第二章傅立葉變換

第二章傅立葉變換第1頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.1引言

隨著計算機數字集成電路的發(fā)展，人們對各種二值正交函數研究產生興趣，這樣對通信、數字信號處理等領域提供多種研究手段。作為最基本的研究工具，傅立葉分析有著極其廣泛的應用。尤其快速傅立葉變換（FFT）獲得了廣泛的應用和發(fā)展，特別在通信領域里，傅立葉分析方法是研究其他變換方法的基礎。第2頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三本章從傅立葉級數，正交函數展開問題開始討論，引出傅立葉變換，建立信號頻譜的概念通過對典型信號頻譜及傅立葉變換性質的研究，掌握基本的傅立葉分析方法的應用。第3頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.2周期信號的傅立葉分析一三角函數的傅立葉級數

在高等數學課中，已知傅立葉級數的定義，周期函數f(t)可由三角函數的線性組合來表示：若f(t)周期函數為T1，角頻率為頻率為那么該周期函數f(t)的三角傅立葉級數的展開表達式為第4頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(式2－1)式中n為正整數其級數中各個分量（幅度）值的計算為：常數（直流分量）(式2－2)第5頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三余弦分量的幅度(式2－3)正弦分量的幅度(式2－4)其中n＝1，2，3……上面積分區(qū)間式在周期函數的一個周期內即第6頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三可以取上述三角函數組或三角函數集是一組完備的正交函數集，集中每二項之間都滿足正交函數的定義。還必須說明，并非任意周期信號都能進行傅立葉級數的展開，f(t)必須滿足狄里赫利條件才能展為傅立葉級數，其狄里赫利條件為：第7頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(1)在一周期內，沒有間斷點，如果有間斷點，其數目應是有限個。(2)在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個。(3)在一周期內，信號f(t)是絕對可積的，即等于有限值。通常，我們遇到的信號都能滿足狄里赫利條件，因此無特殊需要，以后就不再提及這一條件第8頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三將式2-1中同頻率項加以合并，可以寫出另一種形式。(式2-5)或：(式2-6)比較式2-1，得到傅立葉級數中各項系數間的關系：第9頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(式2-7)從式2-1看出，周期函數只要滿足狄里赫利條件，就可以展成式2-1的級數形式。第10頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三也就是可以分解成直流分量及許多余弦分量和正弦分量。通常把頻率為f1（與周期函數同頻率）的分量稱為基波（分量）頻率為2f1，3f1……分別稱為二次諧波（分量），三次諧波（分量）……等等。從2-2到2-7看出，各分量的幅度（系數）及相位都是的函數如果把對的關系繪成圖2-1(a)可清楚直觀的看出各頻率分量的相對大小及各頻率分量隨變化的規(guī)律。第11頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三所以一般稱圖2-1為信號的幅度頻譜簡稱為幅度譜。其中圖中每條線代表某一頻率分量的幅度，簡稱譜線。連接各譜線頂點的虛曲線稱為包絡線，它反映了各分量幅度隨變換的情況。類似地，還可畫出各分量的相位對的線圖(如圖2-1b)，我們稱為相位簡稱為相位譜。圖2-1第12頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由圖看出，周期信號頻譜的每條譜線只會出現(xiàn)在等整數離散頻率點上稱這種頻譜為離散譜，這是周期信號頻譜的主要特點。指數形式的傅立葉級數已知周期信號的傅立葉級數為根據歐拉公式：第13頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三代入上式得到令考慮是的偶函數，是的奇函數所以有：代入上式有：(式2-8)第14頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三令又因為(式2-9)于是得到f(t)的指數形式的傅立葉級數，即第15頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其中為指數傅立葉級數的系數，將,代入用歐拉公式得到指數傅立葉級數系數（或簡寫為）表達式(式2-10)第16頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其中n為從-∞到+∞的整數由式2-7和式得到和其他系數的關系：(式2-11)第17頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(式2-11)指數傅立葉級數系數為的函數，同樣可以畫出指數形式表示的信號頻譜，一般Fn為復函數，所以稱其復數頻譜?？