第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法

第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法第1頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三本章重點(diǎn)：掌握用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，掌握參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；掌握一階、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)的求取，以及對系統(tǒng)快速性性能改善的措施,學(xué)會用主導(dǎo)極點(diǎn)的方法分析高階系統(tǒng)的快速性；掌握系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的求取方法，以及對系統(tǒng)控制精度的改善措施。第2頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三穩(wěn)、準(zhǔn)、快第3頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三1.穩(wěn)定性概念和穩(wěn)定的條件穩(wěn)定的概念系統(tǒng)工作在平衡狀態(tài)，受到擾動(dòng)作用偏離了平衡狀態(tài)，擾動(dòng)消失之后，若系統(tǒng)能恢復(fù)到平衡狀態(tài)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性只由結(jié)構(gòu)、參數(shù)決定，與初始條件及外作用無關(guān)。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件若有一系統(tǒng)，受到一擾動(dòng)δ(t)后，會產(chǎn)生一個(gè)輸出偏差c(t)，當(dāng)t→∞時(shí)，3.1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第4頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三用部分分式展開Aj將閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部用σi表示r(t)=δ(t),則R(s)=1有第5頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部。判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本方法：

(1)

勞斯判據(jù)

(2)

根軌跡法

(3)

奈奎斯特判據(jù)

(4)

李雅普諾夫第二方法

第6頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三2.勞斯穩(wěn)定判據(jù)(Routh’sstabilitycriterion)勞斯表：系統(tǒng)特征方程為：穩(wěn)定的必要條件：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正值，且無零系數(shù)。勞斯判據(jù)能夠判定出特征方程的根關(guān)于S平面虛軸的分布情況，進(jìn)而間接的判定出系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第7頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)特征方程為：sn

a0a2

a4a6……sn-1

a1a3a5a7

……sn-2b1b2b3b4……sn-3

c1c2c3c4……………s2

f1f2s1

g1s0

h1第8頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三判據(jù)：穩(wěn)定的充要條件：如果勞斯表中第一列所有元素的系數(shù)都為正值，則特征方程的根均在S的左半平面，對應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的如果勞斯表中第一列元素的系數(shù)有變化，其變化的次數(shù)等于則特征方程的根在S的右半平面的個(gè)數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)不穩(wěn)定。第9頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三3、舉例例3-1

已知某控制系統(tǒng)的特征方程為

：試用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3-2

已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的k的取值范圍及臨界放大系數(shù)kp。第10頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三4、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況例3-3

設(shè)系統(tǒng)特征方程為s4+s3+3s2+3s+2=0，試用勞斯穩(wěn)定

判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3-4

設(shè)系統(tǒng)特征方程為s5+s4+3s3+3s2+2s+2=0，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)勞斯表中出現(xiàn)全零行時(shí)，用上一行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程，對輔助方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，然后對新特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。對應(yīng)系統(tǒng)有對稱于原點(diǎn)的根（由輔助方程可求出該根），系統(tǒng)不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定。某行的第一列項(xiàng)為0，而其余各項(xiàng)不為0或不全為0。用趨于零的正數(shù)代替零元素，然后對新特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。對應(yīng)的系統(tǒng)存在位于s右半平面的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第11頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三5、系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的判定

j0s平面s1平面為給定穩(wěn)定裕度以特征方程最靠近虛軸的根和虛軸的距離來表征系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性做法：以s=s1-帶入原系統(tǒng)的特征方程，對s1變量應(yīng)用勞斯判據(jù)。例3-5

已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試用勞斯判據(jù)分別判定使得系統(tǒng)穩(wěn)定和具有α=1的穩(wěn)定裕度的K的取值范圍。第12頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三6、對結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)措施

僅僅通過調(diào)整參數(shù)無法穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。C(s)R(s)

-改變積分環(huán)節(jié)的性質(zhì)

-

-引入比例微分環(huán)節(jié)C(s)R(s)

-第13頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三3.2系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)第14頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三1、典型測試信號（typicaltestsignals）第15頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第16頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第17頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第18頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第19頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)：由動(dòng)態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。

動(dòng)態(tài)過程：指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。又稱過渡過程、瞬態(tài)過程。由于系統(tǒng)具有慣性、摩擦、阻尼等原因。穩(wěn)態(tài)過程：指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。

相應(yīng)地，系統(tǒng)的性能分為動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。2、系統(tǒng)的響應(yīng)第20頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三3、動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能（transientresponseandsteady-stateresponse）h(t)t時(shí)間tr上升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%c(t)t調(diào)節(jié)時(shí)間tsc(t)t時(shí)間tr上升峰值時(shí)間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%調(diào)節(jié)時(shí)間ts動(dòng)態(tài)性能第21頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三上升時(shí)間td：指響應(yīng)第一次達(dá)到其終值一半所需要的時(shí)間。上升時(shí)間tr：指輸出響應(yīng)第一次到達(dá)終值所需要的時(shí)間；峰值時(shí)間tp：響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需時(shí)間。

