，由x2－4≥0，得x≥2或x≤－2，∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥2或x≤－2}．錯(cuò)因分析：錯(cuò)解在求函數(shù)的定義域時(shí)，對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行了不等價(jià)變形，導(dǎo)致定義域范圍擴(kuò)大．答案：【例1】解：（1）f（x）的定義域中不含有元素0，而g（x）的定義域?yàn)镽，即定義域不相同，所以不是同一函數(shù)．（2）f（x）的定義域?yàn)閇0，＋∞），而g（x）的定義域?yàn)椋ǎ?，?]∪[0，＋∞），定義域也不相同，所以不是同一函數(shù)．（3）盡管兩個(gè)函數(shù)的自變量一個(gè)用x表示，另一個(gè)用t表示，但它們的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，即對(duì)定義域內(nèi)同一個(gè)自變量，根據(jù)表達(dá)式，都能得到同一函數(shù)值，因此二者為同一函數(shù)．（4）f（x）的定義域?yàn)镽，g（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，因此也不是同一函數(shù)．【例2】解：（1）令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,1－7x≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x≤\f(1,7)，))所以0≤x≤eq\f(1,7).所以函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(1,7))))).（2）令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,|x|－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－1，,x<0，))所以x＜0且x≠－1.所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＜0且x≠－1}．【例3】解：（1）∵f（x）＝eq\f(1,1＋x)，∴f（2）＝eq\f(1,1＋2)＝eq\f(1,3)；又g（x）＝x2＋2，∴g（2）＝22＋2＝6.（2）f（g（2））＝f（6）＝eq\f(1,1＋6)＝eq\f(1,7).【例4】解：（1）當(dāng)x分別取2,3,4,5,6時(shí)，y＝x＋1分別取3,4,5,6,7，∴函數(shù)的值域?yàn)閧3,4,5,6,7}．（2）∵函數(shù)的定義域?yàn)閇0，＋∞），當(dāng)x≥0時(shí)，eq\r(x)≥0，∴y≥1，即函數(shù)y＝eq\r(x)＋1的值域?yàn)閇1，＋∞）．（3）函數(shù)的定義域?yàn)镽.∵y＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2≥2，∴該函數(shù)的值域?yàn)閇2，＋∞）．（4）換元法：設(shè)t＝eq\r(2x－1)，則x＝eq\f(t2＋1,2)且t≥0.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求y＝eq\f(1＋t2,2)＋t（t≥0）的值域．∵y＝eq\f(1＋t2,2)＋t＝eq\f(1,2)（t＋1）2（t≥0），（t＋1）2≥1，∴y的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).故該函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).【例5】正解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,x＋2≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x≥－2，))即x≥2，∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥2}．【隨堂練習(xí)】1．下列四個(gè)圖形中，不是以x為自變量的函數(shù)的圖像是（）．2．已知函數(shù)f（x）＝，則f（2）等于（）．A．3B．2C．13．函數(shù)y＝的定義域?yàn)椋ǎ瓵．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}4．函數(shù)y＝，x∈[1,5）的值域是_____