課外拓展系列代數(shù)式初一數(shù)學

代數(shù)式風子編輯(biānjí)第一頁，共21頁。1分類(fēnlèi)代數(shù)式有理式無理式被開方數(shù)是否含有(hányǒu)字母整式(zhěnɡshì)分式分母中是否含有字母單項式式子中是否有加減運算多項式第二頁，共21頁。2概念(gàiniàn)代數(shù)式：由數(shù)、表示數(shù)的字母和運算符號組成的數(shù)學表達式。運算符號指加、減、乘、除乘方和開方等。單獨一個數(shù)或一個字母也稱為(chēnɡwéi)代數(shù)式。用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結果叫代數(shù)式的值。案例(ànlì)：1、x-32、〔a+b〕23、x4、105、3x6、a2+ab+b2第三頁，共21頁。3概念(gàiniàn)代數(shù)式的書寫格式：1、代數(shù)式中數(shù)和表示數(shù)的字母相乘，或字母和字母相乘時，乘號可以(kěyǐ)省略不寫，或用“●〞來代替。數(shù)和字母相乘，在省略乘號時，要把數(shù)字寫在字母的前面。如n×2寫成2n，不要寫成n2。2、一般按英文字母順序來書寫，y×x×2=2xy3、帶分數(shù)與字母相乘時，假設要省略乘號，須把帶分數(shù)化成假分數(shù)。4、當數(shù)字因數(shù)是1或-1時，通常省略不寫。5、代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時，一般按照分數(shù)的寫法來寫。6、寫代數(shù)式的答案時，假設是乘、除關系，單位名稱直接寫在式子后面；假設是加減關系時，必須把式子用括號括起來。第四頁，共21頁。4習題(xítí)用代數(shù)式表示：1、1〕x的2倍與3的和；2〕a、b、c的平均數(shù)；

