第二章傅立葉變換

第二章傅立葉變換第1頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.1引言

隨著計(jì)算機(jī)數(shù)字集成電路的發(fā)展，人們對(duì)各種二值正交函數(shù)研究產(chǎn)生興趣，這樣對(duì)通信、數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域提供多種研究手段。作為最基本的研究工具，傅立葉分析有著極其廣泛的應(yīng)用。尤其快速傅立葉變換（FFT）獲得了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展，特別在通信領(lǐng)域里，傅立葉分析方法是研究其他變換方法的基礎(chǔ)。第2頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三本章從傅立葉級(jí)數(shù)，正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅立葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念通過對(duì)典型信號(hào)頻譜及傅立葉變換性質(zhì)的研究，掌握基本的傅立葉分析方法的應(yīng)用。第3頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.2周期信號(hào)的傅立葉分析一三角函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)

在高等數(shù)學(xué)課中，已知傅立葉級(jí)數(shù)的定義，周期函數(shù)f(t)可由三角函數(shù)的線性組合來表示：若f(t)周期函數(shù)為T1，角頻率為頻率為那么該周期函數(shù)f(t)的三角傅立葉級(jí)數(shù)的展開表達(dá)式為第4頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(式2－1)式中n為正整數(shù)其級(jí)數(shù)中各個(gè)分量（幅度）值的計(jì)算為：常數(shù)（直流分量）(式2－2)第5頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三余弦分量的幅度(式2－3)正弦分量的幅度(式2－4)其中n＝1，2，3……上面積分區(qū)間式在周期函數(shù)的一個(gè)周期內(nèi)即第6頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三可以取上述三角函數(shù)組或三角函數(shù)集是一組完備的正交函數(shù)集，集中每二項(xiàng)之間都滿足正交函數(shù)的定義。還必須說明，并非任意周期信號(hào)都能進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)的展開，f(t)必須滿足狄里赫利條件才能展為傅立葉級(jí)數(shù)，其狄里赫利條件為：第7頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(1)在一周期內(nèi)，沒有間斷點(diǎn)，如果有間斷點(diǎn)，其數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。(2)在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。(3)在一周期內(nèi)，信號(hào)f(t)是絕對(duì)可積的，即等于有限值。通常，我們遇到的信號(hào)都能滿足狄里赫利條件，因此無特殊需要，以后就不再提及這一條件第8頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三將式2-1中同頻率項(xiàng)加以合并，可以寫出另一種形式。(式2-5)或：(式2-6)比較式2-1，得到傅立葉級(jí)數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)間的關(guān)系：第9頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(式2-7)從式2-1看出，周期函數(shù)只要滿足狄里赫利條件，就可以展成式2-1的級(jí)數(shù)形式。第10頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三也就是可以分解成直流分量及許多余弦分量和正弦分量。通常把頻率為f1（與周期函數(shù)同頻率）的分量稱為基波（分量）頻率為2f1，3f1……分別稱為二次諧波（分量），三次諧波（分量）……等等。從2-2到2-7看出，各分量的幅度（系數(shù)）及相位都是的函數(shù)如果把對(duì)的關(guān)系繪成圖2-1(a)可清楚直觀的看出各頻率分量的相對(duì)大小及各頻率分量隨變化的規(guī)律。第11頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三所以一般稱圖2-1為信號(hào)的幅度頻譜簡(jiǎn)稱為幅度譜。其中圖中每條線代表某一頻率分量的幅度，簡(jiǎn)稱譜線。連接各譜線頂點(diǎn)的虛曲線稱為包絡(luò)線，它反映了各分量幅度隨變換的情況。類似地，還可畫出各分量的相位對(duì)的線圖(如圖2-1b)，我們稱為相位簡(jiǎn)稱為相位譜。圖2-1第12頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由圖看出，周期信號(hào)頻譜的每條譜線只會(huì)出現(xiàn)在等整數(shù)離散頻率點(diǎn)上稱這種頻譜為離散譜，這是周期信號(hào)頻譜的主要特點(diǎn)。