調(diào)節(jié)時(shí)間ts：響應(yīng)到達(dá)并保持在誤差帶內(nèi)所需的最小時(shí)間，

通常取±0.05c(∞)[或0.02c(∞)]為誤差帶。

超調(diào)量%：響應(yīng)的最大偏離量c(tp)與終值c(∞)之差與終值h(∞)的百分比，即第22頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三

c(t)0c(∞)穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗繞動(dòng)能力的一種度量。誤差信號：穩(wěn)態(tài)誤差：第23頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第24頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第25頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三3.3一階系統(tǒng)的時(shí)域分析下面分別就不同的典型輸入信號，分析該系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。定義：輸出的時(shí)域解：第26頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三1、單位階躍響應(yīng)（unit-stepresponse）取拉氏反變換得：第27頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第28頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三2、單位脈沖響應(yīng)（unit-impulseresponse）性能指標(biāo)：第29頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三3、單位斜坡響應(yīng)（unit-rampresponse）當(dāng)輸入信號為單位斜坡函數(shù)r(t)=t時(shí)，R(s)=1/s2，系統(tǒng)的輸出為：取拉氏反變換得：動(dòng)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量誤差信號：第30頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第31頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三4、單位加速度響應(yīng)（unit-accelerationresponse）誤差信號：取拉氏反變換得：第32頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第33頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三3.4二階系統(tǒng)的時(shí)域分析1、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型定義：二二第34頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第35頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三其中為了使研究的結(jié)果具有普遍意義，將上式寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式：記住該標(biāo)準(zhǔn)形式第36頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第37頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)欠阻尼()二階系統(tǒng)=cos0-s1

ωn-σ

-s2

j

jdσ稱為衰減系數(shù)，ωd叫做阻尼振蕩頻率第38頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三c(t)對上式取拉氏反變換得：稱為阻尼角第39頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三穩(wěn)態(tài)分量為1，表明上述二階系統(tǒng)在單位階躍信號作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差。瞬態(tài)分量由閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定，衰減速度取決于衰減系數(shù)σ，振蕩頻率取決于第40頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三臨界阻尼()二階系統(tǒng)

j

0-nc(t)穩(wěn)態(tài)分量為1，表明上述二階系統(tǒng)在單位階躍信號作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差。瞬態(tài)分量由閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定，衰減速度取決于第41頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三無阻尼()二階系統(tǒng)

jjn-jn

0階躍響應(yīng)：為一條不衰減的等幅余弦振蕩曲線。第42頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三過阻尼()二階系統(tǒng)c第43頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第44頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三3、欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析第45頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三1）延遲時(shí)間td單位階躍響應(yīng)c第46頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三2）上升時(shí)間tr單位階躍響應(yīng)c第47頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三單位階躍響應(yīng)3）峰值時(shí)間tp第48頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三單位階躍響應(yīng)4）超調(diào)量σ%c第49頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第50頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三5）調(diào)節(jié)時(shí)間ts單位階躍響應(yīng)第51頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三6）穩(wěn)態(tài)誤差第52頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三二階系統(tǒng)在斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差第53頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三4、過阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析c1）延遲時(shí)間td同欠阻尼情況相似（近似情況仍然成立）2）上升時(shí)間tr3）調(diào)節(jié)時(shí)間ts圖3-17圖3-16第54頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三例3-6試討論下圖所示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)同結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系。例3-7對于上圖所示系統(tǒng)，若已知.試求

（1）系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo).

（2）若欲使，但保持不變時(shí)，K0應(yīng)取何值？R(s)C(s)(-)第55頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三5、二階系統(tǒng)在斜坡信號作用下的響應(yīng)（自己看）cc第56頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三6、二階系統(tǒng)的性能改善1）比例-微分(PD)控制第57頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三令得到結(jié)論：第58頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)的階躍響應(yīng)：c第59頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三峰值時(shí)間、上升時(shí)間、延遲時(shí)間均提前，超調(diào)增大、振蕩加劇、調(diào)節(jié)時(shí)間拉長。第60頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三2）測速反饋控制第61頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第62頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三例3-8

