第二章復(fù)變函數(shù)的積分

第二章復(fù)變函數(shù)的積分1第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三§2.1復(fù)變函數(shù)的積分1.定義及其計(jì)算:(1)定義：設(shè)在復(fù)平面的某段光滑曲線l上定義了連續(xù)函數(shù)f(z)，在l上取一系列分點(diǎn),z0，z1……..

zn把l分成n個(gè)小段.在每個(gè)小段△zk=zk-1-zk上任取點(diǎn)ζk,作和：于n→∞而且每一小段都無限縮短時(shí),如果這個(gè)和的極限存在,而且其值與各個(gè)ζk的選取無關(guān),則這個(gè)極限稱為函數(shù)f(z)沿曲線l從A到B路積分,記作第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三(2)復(fù)變函數(shù)的路積分可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)的線積分：(3)計(jì)算：設(shè)在[α，β]上曲線l的方程是：z(t)=x(t)+iy(t)

例1證明證：第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三例2計(jì)算：解：O1+iyxl1l2l2l1可見,兩個(gè)積分,雖然被積函數(shù)相同,起點(diǎn),終點(diǎn)亦相同,但由于積分路徑不同,其結(jié)果并不相同,一般來說,復(fù)變函數(shù)積分之不僅依賴與起點(diǎn)和終點(diǎn),同時(shí)還與積分路徑有關(guān).第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三(4)積分性質(zhì)：第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三§2.2Cauchy定理1.單連通區(qū)域Cauchy定理證明：單通區(qū)域：是這樣的區(qū)域,在B上作任何簡單的閉合圍線,圍線內(nèi)的點(diǎn)都是屬于該區(qū)域B.單通區(qū)域柯西定理:如果函數(shù)f(z)在閉單通區(qū)域解析,則沿上任一分段光滑閉合曲線l(也可以是的邊界),有

由于f(z)在上的解析,因而在上連續(xù),對上式右端實(shí)部和虛部分別用格林公式

dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzflll),(),(),(),()(++-=òòò第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三由于f(z)在上的解析，其實(shí)部u和虛部v

滿足柯西黎曼條件，代入之即得結(jié)論。定理?xiàng)l件還可以減弱：如果函數(shù)f(z)在單通區(qū)域B上解析,在閉單通區(qū)域上連續(xù),則沿上任一段分光滑l(也可以是的邊界),有推論：f(z)在上解析與積分路徑無關(guān)。第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三2.復(fù)連通區(qū)域Cauchy定理：(1)復(fù)連通區(qū)域：有奇點(diǎn)的情況l1l2(2)區(qū)域圍線正向：當(dāng)觀察者沿著這個(gè)方向前進(jìn)時(shí),區(qū)域總在觀察者的左邊.(3)定理：如果f(z)是閉復(fù)通區(qū)域上單值解析函數(shù),則式中:

l為區(qū)域外境界線,諸li為區(qū)域內(nèi)境界線,積分均沿境界線的正方向進(jìn)行.第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三證明：作割線，化復(fù)連通區(qū)域?yàn)閱芜B通區(qū)域1）閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線積分為零。2）閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向積分和為零3）復(fù)通區(qū)域的解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)針方向積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)針方向積分。DBA’B’D’C’ACl1lil第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三例1：證明解:若回路l不包圍點(diǎn),則被積函數(shù)在l在所在區(qū)域上是解析的,按照柯西定理,積分值為零.llRRl包圍點(diǎn)，應(yīng)用復(fù)連通區(qū)域Cauchy定理得：第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三解：應(yīng)用復(fù)通區(qū)域Cauchy定理：

例2：計(jì)算01ll1l2第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三F(z)在B上是解析的,且F’(z)=

f(z),即F(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù).§2.3不定積分函數(shù)f(z)在單通區(qū)域B上解析,則沿B上任一路徑l的積分的值只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),與路徑無關(guān).因此,當(dāng)起點(diǎn)z0固定時(shí),這個(gè)積分就定義了一個(gè)單值函數(shù)：證明：我們只要對B上任一點(diǎn)z證明F’(z)=f(z)就行了.以z為圓心作一含于B小圓.在小圓內(nèi)取點(diǎn)z0zz

+Δz第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三由于z在B上連續(xù),對于任意給定的正數(shù)ε,必須存在正數(shù)δ使得當(dāng)F’(z)=f(z)的函數(shù)F(z)稱為f(z)在B上的一個(gè)不定積分，或原函數(shù)，同實(shí)函數(shù)一樣，

第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三證明：應(yīng)用復(fù)連通Cauchy定理，得§2.4Cauchy積分公式1.單通區(qū)域Cauchy積分公式若f(z)在閉單通區(qū)域上解析,l為的圍線,

為內(nèi)任意一點(diǎn),則有柯西公式:可見只要證明上式右端第一項(xiàng)等于零即可。估計(jì)：llεεα第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三其中：max|f(z)-f()|是|f(z)-f()|在l上的最大值.令則,由于

f(z)連續(xù)性,因而有即,，于是,一般寫為：解析函數(shù)在曲線上的值決定了其內(nèi)部的函數(shù)值。第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三證明方法2第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三2.復(fù)通區(qū)域Cauchy積分公式3.無界區(qū)域Cauchy積分公式ll1αCRlz由于f(z)在無限遠(yuǎn)處連續(xù),即任給ε>0總能找到相應(yīng)的R1,使得當(dāng)|z|>

R1時(shí)有,其中有界,于是只要R>R1,則有:第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三既有：所以：特別f(∝)=0：第18頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三4.解析函數(shù)的無限次可微性：Cauchy積分公式積分號下對z求導(dǎo),得反復(fù)在積分號下求導(dǎo),得可以證明求導(dǎo)是合法的模數(shù)原理：設(shè)f(z)在某個(gè)閉區(qū)域上為解析,則|f(z)|只能在境界線l上取最大值.劉維爾