指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)已知周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)為根據(jù)歐拉公式：第13頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三代入上式得到令考慮是的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)所以有：代入上式有：(式2-8)第14頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三令又因?yàn)?式2-9)于是得到f(t)的指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)，即第15頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其中為指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，將,代入用歐拉公式得到指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)（或簡(jiǎn)寫為）表達(dá)式(式2-10)第16頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其中n為從-∞到+∞的整數(shù)由式2-7和式得到和其他系數(shù)的關(guān)系：(式2-11)第17頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(式2-11)指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)為的函數(shù)，同樣可以畫出指數(shù)形式表示的信號(hào)頻譜，一般Fn為復(fù)函數(shù)，所以稱其復(fù)數(shù)頻譜?？僧嫵鰪?fù)數(shù)幅度頻譜如圖2-2，如果Fn為實(shí)數(shù)，可以用Fn的正、負(fù)數(shù)表示的0，。這樣幅度譜和相位譜可以合畫在一張圖上。如圖2-3第18頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-2圖2-3第19頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三討論：(1)由圖2-3看出，圖中每條譜線長(zhǎng)度(2)由式2-9看出，式中不僅包括正頻率項(xiàng)，還包括負(fù)頻率項(xiàng)，因此這種頻譜相對(duì)于縱軸左右式對(duì)稱的。(3)由圖2-1和圖2-3可以看出這兩種頻譜的表示方法實(shí)質(zhì)上是一樣的，只是形式有些不同。圖2-1中每條譜線代表相應(yīng)分量的幅度，而圖2-2中，每個(gè)分量幅度一分為二，在正、負(fù)頻率相對(duì)應(yīng)的位置上各為一半。第20頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三正、負(fù)頻率上相應(yīng)的兩條譜線合起來代表一個(gè)分量的幅度。(4)應(yīng)當(dāng)指出在指數(shù)復(fù)數(shù)頻譜中，出現(xiàn)了負(fù)頻率。這是由于將sin(nω1t)和cos(nω1t)按歐拉公式寫成復(fù)指數(shù)形式引起的，即寫成和兩項(xiàng)，從而引入了項(xiàng)，所以這完全是數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果，具有數(shù)學(xué)意義，并沒有物理意義。只有將負(fù)頻率和相應(yīng)正頻率項(xiàng)，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算合并起來才是實(shí)際的頻譜函數(shù)，具有相應(yīng)的物理意義第21頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三三周期信號(hào)的功率特性將傅立葉級(jí)數(shù)表示式，式2-1和式2-9等式兩邊平方，并在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行積分，并乘以1/T1。再利用三角函數(shù)及復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交性。即在一個(gè)n個(gè)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)集中，如果在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)滿足正交性，有如下關(guān)系式：第22頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其中為常數(shù)，如果＝1，有這樣可得到周期信號(hào)f(t)的平均功率P與傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)的關(guān)系。第23頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(式2-12)此式表明，周期信號(hào)的平均功率等于傅立葉級(jí)數(shù)展開式中各諧波分量有效值的平方和，也就是說時(shí)域和頻域的能量是守恒的，式2-12稱為帕塞瓦爾定理。第24頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三四函數(shù)的對(duì)稱性與傅立葉系數(shù)的關(guān)系波形的對(duì)稱性有兩類：一類式對(duì)整周期內(nèi)對(duì)稱，如偶函數(shù)和奇函數(shù)。另一類是對(duì)半個(gè)周期內(nèi)對(duì)稱，如奇諧函數(shù)。如果f(t)是實(shí)函數(shù)，滿足上述某種對(duì)稱性使其傅立葉級(jí)數(shù)中有些項(xiàng)將不出現(xiàn)。