2、一輛汽車以80km/h的速度行駛，從A城到B城需t〔h〕。如果該車的行駛速度增加(zēngjiā)v〔km/h〕，那么從A城到B城需多少時間？3、甲數(shù)比乙數(shù)的2倍少1。設乙數(shù)為x，用關于x的代數(shù)式表示甲數(shù)。4、大米單價為每千克a元，食油的單價為每千克b元。買10千克大米、2千克食油共需多少元？5、當x分別取以下值式，求代數(shù)式4-3x的值：1〕x=12〕x=4/33〕x=-5/66、當a=3，b=-2/3時，求以下代數(shù)式的值：1〕2ab2〕a2+2ab+b2第五頁，共21頁。5整式(zhěnɡshì)及合并同類項整式(zhěnɡshì)單項式〔由數(shù)與字母或字母與字母相乘(xiānɡchénɡ)組成的代數(shù)式〕多項式〔由幾個單項式相加組成的代數(shù)式〕系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)；單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和；項：在多項式中的每個單項式；常數(shù)項：不含字母的項。同類項：所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同。與字母順序無關，與系數(shù)無關。合并同類項的法那么：同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。多項式排列：1、變更項的位置時，一定要連同符號一起移動；2、確定排列的字母；3、確定按升序還是降序排列。第六頁，共21頁。6習題(xítí)1、區(qū)分整式類型(lèixíng)及系數(shù)，并指出是幾次多項式？書本P.98’2、合并以下多項式的同類項1〕2a2b-3a-3a2b+2a2〕6xy-10x2-5yx+7x23〕3ab-4a+2ab-5a-1第七頁，共21頁。7整式(zhěnɡshì)的加減代數(shù)式運算的去括號法那么：括號前是“+〞號，把括號和它前面的“+〞號去掉(qùdiào)，括號里各項都不變；括號前是“-〞號，把括號和它前面的“-〞去掉(qùdiào)，括號里各項都改變符號。比方：+〔a+b-c〕=a+b-c-〔a+b-c〕=-a-b+c練習(liànxí)：化簡下面代數(shù)式：2〔a2-ab〕-〔2a2-3ab〕2〔a2-1〕-(a2-2a-2)第八頁，共21頁。8拓展訓練(xùnliàn)—重要事項1、標準代數(shù)式的書寫標準；2、與整式相對應的是分式，整式中的除式或分母(fēnmǔ)不含有字母；3、整式的加減運算可歸結為去括號和合并同類項；4、乘法與除法互為逆運算，乘方運算是乘法運算的延伸與拓展；5、常用的乘法公式如下：1〕平方差公式：〔a+b〕〔a-b〕=a2-b22〕完全平方公式：〔a±b〕2=a2±2ab+b23〕立方和〔差〕公式：a3+b3=〔a+b〕〔a2-ab+b2〕a3-b3=〔a-b〕〔a2+ab+b2〕4〕和〔差〕立方公式：〔a±b〕3=a3±3a2b+3ab2±b35、在整式運算中，要著重注意運算順序和運算符號。舉一反三(jǔyīfǎnsān):(a+b+c)2=?〔a2-b2〕2=?第九頁，共21頁。9拓展訓練(xùnliàn)—案例題例1：設有理數(shù)a、b滿足(mǎnzú)a=-2b+4，問6a-3b與8a+b-1哪個大？大多少？【分析】這題是兩個代數(shù)式比較大小。比較大小，我們一般可以采用減法(jiǎnfǎ)。解：〔6a-3b〕-〔8a+b-1〕=6a-3b-8a-b+1=-2a-4b+1=-2〔a+2b〕+1=-2×4+1=-7所以，8a+b-1比較大，且大7。第十頁，共21頁。10拓展訓練(xùnliàn)—案例題例2：化簡以下(yǐxià)各式：1〕(2x-3y)2(2x+3y)-(3y-2x)(3y+2x)22〕(x3+x2+x+1)(x3-x2+x-1)-(x3+x2+x+2)(x3-x2+x-2)【分析】化簡代數(shù)式，需要先觀察代數(shù)式的規(guī)律，在運用相應的方法(fāngfǎ)。代數(shù)式1〕兩個單項式中，有相同的組成元素(2x-3y)(2x+3y)，而相同局部又符合平方差公式；代數(shù)式2〕中，兩個單項式局部相同，因此用字母來替代相同局部。解：1〕原式=(2x-3y)(2x+3y)[(2x-3y)-(2x+3y)]=(4x2-9y2)×〔-6y〕=54y3-24x2y2〕設x3+x2+x+1=A，x3--x2+x-1=B，那么：原式=AB-(A+1)(B-1)=AB-(AB-A+B-1)=A-B+1=2x2+3第十一頁，共21頁。11拓展訓練(xùnliàn)—案例題例3：|x+y-9|與〔2x-y+3〕2互為相反數(shù)，求x-2y的值？【分析】此題涉及兩個知識點：1〕非負數(shù)。我們已經學過的非負數(shù)有|a|、a2、a的算術平方根；2〕兩個相反數(shù)相加和為0。解：因為|x+y-9|+〔2x-y+3〕2=0所以，有：x+y-9=02x-y+3=0兩式相減，得：x-2y=-12備注：如果幾個非負數(shù)的和等于零，那么(nàme)每個非負數(shù)必定都等于零。第十二頁，共21頁。12拓展(tuòzhǎn)訓練—案例題例4：a=m+1/2，b=m-1/2，c=m+1/2，求a2+2b2+c2-ab-3bc的值?！痉治觥扛鶕兞恐?，求代數(shù)式的值，最直接的方法就是代入法，此題最直接的做法就是把a、b、c的值分別代入代數(shù)式中求值。但是觀察代數(shù)式，我們可以先進行化簡，使代數(shù)式簡化。代數(shù)式的變量越多，往往越麻煩，那么我們觀察條件，發(fā)現(xiàn)a=c，因此先減少代數(shù)式的變量，再化簡，這樣可以更加簡單。解：方法一：直接代入法〔動手(dòngshǒu)試試〕方法二：化簡代數(shù)式〔動手(dòngshǒu)試試〕方法三：因為a=c所以，有：原式=a2+2b2+a2-ab-3ab=2a2+2b2-4ab=2〔a-b〕2=2第十三頁，共21頁。13拓展(tuòzhǎn)訓練—案例題例5：x-y=m，y-z=n，試求多項式x2+y2+z2-xy-yz-zx的值?！痉治觥坎豢紤]系數(shù)，代數(shù)式中存在x2、y2、xy，那么我們首先應該考慮到用完全平方(píngfāng)公式。因此，可以嘗試對原式按照完全平方(píngfāng)公式格式進行變形。變形后，會發(fā)現(xiàn)條件不夠，那么需要從條件去推導。解：因為x-y=m，y-z=n，所以兩式相加有x-z=m+n