僧嫵鰪蛿捣阮l譜如圖2-2，如果Fn為實數，可以用Fn的正、負數表示的0，。這樣幅度譜和相位譜可以合畫在一張圖上。如圖2-3第18頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-2圖2-3第19頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三討論：(1)由圖2-3看出，圖中每條譜線長度(2)由式2-9看出，式中不僅包括正頻率項，還包括負頻率項，因此這種頻譜相對于縱軸左右式對稱的。(3)由圖2-1和圖2-3可以看出這兩種頻譜的表示方法實質上是一樣的，只是形式有些不同。圖2-1中每條譜線代表相應分量的幅度，而圖2-2中，每個分量幅度一分為二，在正、負頻率相對應的位置上各為一半。第20頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三正、負頻率上相應的兩條譜線合起來代表一個分量的幅度。(4)應當指出在指數復數頻譜中，出現(xiàn)了負頻率。這是由于將sin(nω1t)和cos(nω1t)按歐拉公式寫成復指數形式引起的，即寫成和兩項，從而引入了項，所以這完全是數學運算的結果，具有數學意義，并沒有物理意義。只有將負頻率和相應正頻率項，通過數學運算合并起來才是實際的頻譜函數，具有相應的物理意義第21頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三三周期信號的功率特性將傅立葉級數表示式，式2-1和式2-9等式兩邊平方，并在一個周期內進行積分，并乘以1/T1。再利用三角函數及復指數函數的正交性。即在一個n個函數構成的函數集中，如果在區(qū)間(t1,t2)內滿足正交性，有如下關系式：第22頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其中為常數，如果＝1，有這樣可得到周期信號f(t)的平均功率P與傅立葉級數系數的關系。第23頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(式2-12)此式表明，周期信號的平均功率等于傅立葉級數展開式中各諧波分量有效值的平方和，也就是說時域和頻域的能量是守恒的，式2-12稱為帕塞瓦爾定理。第24頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三四函數的對稱性與傅立葉系數的關系波形的對稱性有兩類：一類式對整周期內對稱，如偶函數和奇函數。另一類是對半個周期內對稱，如奇諧函數。如果f(t)是實函數，滿足上述某種對稱性使其傅立葉級數中有些項將不出現(xiàn)。1偶函數若信號波形相對縱軸是對稱的，即滿足第25頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三這樣在一個對稱周期內求級數系數為：第26頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三以上結果由于為偶函數，為奇函數，在一個對稱區(qū)間積分，偶函數為半區(qū)間積分的2倍，奇函數積分為零。由此得到其它系數的結果：所以偶函數的Fn為實數，偶函數的第27頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三傅立葉級數中不含有正弦項，只含有直流項和余弦項。例如，如圖2-4所示，周期函數為偶函數，它的傅立葉級數如下式：圖2-4第28頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三2奇函數若信號的波形相對于縱坐標是反對稱，即f(t)=-f(-t)，則f(t)是奇函數。這樣得到級數中系數為：其他系數為：第29頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三所以，奇函數的Fn為虛數，奇函數的傅立葉中不含有余弦項，只含有正弦項。有時奇函數疊加一個直流分量，雖然不是奇函數，但該函數等于奇函數加一個常數（直流分量），分解后仍然不包含余弦項，例如圖2-5為周期鋸齒奇函數信號其傅立葉級數展開式如下第30頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三3奇諧函數若函數波形沿時間軸平移半個周期并相對該軸上下反轉，其波形和原來一樣，沒有發(fā)生變化，即：圖2-5第31頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三稱該函數為半波對稱函數也稱奇諧函數。由定義看出，該函數的級數中的直流分量a0必然為零。設第二個積分式，所以有第32頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由于所以同理可得：第33頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三如圖2-6所以f(t)為奇諧函數，其傅立葉級數中含有基波和奇次諧波的正弦項和余弦項。圖2-6第34頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.3典型周期信號的傅立葉級數矩形周期信號是一個很重要的信號，其展開的傅立葉級數及其頻譜有著重要意義。