1偶函數(shù)若信號(hào)波形相對(duì)縱軸是對(duì)稱的，即滿足第25頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三這樣在一個(gè)對(duì)稱周期內(nèi)求級(jí)數(shù)系數(shù)為：第26頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三以上結(jié)果由于為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，在一個(gè)對(duì)稱區(qū)間積分，偶函數(shù)為半?yún)^(qū)間積分的2倍，奇函數(shù)積分為零。由此得到其它系數(shù)的結(jié)果：所以偶函數(shù)的Fn為實(shí)數(shù)，偶函數(shù)的第27頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三傅立葉級(jí)數(shù)中不含有正弦項(xiàng)，只含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。例如，如圖2-4所示，周期函數(shù)為偶函數(shù)，它的傅立葉級(jí)數(shù)如下式：圖2-4第28頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三2奇函數(shù)若信號(hào)的波形相對(duì)于縱坐標(biāo)是反對(duì)稱，即f(t)=-f(-t)，則f(t)是奇函數(shù)。這樣得到級(jí)數(shù)中系數(shù)為：其他系數(shù)為：第29頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三所以，奇函數(shù)的Fn為虛數(shù)，奇函數(shù)的傅立葉中不含有余弦項(xiàng)，只含有正弦項(xiàng)。有時(shí)奇函數(shù)疊加一個(gè)直流分量，雖然不是奇函數(shù)，但該函數(shù)等于奇函數(shù)加一個(gè)常數(shù)（直流分量），分解后仍然不包含余弦項(xiàng)，例如圖2-5為周期鋸齒奇函數(shù)信號(hào)其傅立葉級(jí)數(shù)展開式如下第30頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三3奇諧函數(shù)若函數(shù)波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)該軸上下反轉(zhuǎn)，其波形和原來一樣，沒有發(fā)生變化，即：圖2-5第31頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三稱該函數(shù)為半波對(duì)稱函數(shù)也稱奇諧函數(shù)。由定義看出，該函數(shù)的級(jí)數(shù)中的直流分量a0必然為零。設(shè)第二個(gè)積分式，所以有第32頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由于所以同理可得：第33頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三如圖2-6所以f(t)為奇諧函數(shù)，其傅立葉級(jí)數(shù)中含有基波和奇次諧波的正弦項(xiàng)和余弦項(xiàng)。圖2-6第34頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.3典型周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)矩形周期信號(hào)是一個(gè)很重要的信號(hào)，其展開的傅立葉級(jí)數(shù)及其頻譜有著重要意義。設(shè)周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的脈沖寬度為τ其幅度為E，重復(fù)周期為T1，則角頻率如圖2-7圖2-7第35頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三此信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為：首先把f(t)展成三角傅立葉級(jí)數(shù)其中直流分量第36頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三余弦分量為其中Sa為抽樣函數(shù)第37頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由于f(t)為偶函數(shù)，所以其三角傅立葉級(jí)數(shù)為或?qū)懗桑合旅嬖賹(t)展成指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)，即第38頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三所以得到直流分量各次諧波分量第39頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-8(a)(b)分別畫出幅度頻譜和相位頻譜，由于cn為實(shí)數(shù)，可以把幅度譜和相位譜合畫成一副圖，如圖2-8(c)，用Fn可以畫出復(fù)數(shù)頻譜，如圖2-8(d)。討論：(1)周期矩形脈沖同一般周期信號(hào)一樣，其頻譜離散的，兩譜線的間隔為，當(dāng)脈沖重復(fù)周期T1愈大，ω1愈小，譜線就越靠近。第40頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-8第41頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(2)由c0,cn可知直流分量基波及各諧波分量大小正比于脈沖幅度E和脈沖寬度τ，而反比于周期T1。譜線的幅度按包絡(luò)線的規(guī)律變化，即按規(guī)律變化。并且時(shí)(m=1,2……)譜線的包絡(luò)線經(jīng)過零點(diǎn)。(3)周期矩形信號(hào)包含有無窮多條譜線，即可分解為無窮多個(gè)頻率分量，但信號(hào)的當(dāng)時(shí)，譜線的包絡(luò)線為極值點(diǎn)。第42頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三在允許一定失真的條件下，經(jīng)常把0到第一個(gè)零點(diǎn)頻率之間的寬度，定為周期矩形脈沖的頻譜的寬度，即用符號(hào)Bω和Bf表示，即或看出，頻帶寬度B與矩形脈沖寬度τ成反比。