原式=[(x2-2xy+y2)+(y2-2yz+x2)+(z2-2xz+x2)]

=[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2]

=(m2+n2+2mn+m2+n2)

=m2+mn+n2在此題的解題過程(guòchéng)中，用到了添項、配湊與配方等方法技巧，這些方法在恒等變形中非常重要，不僅要牢牢掌握，還要能靈活應用。第十四頁，共21頁。14拓展訓練(xùnliàn)—案例題例6：x2-4x+1=0，求x4-5x3+6x2-5x的值?！痉治觥?〕由可得x2=4x-1，因此可以對代數(shù)式進行不斷(bùduàn)的降次，以簡化代數(shù)式。這個方法比較繁瑣。2〕把代數(shù)式配成A(x2-4x〕形式，以到達快速降次；3〕使代數(shù)式變成A〔x2-4x+1〕+B形式，我們可以采用多項式的豎式除法。解：方法一〔x2=4x-1〕：原式=〔4x-1〕2-5x〔4x-1〕+6〔4x-1〕-5x方法二〔x2-4x=-1〕：原式=x2〔x2-4x〕-x〔x2-4x〕+2〔x2-4x〕+3x方法三〔多項式豎式除法〕：原式除以x2-4x+1，商為x2-x+1，余式為-1，那么有：原式=〔x2-4x+1〕〔x2-x+1〕-1第十五頁，共21頁。15拓展(tuòzhǎn)訓練—案例題例7：假設(jiǎshè)且xy+yz+zx=99，求2x2+12y2+9z2的值?！痉治觥恳阎獥l件按正比例時，一般可以設解：設，則有x=3k，y=k，z=2k

代入xy+yz+zx=99，得：3k2+2k2+6k2=99

即：k2=9

所以，有：

原式=18k2+12k2+36k2=66k2=594

第十六頁，共21頁。16拓展訓練(xùnliàn)—案例題例8：多項式x3-3x2+5x+a能被多項式x2-x+3整除(zhěngchú)，求常熟a的值。【分析】解決此題有兩條思路：1〕利用豎式除法，其余式中應含有a的代數(shù)式，使其為0，可得a的值。2〕可根據兩個多項式相等的定義，利用待定系數(shù)法求解(qiújiě)。待定系數(shù)法是解決數(shù)學問題的重要方法，必須牢牢掌握?！卜椒ㄒ蛔约簢L試〕解：方法二：〔待定系數(shù)法〕原式=〔x2-x+3〕〔x+m〕………….思考為什么是x+m=x3+〔m-1)x2+〔3-m〕x+3m對照兩個多項式，得：m-1=-33-m=53m=a解得：m=-2，故a=-6第十七頁，共21頁。17拓展訓練(xùnliàn)—案例題例9：a2+b2=2，c2+d2=2，ac=bd，求證(qiúzhèng)a2+c2=2，ab=cd【分析】在解決數(shù)學問題時，在沒有太多明確思路時，往往需要去嘗試(chángshì)。此題條件與需求證的多項式，存在某種關系。因此，我們需要找到能夠交換位置的方法。證明：∵(a2+b2-2)2+(c2+d2-2)2+2(ac-bd)2=a4+b4+c4+d4+2a2b2+2c2d2+2a2c2+2b2d2-4a2-4b2-4c2-4d2-4abcd+8=(a2+c2-2)2+(b2+d2-2)2+2(ab-cd)2=0∴a2+c2-2=0，b2+d2-2=0，ab-cd=0∴a2+c2=2，b2+d2=2，ab=cd第十八頁，共21頁。18拓展(tuòzhǎn)訓練—案例題例10：求證：不管(