設周期矩形脈沖信號f(t)的脈沖寬度為τ其幅度為E，重復周期為T1，則角頻率如圖2-7圖2-7第35頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三此信號在一個周期內的表達式為：首先把f(t)展成三角傅立葉級數其中直流分量第36頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三余弦分量為其中Sa為抽樣函數第37頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由于f(t)為偶函數，所以其三角傅立葉級數為或寫成：下面再將f(t)展成指數傅立葉級數，即第38頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三所以得到直流分量各次諧波分量第39頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-8(a)(b)分別畫出幅度頻譜和相位頻譜，由于cn為實數，可以把幅度譜和相位譜合畫成一副圖，如圖2-8(c)，用Fn可以畫出復數頻譜，如圖2-8(d)。討論：(1)周期矩形脈沖同一般周期信號一樣，其頻譜離散的，兩譜線的間隔為，當脈沖重復周期T1愈大，ω1愈小，譜線就越靠近。第40頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-8第41頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(2)由c0,cn可知直流分量基波及各諧波分量大小正比于脈沖幅度E和脈沖寬度τ，而反比于周期T1。譜線的幅度按包絡線的規(guī)律變化，即按規(guī)律變化。并且時(m=1,2……)譜線的包絡線經過零點。(3)周期矩形信號包含有無窮多條譜線，即可分解為無窮多個頻率分量，但信號的當時，譜線的包絡線為極值點。第42頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三在允許一定失真的條件下，經常把0到第一個零點頻率之間的寬度，定為周期矩形脈沖的頻譜的寬度，即用符號Bω和Bf表示，即或看出，頻帶寬度B與矩形脈沖寬度τ成反比。(4)脈寬τ和周期T1對頻譜的影響ⅰ當τ不變，T1變化時τ不變，說明過零點的頻率不變，T1主要能量集中在第一個零點以內。第43頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三加大，則減小，這樣譜線間間隔變密。ⅱ當T1不變，τ變化T1不變，則ω1不變，譜線間隔保持不變，τ變化，則過零點頻率發(fā)生變化。τ加大（）過零點頻率減小則過零點頻率減小到趨于零。反過來，過零點頻率趨于無窮大第44頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.4傅立葉變換傅立葉變換定義從上節(jié)周期矩形的頻譜分析中看出，當周期時，其譜線間隔，這樣譜線連成一片，即由離散頻譜變成連續(xù)頻譜，這時函數f(t)由周期信號變成了非周期信號。

但由于每個頻率分量變成了無窮小，但所有這些無窮小分量的疊加應該應該是非周期信號的有限能量值，并且這些無窮小量之間的相對大小也是不一樣。第45頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三為了研究這具有限能量信號，即非周期信號的頻譜及各分量的相對大小，采用了頻譜密度函數的概念。設一周期信號f(t)及復數頻譜F(nω1)，如圖2-9，將f(t)展成指數傅立葉級數。第46頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-9第47頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其系數即頻譜為兩邊乘以T1，得：即：第48頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(式2-13)當時，，由周期信號轉變成非周期信號，這時譜線間隔而離散頻率nω1變成連續(xù)頻率ω。這時但趨近一有限值，并且變成一個連續(xù)函數F(ω)，即：第49頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其中表示單位頻帶的頻譜值，即定義為頻譜密度函數，所以F(ω)稱為原函數f(t)的頻譜密度函數（簡稱頻譜函數）若以幅度為高，以間隔ω1為寬，組成矩形如圖2-9(c)所示，則該小矩形面積等于ω＝nω1頻率處頻譜值F(nω1)這樣在非周期信號的情況下，有第50頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三（式2-14）同樣，傅立葉級數考慮譜線間隔上式可寫成在極限情況下，各變量改變?yōu)榈?1頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三所以其傅立葉級數變成積分形式，即（式2-15）上面的式2-14和式2-15就是周期信號的傅立葉級數及系數，通過取極限方法得到非周期信號頻譜的表達式，稱之為傅立葉變換，通常稱式2-14為傅立葉正變換，式2-15為傅立葉逆變換。