(4)脈寬τ和周期T1對(duì)頻譜的影響ⅰ當(dāng)τ不變，T1變化時(shí)τ不變，說明過零點(diǎn)的頻率不變，T1主要能量集中在第一個(gè)零點(diǎn)以內(nèi)。第43頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三加大，則減小，這樣譜線間間隔變密。ⅱ當(dāng)T1不變，τ變化T1不變，則ω1不變，譜線間隔保持不變，τ變化，則過零點(diǎn)頻率發(fā)生變化。τ加大（）過零點(diǎn)頻率減小則過零點(diǎn)頻率減小到趨于零。反過來，過零點(diǎn)頻率趨于無窮大第44頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.4傅立葉變換傅立葉變換定義從上節(jié)周期矩形的頻譜分析中看出，當(dāng)周期時(shí)，其譜線間隔，這樣譜線連成一片，即由離散頻譜變成連續(xù)頻譜，這時(shí)函數(shù)f(t)由周期信號(hào)變成了非周期信號(hào)。

但由于每個(gè)頻率分量變成了無窮小，但所有這些無窮小分量的疊加應(yīng)該應(yīng)該是非周期信號(hào)的有限能量值，并且這些無窮小量之間的相對(duì)大小也是不一樣。第45頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三為了研究這具有限能量信號(hào)，即非周期信號(hào)的頻譜及各分量的相對(duì)大小，采用了頻譜密度函數(shù)的概念。設(shè)一周期信號(hào)f(t)及復(fù)數(shù)頻譜F(nω1)，如圖2-9，將f(t)展成指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)。第46頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-9第47頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其系數(shù)即頻譜為兩邊乘以T1，得：即：第48頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三(式2-13)當(dāng)時(shí)，，由周期信號(hào)轉(zhuǎn)變成非周期信號(hào)，這時(shí)譜線間隔而離散頻率nω1變成連續(xù)頻率ω。這時(shí)但趨近一有限值，并且變成一個(gè)連續(xù)函數(shù)F(ω)，即：第49頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其中表示單位頻帶的頻譜值，即定義為頻譜密度函數(shù)，所以F(ω)稱為原函數(shù)f(t)的頻譜密度函數(shù)（簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)）若以幅度為高，以間隔ω1為寬，組成矩形如圖2-9(c)所示，則該小矩形面積等于ω＝nω1頻率處頻譜值F(nω1)這樣在非周期信號(hào)的情況下，有第50頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三（式2-14）同樣，傅立葉級(jí)數(shù)考慮譜線間隔上式可寫成在極限情況下，各變量改變?yōu)榈?1頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三所以其傅立葉級(jí)數(shù)變成積分形式，即（式2-15）上面的式2-14和式2-15就是周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)及系數(shù)，通過取極限方法得到非周期信號(hào)頻譜的表達(dá)式，稱之為傅立葉變換，通常稱式2-14為傅立葉正變換，式2-15為傅立葉逆變換。為了方便，我們給了如下定義符號(hào)第52頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三傅立葉正變換傅立葉逆變換其中F(ω)是f(t)的頻譜函數(shù)，一般為復(fù)函數(shù)可寫成：式中是的模，它代表信號(hào)f(t)中各頻率分量的相對(duì)大小，而是F(ω)的相第53頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三位函數(shù)，它表示信號(hào)中各頻譜分量之間的相位關(guān)系，所以稱為幅度頻譜，相位頻譜，如圖2-9,和都是頻率ω的連續(xù)函數(shù)，其形狀與相應(yīng)的周期信號(hào)頻譜包絡(luò)線相同，并且是ω的偶函數(shù)，是ω的奇函數(shù)。二傅立葉逆變換的三角形式與周期信號(hào)類似，其傅立葉逆變換有指數(shù)形式，也可改寫成三角函數(shù)形式，即第54頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三因?yàn)閒(t)是實(shí)函數(shù)為ω的偶函數(shù)。為ω的奇函數(shù)，上式第二項(xiàng)為零。上式可寫成第55頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三可見，非周期信號(hào)和周期信號(hào)一樣，也可以分解為許多不同頻率的正、余弦分量。所不同的是非周期信號(hào)由于周期趨于無限大，而各頻率的分量幅度趨于無限小，所以其頻譜改用頻譜密度函數(shù)表示必須指出，非周期函數(shù)傅立葉變換的存在條件是，f(t)在無限區(qū)間內(nèi)滿足絕對(duì)可積條件，即：類似于周期函數(shù)展成傅立葉級(jí)數(shù)必須滿足狄里赫利條件。第56頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.5典型非周期信號(hào)的傅立葉變換利用傅立葉變換求幾種典型非周期信號(hào)頻譜。一單邊指數(shù)信號(hào)其表達(dá)式為其中α為正實(shí)數(shù)。其傅立葉變換為：第57頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三得幅度譜相位譜波形如圖2-10第58頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-10第59頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三二雙邊指數(shù)信號(hào)其表達(dá)式為α為正實(shí)數(shù)。其傅立葉變換為第60頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三