如圖示某單位負(fù)反饋二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，

試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。第63頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三3.5高階系統(tǒng)的時(shí)域分析1、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)用部分分式展開有：對上式進(jìn)行拉氏反變換有：第64頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三高階系統(tǒng)性能分析：3）極點(diǎn)的性質(zhì)決定瞬態(tài)分量的類型：實(shí)數(shù)極點(diǎn)非周期瞬態(tài)分量；共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)阻尼振蕩瞬態(tài)分量。1）高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成。2）如果所有閉環(huán)極點(diǎn)都在s平面的左半平面，則隨著時(shí)間t→∞，c(∞)=A0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。極點(diǎn)距虛軸的距離決定了其所對應(yīng)的暫態(tài)分量衰減的快慢，距離越遠(yuǎn)衰減越快；4）衰減系數(shù)pj、kk第65頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三2、系統(tǒng)零點(diǎn)分布對時(shí)域響應(yīng)的影響2）通常如果閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的距離比其模值小一個(gè)數(shù)量級，則該極點(diǎn)和零點(diǎn)構(gòu)成一對偶極子，可以對消。1）系統(tǒng)零點(diǎn)影響各極點(diǎn)處的留數(shù)的大?。锤鱾€(gè)瞬態(tài)分量的相對強(qiáng)度），如果在某一極點(diǎn)附近存在零點(diǎn)，則其對應(yīng)的瞬態(tài)分量的強(qiáng)度將變小。一對靠得很近的零點(diǎn)和極點(diǎn)其瞬態(tài)響應(yīng)分量可以忽略。第66頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三主導(dǎo)極點(diǎn)：距虛軸最近、實(shí)部的絕對值為其它極點(diǎn)實(shí)部絕對值的1/5或更小，且其附近沒有零點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)，對高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用。高階系統(tǒng)，如果能夠找到主導(dǎo)極點(diǎn)，就可以忽略其它遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)和偶極子的影響，近似為一階或二階系統(tǒng)進(jìn)行處理。3、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)第67頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三三階系統(tǒng)二階系統(tǒng)第68頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算穩(wěn)定是系統(tǒng)工作的前提第69頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三1、穩(wěn)態(tài)誤差的定義1）輸入端定義：在實(shí)際系統(tǒng)中是可以測量的2）輸出端定義：輸出的期望值和實(shí)際值之差3）兩種定義之間的關(guān)系第70頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)終值定理，求穩(wěn)態(tài)誤差誤差傳遞函數(shù)第71頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三2、系統(tǒng)類型注意系統(tǒng)型別和階次的區(qū)別將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成時(shí)間常數(shù)形式：第72頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三3、階躍信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差輸入信號：令稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)第73頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三4、斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差輸入信號：令稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)第74頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第75頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三5、拋物線信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差輸入信號：令稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)第76頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三第77頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三

減小或消除誤差的措施：提高系統(tǒng)的型別

、增加開環(huán)增益

K。但會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降，振蕩加劇，動(dòng)態(tài)性能變差。第78頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三例3-9設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求系統(tǒng)的。例3-10引入比例加微分控制的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖，若已知輸

入信號為，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。C(s)R(s)

-第79頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三C(s)R(s)

-系統(tǒng)的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和快速性之間的矛盾關(guān)系！第80頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三6、擾動(dòng)信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差擾動(dòng)造成的誤差為：第81頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三對擾動(dòng)作用來講，減小或消除誤差的措施：增大擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通路增益、增大擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通路積分環(huán)節(jié)數(shù)。具有相同開環(huán)傳遞函數(shù)，但擾動(dòng)作用點(diǎn)不同的兩系統(tǒng)：C(s)

N(s)(-)E(s)R(s)

N(s)(-)E(s)C(s)R(s)第82頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三

N(s)C(s)

R(s)(-)例3-11某單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。試求系

統(tǒng)在給定輸入信號和單位階躍擾動(dòng)輸入信號

共同作用下系統(tǒng)輸出量穩(wěn)態(tài)誤差。第83頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三為了減小或消除給定穩(wěn)態(tài)誤差，必須增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)或增加前向通道傳遞函數(shù)中的零值極點(diǎn)個(gè)數(shù)；為了減小或消除擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差，則必須增大E(s)到擾動(dòng)作用點(diǎn)間傳遞系數(shù)的零值極點(diǎn)或增大放大系數(shù)。但穩(wěn)定性變差。7、提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的措施若輸入信號和擾動(dòng)信號可以檢測時(shí)，可引進(jìn)與給定作用有關(guān)或與擾動(dòng)作用有關(guān)的附加控制構(gòu)成復(fù)合控制的方法，減小穩(wěn)態(tài)誤差。還可以采用串級控制抑制內(nèi)回路的擾動(dòng)。第84頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三1）按給定輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制C(s)R(s)

-Gc(s)

G2(s)E(s)

G1(s)對給定作用實(shí)現(xiàn)完全不變性的條件第85頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三2）按擾動(dòng)輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制C(s)R(s)

(-)Gc(s)G1(s)

G2(s)N(s)E(s)

(-)對擾動(dòng)作用實(shí)現(xiàn)完全不變性的條件第86頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三3）采用串級控制采用雙閉環(huán)控制的轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，轉(zhuǎn)速環(huán)為外環(huán)，電流環(huán)為內(nèi)環(huán)。外環(huán)用來消除外部擾動(dòng)（一次繞動(dòng)），內(nèi)環(huán)用來消除內(nèi)部擾動(dòng)（二次擾動(dòng)）。詳見P119（可結(jié)合P67作業(yè)2-16），自己看！第87頁，共91頁，2023年，2月20日，星期三1．系統(tǒng)的傳遞函數(shù)完全決定于系統(tǒng)的().A．輸入信號B.輸出信號C.結(jié)構(gòu)和參數(shù)D.擾動(dòng)信號2．線性定?？刂葡到y(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的類型完全決定于系統(tǒng)的()。

A．開環(huán)增益B.開環(huán)極點(diǎn)在S平面上的位置

C．型別D.