為了方便，我們給了如下定義符號第52頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三傅立葉正變換傅立葉逆變換其中F(ω)是f(t)的頻譜函數，一般為復函數可寫成：式中是的模，它代表信號f(t)中各頻率分量的相對大小，而是F(ω)的相第53頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三位函數，它表示信號中各頻譜分量之間的相位關系，所以稱為幅度頻譜，相位頻譜，如圖2-9,和都是頻率ω的連續(xù)函數，其形狀與相應的周期信號頻譜包絡線相同，并且是ω的偶函數，是ω的奇函數。二傅立葉逆變換的三角形式與周期信號類似，其傅立葉逆變換有指數形式，也可改寫成三角函數形式，即第54頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三因為f(t)是實函數為ω的偶函數。為ω的奇函數，上式第二項為零。上式可寫成第55頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三可見，非周期信號和周期信號一樣，也可以分解為許多不同頻率的正、余弦分量。所不同的是非周期信號由于周期趨于無限大，而各頻率的分量幅度趨于無限小，所以其頻譜改用頻譜密度函數表示必須指出，非周期函數傅立葉變換的存在條件是，f(t)在無限區(qū)間內滿足絕對可積條件，即：類似于周期函數展成傅立葉級數必須滿足狄里赫利條件。第56頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.5典型非周期信號的傅立葉變換利用傅立葉變換求幾種典型非周期信號頻譜。一單邊指數信號其表達式為其中α為正實數。其傅立葉變換為：第57頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三得幅度譜相位譜波形如圖2-10第58頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-10第59頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三二雙邊指數信號其表達式為α為正實數。其傅立葉變換為第60頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

幅度譜為相位譜為其f(t)和幅度譜如圖2-11圖2-11第61頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三三矩形脈沖信號其表達式為E為脈沖幅度，τ為脈沖寬度其傅立葉變換為第62頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其幅度譜為相位譜為因為F(ω)為實函數，可用一條F(ω)曲線表示其幅度譜和相位譜其f(t)和F(ω)曲線如圖2-12第63頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由此可見，矩形脈沖信號其能量在時域集中在有限范圍內，但其頻譜函數以的規(guī)律變化，分布在無限寬的頻率范圍上，但信號能量主要集中在（或）范圍，所以通常認為這種信號占用頻率范圍（頻帶）B近似為1/τ（或2π/τ）即圖2-12第64頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三四鐘形脈沖信號鐘形脈沖也稱高斯脈沖，其表達式為其傅立葉變換第65頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三查積分表得這是一個正實數，相位譜為零，高斯信號得傅立葉變換即頻譜還是高斯型，其信號頻譜如圖2-13被積函數為兩個超越函數相乘，比較麻煩圖2-13第66頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三五升余弦信號升余弦信號表達式為：其傅立葉變換第67頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三上式化簡得到其f(t)和其頻譜如圖2-14第68頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由上圖看出，升余弦脈沖的頻譜比矩形的頻譜更加集中，其絕大部分能量集中在范圍內。圖2-14第69頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.6典型奇異函數的頻譜對于奇異函數，如沖激函數、階躍函數、符號函數等是不滿足絕對可積條件的，但其傅立葉即頻譜是存在的，不用定義求出，而用其他方法求取其頻譜函數。一沖激函數的傅立葉變換沖激函數在時域和變換域中起著十分重要作用。第70頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三1沖激函數的傅立葉變換單位沖激函數δ(t)的傅立葉變換為可見，單位沖激函數的頻譜為常數，也就是說在整個頻率范圍內，頻譜是均勻分布的，所以頻率分量幅度是相等的。稱為“均勻譜”或“白色譜”。其f(t)和其頻譜如圖2-15第71頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三2沖激函數傅立葉逆變換當然該沖激函數是頻域的函數，即為δ(ω)可得，常數的傅立葉變換是沖激函數圖2-15第72頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三二沖激偶函數的傅立葉變換第73頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三同理可得：又由于同理得第74頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三三階躍函數的傅立葉變換階躍函數不滿足絕對可積條件，但其頻譜函數還是存在的，采用單邊指數求極限的方法來求取。