實(shí)驗(yàn)二：迭代法、初始值與收斂性

實(shí)驗(yàn)二：迭代法、初始值與收斂性一：實(shí)驗(yàn)要求考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)方程-.-X2—x—1=0,jiBFfT"rFftpjtBF>r”丫，"rt針對(duì)上述方程，可以構(gòu)造多種迭代法，如X=X2—1,X=1+—,X=X；X+1等。在實(shí)n+1?,n+1?Xn+1n1n軸上取初值，分別用以上迭代做實(shí)驗(yàn)，記錄各算法的迭代過(guò)程。二：實(shí)驗(yàn)要求及實(shí)驗(yàn)結(jié)果（1）取定某個(gè)初始值，按如上迭代格式進(jìn)行計(jì)算，它們的收斂性如何？重復(fù)選取不同放』■?_alHF,礦,,w事工,■?入初始值，反復(fù)實(shí)驗(yàn)。請(qǐng)讀者自行設(shè)計(jì)一種比較形象的記錄方式（如何利用Matlab的圖形功能），分析三種迭代法的收斂性與初值的選取關(guān)系。（2）對(duì)三個(gè)迭代法中的某一個(gè)，取不同的初值進(jìn)行迭代，結(jié)果如何？試分析對(duì)不同的初值是否有差異？實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：TOC\o"1-5"\h\zi）對(duì)X=X2—1進(jìn)行迭代運(yùn)算，選取迭代次數(shù)n=20；分別選擇初值-0.6，1.6進(jìn)行n+1n實(shí)驗(yàn)，并畫出迭代結(jié)果的趨勢(shì)圖。F編寫MATLAB運(yùn)算程序如下：%迭代法求解%令x=xA2-1p'pp'clearn=30;x=-0.5;<,,，'擊七.?‘擊二沁x1=xA2-1;fori=1:nx1=x1A2-1;--xx（i）=x1;end'\m=linspace（0,29,n）;

plot(m,xx)x=-060-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.7-0.8-0.9title('x=-0.5')1.5x=-060-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.7-0.8-0.91-0.60.5-0.60-0.5-10246810121416182002468101214161820如上圖所示，選取初值分別為-0.6、1.6時(shí)，結(jié)果都是不收斂的。分析：g⑴=x2-1，g'(x)=2x，要想在某一鄰域上|g'(x)|=|2x|<1,則Vxe[-1,1]但是g(x)史［-1,1］，所以不存在某個(gè)鄰域使得該迭代公式收斂。即迭代公式對(duì)任何初值都是發(fā)散的。ii)對(duì)x=1+—進(jìn)行迭代運(yùn)算，選取迭代次數(shù)n=30；分別選擇初值=-0.7，2.1進(jìn)〃+1xn行實(shí)驗(yàn)，并畫出迭代結(jié)果的趨勢(shì)圖。編寫MATLAB運(yùn)算程序如下：%迭代法求解%令x=xA2-1clear^??n=20;x=-0.5;x1=1+1./x;{fori=1:nx1=1+1./x1;xx(i)=x1;aendm=linspace(0,29,n);plot(m,xx,'b')m'■￥-9118200246810121416g(x)c[1.65,g(x)c[1.65,+8],Vxc[1.65,+8],g'(x)=分析：g(x=+1—設(shè)xn[1.65,+8]上有界，且g'(x)=<1,Vxc[1.65,+8]則由迭代式對(duì)任意初始值xc[1.65,+8]g(x)=1+—,產(chǎn)生的序列都收斂。同時(shí)由g(x)=1+—,可以看到，在0xxx0c[-8,+8]選取初值，在進(jìn)行n次迭代后，都會(huì)存在一個(gè)xn>1.65，此時(shí)[1.65,+8]上有界，且g'(x)=."ii)對(duì)x=u'x+1進(jìn)行迭代運(yùn)算，選取迭代次數(shù)n=20；分別選擇初值=-0.6,2.1進(jìn)n+1n行實(shí)驗(yàn)，并畫出迭代結(jié)果的趨勢(shì)圖。編寫MATLAB運(yùn)算程序如下：%迭代法求解%令x=sqrt(1+x)clearn=20;x=-0.5;x1=sqrt(1.+x);fori=1:nx1=sqrt(1+x1);xx(i)=x1;

endm=linspace(0,29,n);plot(m,xx,'b')分析：g(x)=設(shè)分析：g(x)=設(shè)g(x)c[—1,+8],Vxe[—1,+8],g'(x)=—.在[—1,+8]2待x+1實(shí)數(shù)域上有界，且g'<1Vxe—[+?則]由迭代式對(duì)任意初始值1.651-r1—X=06_i—1111.67L1L1-^-2^——11—111.6--1.66--5--1.51.45-|-1.64-1.4-11.63--1.351.62-■—--—1.3rriii■11r1r1r11■11.251.610246810121416182002468101214161820，，x0e[—1,Eg(x)=、'F產(chǎn)生的序列都收斂。同時(shí)由g⑴=如石可以看到，在x0e[-8,—1]選取初值，對(duì)迭代結(jié)果所產(chǎn)生的虛數(shù)的實(shí)部和虛部也是收斂的。如初值選取x=-3，得到20次的迭代結(jié)果如下：實(shí)部收斂于1.618,虛部收斂于0，Columns1through51.1688+0.6050i1.4867+0.2035i1.5782+0.0645i1.6058+0.0201i1.6143+0.0062iColumns6through101.6169+0.0019i1.6177+0.0006i1.6179+0.0002i1.6180+0.0001i1.6180+0.0000iColumns11through151.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000iColumns16through201.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.651.61.551.51.451.41.35口1.3-—"5024681012141618—^20上圖是初值選取為-3的迭代結(jié)果趨勢(shì)圖，可以看出，當(dāng)?shù)Y(jié)果為虛數(shù)時(shí)，迭代結(jié)果最終還是收斂的。1III在進(jìn)行n次迭代后，實(shí)部都會(huì)存在一個(gè)氣>T，此時(shí)氣相當(dāng)于是在［T，+8］范圍內(nèi)的初始值，迭代公式產(chǎn)生的序列收斂。所以初值的選取對(duì)數(shù)列的收斂性沒(méi)有影響。線性方程組迭代法的收斂性是不依賴初值的選取的。比較線性與非線性問(wèn)題迭代的差異，有何結(jié)論和問(wèn)題。對(duì)線性方程f(ax1+bx2)=af(氣)+bf(氣)，設(shè)f(x)=ax+b，則f'(x)=a。若線性方程的迭代是收斂的，則有|f'(x)|=|a|<1,-1<av1對(duì)f(x)=ax+b而言，在［-8,+8］上，都有x,f(x)c［-8,+8］，所以，對(duì)任何初值，方程的迭代都是收斂的，不受初值的影響。若線性方程的迭代是發(fā)散的，則對(duì)任何初值都發(fā)散，方程迭代的收斂性也不受初值的影響。對(duì)非線性方程的迭代，就復(fù)雜的多。對(duì)于方程迭代發(fā)散的