幅度譜為相位譜為其f(t)和幅度譜如圖2-11圖2-11第61頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三三矩形脈沖信號(hào)其表達(dá)式為E為脈沖幅度，τ為脈沖寬度其傅立葉變換為第62頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其幅度譜為相位譜為因?yàn)镕(ω)為實(shí)函數(shù)，可用一條F(ω)曲線表示其幅度譜和相位譜其f(t)和F(ω)曲線如圖2-12第63頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由此可見，矩形脈沖信號(hào)其能量在時(shí)域集中在有限范圍內(nèi)，但其頻譜函數(shù)以的規(guī)律變化，分布在無限寬的頻率范圍上，但信號(hào)能量主要集中在（或）范圍，所以通常認(rèn)為這種信號(hào)占用頻率范圍（頻帶）B近似為1/τ（或2π/τ）即圖2-12第64頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三四鐘形脈沖信號(hào)鐘形脈沖也稱高斯脈沖，其表達(dá)式為其傅立葉變換第65頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三查積分表得這是一個(gè)正實(shí)數(shù)，相位譜為零，高斯信號(hào)得傅立葉變換即頻譜還是高斯型，其信號(hào)頻譜如圖2-13被積函數(shù)為兩個(gè)超越函數(shù)相乘，比較麻煩圖2-13第66頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三五升余弦信號(hào)升余弦信號(hào)表達(dá)式為：其傅立葉變換第67頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三上式化簡(jiǎn)得到其f(t)和其頻譜如圖2-14第68頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由上圖看出，升余弦脈沖的頻譜比矩形的頻譜更加集中，其絕大部分能量集中在范圍內(nèi)。圖2-14第69頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.6典型奇異函數(shù)的頻譜對(duì)于奇異函數(shù)，如沖激函數(shù)、階躍函數(shù)、符號(hào)函數(shù)等是不滿足絕對(duì)可積條件的，但其傅立葉即頻譜是存在的，不用定義求出，而用其他方法求取其頻譜函數(shù)。一沖激函數(shù)的傅立葉變換沖激函數(shù)在時(shí)域和變換域中起著十分重要作用。第70頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三1沖激函數(shù)的傅立葉變換單位沖激函數(shù)δ(t)的傅立葉變換為可見，單位沖激函數(shù)的頻譜為常數(shù)，也就是說在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，頻譜是均勻分布的，所以頻率分量幅度是相等的。稱為“均勻譜”或“白色譜”。其f(t)和其頻譜如圖2-15第71頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三2沖激函數(shù)傅立葉逆變換當(dāng)然該沖激函數(shù)是頻域的函數(shù)，即為δ(ω)可得，常數(shù)的傅立葉變換是沖激函數(shù)圖2-15第72頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三二沖激偶函數(shù)的傅立葉變換第73頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三同理可得：又由于同理得第74頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三三階躍函數(shù)的傅立葉變換階躍函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，但其頻譜函數(shù)還是存在的，采用單邊指數(shù)求極限的方法來求取。對(duì)單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜為：對(duì)于階躍函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單邊指數(shù)函數(shù)趨近于階躍函數(shù)，即第75頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三那么其頻譜為，當(dāng)時(shí)，極限函數(shù)的頻譜即為階躍函數(shù)的頻譜。當(dāng)時(shí)，第76頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三可見是一個(gè)沖激函數(shù)，求其曲線下面積即強(qiáng)度。