對單邊指數函數的頻譜為：對于階躍函數，當時，單邊指數函數趨近于階躍函數，即第75頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三那么其頻譜為，當時，極限函數的頻譜即為階躍函數的頻譜。當時，第76頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三可見是一個沖激函數，求其曲線下面積即強度。又知第77頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三所以得階躍函數得傅立葉變換為其u(t)和其頻譜如圖2-16圖2-16第78頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其幅度譜為第79頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三四符號函數的傅立葉變換其表達式用單位階躍函數表示符號函數，即其傅立葉變換為：第80頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其幅度譜為相位頻譜為其sgn(t)和其頻譜如圖2-17第81頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-17第82頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.7傅立葉變換的基本性質由前面可知，由傅立葉變換建立時間函數f(t)與其頻譜函數F(ω)之間是一一對應關系，在信號分析中，經常遇到時域信號經過某種運算在頻域中發(fā)生了怎樣變化，反之也是這樣。利用傅立葉變換的某些性質給信號分析帶來了很大方便。第83頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三一線性性質若則其中ai為常數，i為正整數例：求解：第84頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三又二對稱性若則第85頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三如果f(t)是偶函數則這樣體現(xiàn)出傅立葉變換的對稱性，即f(t)的頻譜為F(ω)，那么F(t)的頻譜為f(ω)例1：求解：已知根據對稱性性質由于為偶函數第86頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例2：求函數的傅立葉變換解：已知其根據對稱性第87頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三三反轉性質若則例1：求u(-t)的頻譜函數解：已知根據反轉性質第88頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三四時移特性若則例1：已知如圖2-18(a)，試求如圖2-18(b)中的傅立葉變換。第89頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解：從圖中可以看出圖2-18第90頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三五尺度變換性質若則其中a為非零實常數。如果a＝-1，上式變成即反轉性質，若a>1則信號f(at)表示信號f(t)沿時間軸壓縮a倍，而F(ω/a)則表示頻譜函數F(ω)沿頻率軸擴展a倍。若0<a<1，信號f(at)沿時間軸擴展了1/a第91頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三而F(ω/a)沿頻率軸壓縮F(ω)頻率波形的1/a倍。表明時域中的壓縮對應著頻域中的擴展，而對時域中的擴展對應著頻域中的壓縮。得出一個結論：信號的持續(xù)時間與其占有的頻帶寬帶成反比。例：已知求解：第92頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三討論：首先假設f(t)和F(ω)分別對時間t和頻率ω的函數是收斂的函數。第93頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三（即t→∞,f(t)→0,ω→∞,F(ω)→0）有同樣有說明f(t)與F(ω)所覆蓋的面積分別等于F(ω)與2πf(t)在零點的數值F(0)和2πf(0)第94頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三六頻移特性若則可見，若時間信號f(t)乘以等效于f(t)的頻譜F(ω)沿頻率軸右移ω0，或者若時間信號f(t)乘以等效于f(t)的頻譜F(ω)沿頻率軸左移ω0。

