蘇教版-必修五-第二章 數(shù)列-2.1 數(shù)列 省賽一等獎

《數(shù)列》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識與技能1．要求學(xué)生進(jìn)一步熟悉數(shù)列及其通項(xiàng)公式的概念；了解數(shù)列的遞推公式的意義，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；了解數(shù)列的遞推公式是確定數(shù)列的一種方法；2．會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)；3．理解數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系；掌握根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)和確定數(shù)列的通項(xiàng)公式．4．提高學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識．（二）過程與方法經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運(yùn)用的過程．（三）情感、態(tài)度與價值觀通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣．二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式的理解與應(yīng)用；難點(diǎn)：理解遞推公式；理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系三、教學(xué)用具多媒體、實(shí)物投影儀．四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題1．復(fù)習(xí)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，故其表示方法有列表法、圖象法、通項(xiàng)公式法．2．提問：已知數(shù)列滿足，能寫出這個數(shù)列的前5項(xiàng)嗎？思考：已知在數(shù)列中，那么這個數(shù)列中的任意一項(xiàng)是否都可以寫出來？（二）研探新知1．遞推公式（1）遞推公式的概念：知識都來源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活用其來解決一些實(shí)際問題．觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型．模型一：自上而下：第1層鋼管數(shù)為4；即：14＝1+3第2層鋼管數(shù)為5；即：25＝2+3第3層鋼管數(shù)為6；即：36＝3+3第4層鋼管數(shù)為7；即：47＝4+3第5層鋼管數(shù)為8；即：58＝5+3第6層鋼管數(shù)為9；即：69＝6+3第7層鋼管數(shù)為10；即：710＝7+3若用表示鋼管數(shù)，表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且≤n≤7）運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)這會給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來很多方便．讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律）模型二：上下層之間的關(guān)系自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1．即；；依此類推：（2≤n≤7）對于上述所求關(guān)系，若知其第1項(xiàng)，即可求出其他項(xiàng)，看來，這一關(guān)系也較為重要．定義：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），以及任一項(xiàng)與前面一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）之間的關(guān)系可用一個公式來表示，則這個公式叫做的遞推公式．說明：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法．如下數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89，遞推公式為：（2）數(shù)列的前項(xiàng)的和數(shù)列中，稱為數(shù)列的前n項(xiàng)和，記為．表示前1項(xiàng)之和：=表示前2項(xiàng)之和：=……表示前n-1項(xiàng)之和：=表示前n項(xiàng)之和：=．∴當(dāng)n≥1時才有意義；當(dāng)n-1≥1即n≥2時才有意義．（3）與之間的關(guān)系：由的定義可知，當(dāng)n=1時，=；當(dāng)n≥2時，=-，即注意驗(yàn)證的情況．證明：顯然時，當(dāng)即時，∴∴注意：（1）此法可作為常用公式；（2）當(dāng)時滿足時，則（4）數(shù)列的單調(diào)性：設(shè)是由連續(xù)的正整數(shù)構(gòu)成的集合，若對于中的每一個都有（或），則數(shù)列在內(nèi)單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）．（5）兩個重要的變換：①②注意：1．求數(shù)列的通項(xiàng)公式與求數(shù)列的前項(xiàng)和是數(shù)列的兩個最基本問題，解決問題時必須特別仔細(xì)地計(jì)算項(xiàng)數(shù)，弄錯一項(xiàng)將全題盡毀．2．?dāng)?shù)列的單調(diào)性是探索數(shù)列的特點(diǎn)，特別是求數(shù)列的最大、小項(xiàng)的重要方法，若想用高等方法討論數(shù)列的單調(diào)性，不能直接對求導(dǎo)，應(yīng)先對函數(shù)求導(dǎo)，然后再分析的單調(diào)性．3．與的關(guān)系式是解決數(shù)列的問題中使用率非常高的公式，任何時候使用這個公式都必須從“”開始討論，千萬不要錯了一項(xiàng)．4．上面提到了兩個重要變換是解決數(shù)列問題中經(jīng)常使用的兩個變換．（三）質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維例1設(shè)數(shù)列滿足寫出這個數(shù)列的前五項(xiàng)．解：分析：題中已給出的第1項(xiàng)即，遞推公式：解：據(jù)題意可知：，變題：已知數(shù)列的首項(xiàng)，求出這個數(shù)列的第5項(xiàng)．（學(xué)生口答）例2已知數(shù)列中，≥3），試寫出數(shù)列的前4項(xiàng)解：由已知得變題：若數(shù)列中，，，且各項(xiàng)滿足，則是該數(shù)列的第幾項(xiàng)？例3已知，寫出前5項(xiàng)，并猜想．法一：，觀察可得法二：由∴即∴∴變題：若數(shù)列中，，且各項(xiàng)滿足，寫出該數(shù)列的前四項(xiàng)．例4已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為①；②．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：①當(dāng)時，當(dāng)時，,經(jīng)檢驗(yàn)時也適合②當(dāng)時，當(dāng)時，∴思考題：已知數(shù)列為，試寫出這個數(shù)列的一個遞推公式，再根據(jù)遞推公式寫出它的通項(xiàng)公式．例5已知數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以．（2）因?yàn)椋?，，所以說明：由數(shù)列的前項(xiàng)和求時，要注意分和討論，然后將代入所得的通項(xiàng)公式，看結(jié)果是否符合的情況，不是則需要寫成分段形式．（四）鞏固深化，反饋矯正1．根據(jù)各個數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式：(1)＝0,＝＋(2n－1)(n∈N)；(2)＝3,＝3－2(n∈N)．(3)＝1,＝(n∈N)；2．已知數(shù)列滿足，，寫出它的前項(xiàng)，歸納其通項(xiàng)公式，并驗(yàn)證是否滿足遞推公式．3．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和滿足，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式．4．解答下述問題：（1）數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）在[1000，2000]內(nèi)，被4除余數(shù)1且被5除余數(shù)為2的整數(shù)有多少個？說明理由．（五）歸納整理，整體認(rèn)識1．遞推公式及其用法；遞推公式（簡單階差、階商法）2．通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)（或n項(xiàng)）之間的關(guān)系．3．的定義及與之間的關(guān)系，由數(shù)列的前項(xiàng)的和求數(shù)列的通項(xiàng)公式的過程．（六）承上啟下，留下懸念1．?dāng)?shù)列中，，，寫出該數(shù)列的前四項(xiàng)，并歸納其通項(xiàng)公式，并驗(yàn)證是否滿足遞推公式．2．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式．3．根據(jù)數(shù)列=1,=+（n≥2）的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng)七、課后記1．重視對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的概念及表示法的過程的評價關(guān)注學(xué)生在數(shù)列概念與表示法的學(xué)習(xí)中，對所呈現(xiàn)的問題情境是否充滿興趣；