又知第77頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三所以得階躍函數(shù)得傅立葉變換為其u(t)和其頻譜如圖2-16圖2-16第78頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其幅度譜為第79頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三四符號(hào)函數(shù)的傅立葉變換其表達(dá)式用單位階躍函數(shù)表示符號(hào)函數(shù)，即其傅立葉變換為：第80頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其幅度譜為相位頻譜為其sgn(t)和其頻譜如圖2-17第81頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-17第82頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.7傅立葉變換的基本性質(zhì)由前面可知，由傅立葉變換建立時(shí)間函數(shù)f(t)與其頻譜函數(shù)F(ω)之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在信號(hào)分析中，經(jīng)常遇到時(shí)域信號(hào)經(jīng)過某種運(yùn)算在頻域中發(fā)生了怎樣變化，反之也是這樣。利用傅立葉變換的某些性質(zhì)給信號(hào)分析帶來了很大方便。第83頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三一線性性質(zhì)若則其中ai為常數(shù)，i為正整數(shù)例：求解：第84頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三又二對(duì)稱性若則第85頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三如果f(t)是偶函數(shù)則這樣體現(xiàn)出傅立葉變換的對(duì)稱性，即f(t)的頻譜為F(ω)，那么F(t)的頻譜為f(ω)例1：求解：已知根據(jù)對(duì)稱性性質(zhì)由于為偶函數(shù)第86頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例2：求函數(shù)的傅立葉變換解：已知其根據(jù)對(duì)稱性第87頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三三反轉(zhuǎn)性質(zhì)若則例1：求u(-t)的頻譜函數(shù)解：已知根據(jù)反轉(zhuǎn)性質(zhì)第88頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三四時(shí)移特性若則例1：已知如圖2-18(a)，試求如圖2-18(b)中的傅立葉變換。第89頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解：從圖中可以看出圖2-18第90頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三五尺度變換性質(zhì)若則其中a為非零實(shí)常數(shù)。如果a＝-1，上式變成即反轉(zhuǎn)性質(zhì)，若a>1則信號(hào)f(at)表示信號(hào)f(t)沿時(shí)間軸壓縮a倍，而F(ω/a)則表示頻譜函數(shù)F(ω)沿頻率軸擴(kuò)展a倍。若0<a<1，信號(hào)f(at)沿時(shí)間軸擴(kuò)展了1/a第91頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三而F(ω/a)沿頻率軸壓縮F(ω)頻率波形的1/a倍。表明時(shí)域中的壓縮對(duì)應(yīng)著頻域中的擴(kuò)展，而對(duì)時(shí)域中的擴(kuò)展對(duì)應(yīng)著頻域中的壓縮。得出一個(gè)結(jié)論：信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與其占有的頻帶寬帶成反比。例：已知求解：第92頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三討論：首先假設(shè)f(t)和F(ω)分別對(duì)時(shí)間t和頻率ω的函數(shù)是收斂的函數(shù)。第93頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三（即t→∞,f(t)→0,ω→∞,F(ω)→0）有同樣有說明f(t)與F(ω)所覆蓋的面積分別等于F(ω)與2πf(t)在零點(diǎn)的數(shù)值F(0)和2πf(0)第94頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三六頻移特性若則可見，若時(shí)間信號(hào)f(t)乘以等效于f(t)的頻譜F(ω)沿頻率軸右移ω0，或者若時(shí)間信號(hào)f(t)乘以等效于f(t)的頻譜F(ω)沿頻率軸左移ω0。

有時(shí)也稱為頻譜搬移性質(zhì)，在通信系第95頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等，如：頻譜搬移實(shí)現(xiàn)原理為f(t)乘以載頻信號(hào)或，其頻譜為第96頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例1：已知矩形調(diào)幅信號(hào)如圖2-19，其中G(t)為矩形脈沖，脈沖幅度為E，脈寬為τ，求f(t)頻譜。圖2-19第97頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解：對(duì)于矩形脈沖頻譜前面已知所以有第98頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例2已知f(t)=cos(ω0t)，求f(t)的頻譜。解：根據(jù)頻移性質(zhì)：第99頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三可見周期余弦信號(hào)的傅立葉變換完全集中在±ω0處，并且是對(duì)沖激，說明周期信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件。