有時也稱為頻譜搬移性質，在通信系第95頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三統(tǒng)中得到了廣泛的應用，如調幅、同步解調、變頻等，如：頻譜搬移實現(xiàn)原理為f(t)乘以載頻信號或，其頻譜為第96頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例1：已知矩形調幅信號如圖2-19，其中G(t)為矩形脈沖，脈沖幅度為E，脈寬為τ，求f(t)頻譜。圖2-19第97頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解：對于矩形脈沖頻譜前面已知所以有第98頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例2已知f(t)=cos(ω0t)，求f(t)的頻譜。解：根據頻移性質：第99頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三可見周期余弦信號的傅立葉變換完全集中在±ω0處，并且是對沖激，說明周期信號不滿足絕對可積條件。七微分特性1時域微分特性若則第100頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例：求解：由微分特性：2頻域微分特性若則第101頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三八積分性質1時域積分性質若則例：如圖2-20截平斜變函數y(t)，求y(t)頻譜。圖2-20第102頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解：圖2-20的截平、斜變函數表達式為：利用積分性質，求y(t)的頻譜Y(ω)，把y(t)看成脈幅為1/t0，脈寬為t0的矩形脈沖f(t)的積分，即其中第103頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三得f(t)的頻譜F(ω)為利用積分性質求得：第104頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由于F(0)=1，所以2頻域積分性質若，則：此特性應用較少，不多加討論。第105頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三九卷積定理（卷積性質）1時域卷積性質若給定兩個時間函數并知：則說明兩個時間函數卷積的頻譜等于兩個時間函數頻譜的乘積，即時域兩信號卷積等效于頻域中頻譜相乘。第106頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三2頻域卷積性質若，則其中說明兩時間函數相乘的頻譜等效于兩個函數頻譜的卷積。例：已知第107頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三求余弦脈沖的頻譜。解：余弦脈沖f(t)可看作由矩形脈沖與余弦周期信號相乘，如圖2-21，其表達式為第108頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-21第109頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其的頻譜為而且：根據頻域卷積性質第110頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三整理簡化為：例：如圖2-22(a)，試求該信號f(t)的傅立葉變換F(ω)第111頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-22第112頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解：f(t)可看出是f1(t)和f2(t)卷積得到的，即其中根據時域卷積性質：第113頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.8周期信號的傅立葉變換為了統(tǒng)一分析周期信號和非周期信號的方法，使傅立葉變換這一數學工具應用更廣泛。雖然周期信號不滿足絕對可積條件不能用傅立葉變換積分公式去求取，而其周期函數的頻譜還是客觀存在的，可以通過另外辦法求取。尤其沖激函數存在是有意義的。在數學上已經證明，所以絕對可積條件已成為不必要的限制條件。第114頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三一正弦、余弦信號的傅立葉變換雖然前面已介紹了，這里還想講解一下若，由頻移性質令則同理，根據歐拉公式第115頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三得：由上看出，復指數信號，余弦和正弦信號的傅立葉變換是在處的沖激函數。一般周期信號的傅立葉變換令周期函數f(t)的周期為T1，角頻率為此周期信號的傅立葉級數為：兩邊取傅立葉變換：第116頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三以上便是周期信號f(t)的傅立葉變換的公式其中Fn為傅立葉級數的系數由公式看出，周期信號f(t)的傅立葉變換是由一些頻域中沖激函數組成，且這些沖激函數位于周期信號的諧頻處，即：第117頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三每個沖激的強度等于f(t)的傅立葉級數的相應系數Fn的2π倍。還可以看出，周期信號的頻譜是離散的，這和前面f(t)展成傅立葉級數得到概念是一致的。