第三節(jié)絕對(duì)收斂與條件收斂

第三節(jié)絕對(duì)收斂與條件收斂第1頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法1、定義:

正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).萊布尼茨定理只能用來判定交錯(cuò)級(jí)數(shù).

第2頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三證明滿足收斂的兩個(gè)條件,定理證畢.第3頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三收斂收斂收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂例1用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:第4頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三解故原級(jí)數(shù)收斂.第5頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三3、三點(diǎn)說明:(1)滿足條件

(i)(ii)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)為萊布尼茨型級(jí)數(shù).(2)兩個(gè)條件

(i)(ii)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的充分條件.若不滿足條件

(ii),則交錯(cuò)級(jí)數(shù)必發(fā)散.若不滿足條件

(i),交錯(cuò)級(jí)數(shù)未必發(fā)散.例如收斂.(3)應(yīng)用萊布尼茨定理判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性必須驗(yàn)證這兩個(gè)條件,缺一不可.第6頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)：判別下列級(jí)數(shù)的收斂性.收斂收斂收斂發(fā)散第7頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三二、絕對(duì)收斂與條件收斂1、定義:

一般項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).證明定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)第8頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;則(1)

當(dāng)

0

1

時(shí),(2)

當(dāng)

1

時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;(3)

當(dāng)

1

時(shí),級(jí)數(shù)斂散性需另行判定.定理(Page244)說明:第9頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三解故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例1

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性.若收斂,指出是條件收斂還是絕對(duì)收斂.故原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)發(fā)散.第10頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三(1)當(dāng)p

0

時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;(2)當(dāng)0<p

1

時(shí),級(jí)數(shù)條件收斂;(3)當(dāng)p

>1

時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(1)當(dāng)0<x

<1

時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂

;(2)當(dāng)x

=1

時(shí),級(jí)數(shù)條件收斂;(3)當(dāng)x

>1

時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散

.(絕對(duì)收斂)第11頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三(A)發(fā)散.(B)條件收斂.(C)絕對(duì)收斂.(D)斂散性與

k

有關(guān).B(條件收斂)(條件收斂)第12頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三解(1)當(dāng)p

0

時(shí),故級(jí)數(shù)發(fā)散.(2)當(dāng)p

>0時(shí),當(dāng)p

>1

時(shí),故級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)0<p

1

時(shí),即原級(jí)數(shù)條件收斂.故:當(dāng)p

0

時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)0<p

1

時(shí),級(jí)數(shù)條件收斂;當(dāng)p

>1

時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.第13頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三解(1)當(dāng)x

>1

時(shí),故級(jí)數(shù)發(fā)散.故:當(dāng)0<x

<1

時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂

;當(dāng)x

=1

時(shí),級(jí)數(shù)條件收斂;當(dāng)x

>1

時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散

.(2)當(dāng)x=1時(shí),級(jí)數(shù)條件收斂.(3)當(dāng)0<x

<1

時(shí),即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.第14頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三解故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.第15頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三解故原級(jí)數(shù)條件收斂.第16頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三三、小結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);第17頁，共18頁，2023年，2月20日，星期三如何判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性?若收斂,要指出