七微分特性1時(shí)域微分特性若則第100頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例：求解：由微分特性：2頻域微分特性若則第101頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三八積分性質(zhì)1時(shí)域積分性質(zhì)若則例：如圖2-20截平斜變函數(shù)y(t)，求y(t)頻譜。圖2-20第102頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解：圖2-20的截平、斜變函數(shù)表達(dá)式為：利用積分性質(zhì)，求y(t)的頻譜Y(ω)，把y(t)看成脈幅為1/t0，脈寬為t0的矩形脈沖f(t)的積分，即其中第103頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三得f(t)的頻譜F(ω)為利用積分性質(zhì)求得：第104頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由于F(0)=1，所以2頻域積分性質(zhì)若，則：此特性應(yīng)用較少，不多加討論。第105頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三九卷積定理（卷積性質(zhì)）1時(shí)域卷積性質(zhì)若給定兩個(gè)時(shí)間函數(shù)并知：則說明兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于兩個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積，即時(shí)域兩信號(hào)卷積等效于頻域中頻譜相乘。第106頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三2頻域卷積性質(zhì)若，則其中說明兩時(shí)間函數(shù)相乘的頻譜等效于兩個(gè)函數(shù)頻譜的卷積。例：已知第107頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三求余弦脈沖的頻譜。解：余弦脈沖f(t)可看作由矩形脈沖與余弦周期信號(hào)相乘，如圖2-21，其表達(dá)式為第108頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-21第109頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其的頻譜為而且：根據(jù)頻域卷積性質(zhì)第110頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三整理簡(jiǎn)化為：例：如圖2-22(a)，試求該信號(hào)f(t)的傅立葉變換F(ω)第111頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-22第112頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解：f(t)可看出是f1(t)和f2(t)卷積得到的，即其中根據(jù)時(shí)域卷積性質(zhì)：第113頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.8周期信號(hào)的傅立葉變換為了統(tǒng)一分析周期信號(hào)和非周期信號(hào)的方法，使傅立葉變換這一數(shù)學(xué)工具應(yīng)用更廣泛。雖然周期信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件不能用傅立葉變換積分公式去求取，而其周期函數(shù)的頻譜還是客觀存在的，可以通過另外辦法求取。尤其沖激函數(shù)存在是有意義的。在數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明，所以絕對(duì)可積條件已成為不必要的限制條件。第114頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三一正弦、余弦信號(hào)的傅立葉變換雖然前面已介紹了，這里還想講解一下若，由頻移性質(zhì)令則同理，根據(jù)歐拉公式第115頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三得：由上看出，復(fù)指數(shù)信號(hào)，余弦和正弦信號(hào)的傅立葉變換是在處的沖激函數(shù)。一般周期信號(hào)的傅立葉變換令周期函數(shù)f(t)的周期為T1，角頻率為此周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)為：兩邊取傅立葉變換：第116頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三以上便是周期信號(hào)f(t)的傅立葉變換的公式其中Fn為傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)由公式看出，周期信號(hào)f(t)的傅立葉變換是由一些頻域中沖激函數(shù)組成，且這些沖激函數(shù)位于周期信號(hào)的諧頻處，即：第117頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三每個(gè)沖激的強(qiáng)度等于f(t)的傅立葉級(jí)數(shù)的相應(yīng)系數(shù)Fn的2π倍。還可以看出，周期信號(hào)的頻譜是離散的，這和前面f(t)展成傅立葉級(jí)數(shù)得到概念是一致的。注意，由于傅立葉變換是反映頻譜密度的概念，因此傅立葉變換不同于傅立葉級(jí)數(shù)，得到的頻譜是一系列沖激函數(shù)，表明在無窮小的頻率范圍內(nèi)（即頻譜點(diǎn)），取得了無限大的頻譜值，而不是有限值。第118頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)與相應(yīng)單脈沖的傅立葉變換的關(guān)系。