注意，由于傅立葉變換是反映頻譜密度的概念，因此傅立葉變換不同于傅立葉級數，得到的頻譜是一系列沖激函數，表明在無窮小的頻率范圍內（即頻譜點），取得了無限大的頻譜值，而不是有限值。第118頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三周期信號傅立葉級數與相應單脈沖的傅立葉變換的關系。周期信號f(t)的傅立葉級數其傅立葉系數為從周期信號f(t)中截取一個周期，得到一個非周期的單脈沖信號f0(t)，其傅立葉變換為：第119頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三比較Fn和F0(ω)式，看出我們得出，周期信號的傅立葉級數的系數Fn等于其非周期單脈沖信號的傅立葉變換F0(ω)在nω1頻率點的值乘以，這樣利用單脈沖傅立葉變換式可以很方便的求出相應周期信號的傅立葉級數的系數。第120頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例：單位沖激序列為求該單位沖激序列的傅立葉級數。解：該序列的傅立葉級數為其中傅立葉級數為：第121頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由此看出，單位沖激序列傅立葉級數只包含有位于的頻率分量，并且每個頻率分量的大小是相等的，均等于。例：已知周期矩形脈沖信號f(t)的幅度為E，脈寬為τ，周期為T1，角頻率為如圖2-23，求周期脈沖信號的傅立葉級數和傅立葉變換。圖2-23第122頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解：利用本節(jié)給出的方法求解，相同的單脈沖f0(t)的傅立葉變換為那么對應周期脈沖的傅立葉系數為圖2-23第123頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三則傅立葉級數為：其傅立葉變換為：第124頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.9抽樣信號的傅立葉變換抽樣信號這里提出的“抽樣”是利用抽樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信號f(t)中抽取一系列的離散樣值，這種離散信號常稱為“抽樣信號”，用fs(t)表示，如圖2-24所示。這里和前面稱為抽樣函數的Sa(t)具有完全不同的含義，這里的抽樣也可成為“采樣”或“取樣”。第125頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-24第126頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其抽樣系統(tǒng)實現(xiàn)的原理如圖2-25，連續(xù)信號經過抽樣電路實現(xiàn)抽樣后，變成了抽樣信號，一般情況下，往往需要經量化、編碼變成數字信號。這種數字信號經過傳輸，在接收目的點進行上述過程的逆過程，恢復出原連續(xù)信號?；谏鲜鲈順嫵傻臄底滞ㄐ畔到y(tǒng)與模擬通信系統(tǒng)比較，具有很多優(yōu)越性，應用越來越廣泛。圖2-25第127頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三二時域抽樣令連續(xù)信號f(t)的傅立葉變換為抽樣脈沖序列p(t)的傅立葉變換為抽樣后信號fs(t)的傅立葉變換為若采用均勻抽樣，抽樣周期為Ts，抽樣頻率為第128頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三一般情況，抽樣過程是由乘法器來完成的，通過抽樣脈沖序列p(t)與連續(xù)信號f(t)相乘來完成，即：其p(t)的傅立葉變換為：根據頻域卷積性質：第129頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由上式看出，時間連續(xù)信號經抽樣后，其頻譜Fs(ω)是連續(xù)信號頻譜F(ω)的波形以抽樣頻率ωs為間隔周期重復得到的，在重復過程中，其幅度被p(t)的傅立葉系數Pn所加權，因為Pn為n的函數（不是ω的函數），所以F(ω)在重復過程中，一般不會發(fā)生波形的變化。由于Pn為n的函數，其抽樣脈沖不同，Pn函數波形不同，分別進行討論。第130頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三1矩形脈沖抽樣抽樣脈沖p(t)是矩形，幅度為E，脈寬為τ，抽樣角頻率為ωs，抽樣間隔為每個抽樣寬度為τ，所以抽樣信號fs(t)在抽樣期間(τ)脈沖頂部不是平的(隨f(t)變化)，如圖2-26，這種抽樣稱為“自然抽樣”第131頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-26第132頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三那么，抽樣脈沖p(t)的傅立葉系數為：所以，看出，以為周期重復，其幅度以的規(guī)律變化，如圖2-26。第133頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三2沖激抽樣若抽樣脈沖p(t)為沖激序列，稱為“沖激抽樣”或“理想抽樣”。其抽樣脈沖為抽樣信號fs(t)為由此看出，抽