周期信號(hào)f(t)的傅立葉級(jí)數(shù)其傅立葉系數(shù)為從周期信號(hào)f(t)中截取一個(gè)周期，得到一個(gè)非周期的單脈沖信號(hào)f0(t)，其傅立葉變換為：第119頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三比較Fn和F0(ω)式，看出我們得出，周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)Fn等于其非周期單脈沖信號(hào)的傅立葉變換F0(ω)在nω1頻率點(diǎn)的值乘以，這樣利用單脈沖傅立葉變換式可以很方便的求出相應(yīng)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。第120頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三例：?jiǎn)挝粵_激序列為求該單位沖激序列的傅立葉級(jí)數(shù)。解：該序列的傅立葉級(jí)數(shù)為其中傅立葉級(jí)數(shù)為：第121頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由此看出，單位沖激序列傅立葉級(jí)數(shù)只包含有位于的頻率分量，并且每個(gè)頻率分量的大小是相等的，均等于。例：已知周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的幅度為E，脈寬為τ，周期為T1，角頻率為如圖2-23，求周期脈沖信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換。圖2-23第122頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三解：利用本節(jié)給出的方法求解，相同的單脈沖f0(t)的傅立葉變換為那么對(duì)應(yīng)周期脈沖的傅立葉系數(shù)為圖2-23第123頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三則傅立葉級(jí)數(shù)為：其傅立葉變換為：第124頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三§2.9抽樣信號(hào)的傅立葉變換抽樣信號(hào)這里提出的“抽樣”是利用抽樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中抽取一系列的離散樣值，這種離散信號(hào)常稱為“抽樣信號(hào)”，用fs(t)表示，如圖2-24所示。這里和前面稱為抽樣函數(shù)的Sa(t)具有完全不同的含義，這里的抽樣也可成為“采樣”或“取樣”。第125頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-24第126頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三其抽樣系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的原理如圖2-25，連續(xù)信號(hào)經(jīng)過抽樣電路實(shí)現(xiàn)抽樣后，變成了抽樣信號(hào)，一般情況下，往往需要經(jīng)量化、編碼變成數(shù)字信號(hào)。這種數(shù)字信號(hào)經(jīng)過傳輸，在接收目的點(diǎn)進(jìn)行上述過程的逆過程，恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)?；谏鲜鲈順?gòu)成的數(shù)字通信系統(tǒng)與模擬通信系統(tǒng)比較，具有很多優(yōu)越性，應(yīng)用越來越廣泛。圖2-25第127頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三二時(shí)域抽樣令連續(xù)信號(hào)f(t)的傅立葉變換為抽樣脈沖序列p(t)的傅立葉變換為抽樣后信號(hào)fs(t)的傅立葉變換為若采用均勻抽樣，抽樣周期為Ts，抽樣頻率為第128頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三一般情況，抽樣過程是由乘法器來完成的，通過抽樣脈沖序列p(t)與連續(xù)信號(hào)f(t)相乘來完成，即：其p(t)的傅立葉變換為：根據(jù)頻域卷積性質(zhì)：第129頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三由上式看出，時(shí)間連續(xù)信號(hào)經(jīng)抽樣后，其頻譜Fs(ω)是連續(xù)信號(hào)頻譜F(ω)的波形以抽樣頻率ωs為間隔周期重復(fù)得到的，在重復(fù)過程中，其幅度被p(t)的傅立葉系數(shù)Pn所加權(quán)，因?yàn)镻n為n的函數(shù)（不是ω的函數(shù)），所以F(ω)在重復(fù)過程中，一般不會(huì)發(fā)生波形的變化。由于Pn為n的函數(shù)，其抽樣脈沖不同，Pn函數(shù)波形不同，分別進(jìn)行討論。第130頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三1矩形脈沖抽樣抽樣脈沖p(t)是矩形，幅度為E，脈寬為τ，抽樣角頻率為ωs，抽樣間隔為每個(gè)抽樣寬度為τ，所以抽樣信號(hào)fs(t)在抽樣期間(τ)脈沖頂部不是平的(隨f(t)變化)，如圖2-26，這種抽樣稱為“自然抽樣”第131頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三圖2-26第132頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三那么，抽樣脈沖p(t)的傅立葉系數(shù)為：所以，看出，以為周期重復(fù)，其幅度以的規(guī)律變化，如圖2-26。第133頁，共145頁，2023年，2月20日，星期三2沖激抽樣若抽樣脈沖p(t)為沖激序列，稱為“沖激抽樣”或“理想抽樣”。其抽樣脈沖為抽樣信號(hào)fs(t)為由此看出，抽