高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)范文

中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)范文

中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)范文

函數(shù)（function）的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的動(dòng)身點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)改變的觀點(diǎn)動(dòng)身，而近代定義是從集合、映射的觀點(diǎn)動(dòng)身。下面和一起來看中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)，希望有所幫助！

中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)1

1.函數(shù)的奇偶性

（1）若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(－x);

（2）若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則f(0)=0（可用于求參數(shù)）；

（3）推斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：f(x)±f(-x)=0或（f(x)≠0）;

(4)若所給函數(shù)的解析式較為困難，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再推斷其奇偶性；

（5）奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性；

2.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題

（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知的定義域?yàn)椋踑，b］,其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求f(x)的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí)，求g(x)的值域（即f(x)的定義域）；探討函數(shù)的問題肯定要留意定義域優(yōu)先的原則。

（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定；

3.函數(shù)圖像（或方程曲線的對(duì)稱性）

(1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上隨意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；

（2）證明圖像C1與C2的對(duì)稱性，即證明C1上隨意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在C2上，反之亦然；

（3）曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

（4）曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)（a,b）的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;

（5）若函數(shù)y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(a+x)=f(a－x)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

（6）函數(shù)y=f(x－a)與y=f(b－x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱；

4.函數(shù)的周期性

(1)y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(x+a)=f(x－a)或f(x－2a)=f(x)(a0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；

（2）若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數(shù)；

（3）若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數(shù)；

（4）若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱，則f(x)是周期為2的周期函數(shù)；

（5）y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(a≠b)對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；

（6）y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=，則y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；

5.方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域)；

6.a≥f(x)恒成立a≥［f(x)］max,;a≤f(x)恒成立a≤［f(x)］min;

7.（1）(a0,a≠1,b0,n∈R+);(2)logaN=(a0,a≠1,b0,b≠1);

(3)logab的符號(hào)由口訣“同正異負(fù)”記憶;

(4)alogaN=N(a0,a≠1,N0);

8.推斷對(duì)應(yīng)是否為映射時(shí)，抓住兩點(diǎn)：

（1）A中元素必需都有象且唯一；

（2）B中元素不肯定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；

9.能嫻熟地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求反函數(shù)，推斷函數(shù)的奇偶性。

10.對(duì)于反函數(shù)，應(yīng)駕馭以下一些結(jié)論：

（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；

（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)；

（3）定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù);

（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)；

（5）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性；

(5)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則有f[f-－1(x)]=x(x∈B),f-－1[f(x)]=x(x∈A).

11.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系；

12.依據(jù)單調(diào)性，利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類參數(shù)的范圍問題

13.恒成立問題的處理方法：

（1）分別參數(shù)法；

（2）轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解；

中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)2

1、函數(shù)：設(shè)A、B為非空集合，假如依據(jù)某個(gè)特定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的隨意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，寫作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合B={f(x)∣x∈A}叫做函數(shù)的值域。

2、函數(shù)定義域的解題思路：

⑴若x處于分母位置，則分母x不能為0。

⑵偶次方根的被開方數(shù)不小于0。

⑶對(duì)數(shù)式的真數(shù)必需大于0。

⑷指數(shù)對(duì)數(shù)式的底，不得為1，且必需大于0。

⑸指數(shù)為0時(shí)，底數(shù)不得為0。

⑹假如函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，那么，它的定義域是各個(gè)部分都有意義的x值組成的集合。

⑺實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證明際問題有意義。

3、相同函數(shù)

⑴表達(dá)式相同：與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。

⑵定義域全都，對(duì)應(yīng)法則全都。

4、函數(shù)值域的求法

⑴視察法：適用于初等函數(shù)及一些簡(jiǎn)潔的由初等函數(shù)通過四則運(yùn)算得到的函數(shù)。

⑵圖像法：適用于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)已經(jīng)分段函數(shù)。

⑶配方法：主要用于二次函數(shù)，配方成y=(x-a)2+b的形式。

⑷代換法：主要用于由已知值域的函數(shù)推想未知函數(shù)的值域。

5、函數(shù)圖像的變換

⑴平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進(jìn)行加減。

⑵伸縮變換：在x前加上系數(shù)。

⑶對(duì)稱變換：中學(xué)階段不作要求。

6、映射：設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，假如按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于A中的隨意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的映射。

⑴集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

⑵集合A中的不同元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)。

⑶不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

7、分段函數(shù)

⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表達(dá)式。

⑵各部分自變量和函數(shù)值的取值范圍不同。

⑶分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。

8、復(fù)合函數(shù)：假如(u∈M)，u=g(x)(x∈A),則，y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)，稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

高一數(shù)學(xué)必修五學(xué)問點(diǎn)總結(jié)：

空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面

1、按是否共面可分為兩類：

(1)共面：平行、相交

(2)異面：

異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。

異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。

兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)

兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)

2、若從有無公共點(diǎn)的角度看可分為兩類：

(1)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線;

(2)沒有公共點(diǎn)——平行或異面

高一數(shù)學(xué)直線和平面的位置關(guān)系：

直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行

①直線在平面內(nèi)——有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

②直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。

空間向量法(找平面的法向量)

規(guī)定：

a、直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角。

b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角。

由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°，90°]。

最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角。

三垂線定理及逆定理:假如平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直。

直線和平面垂直：

直線和平面垂直的定義：假如一條直線a和一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面相互垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理：假如一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

直線與平面垂直的性質(zhì)定理：假如兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

③直線和平面平行——沒有公共點(diǎn)

直線和平面平行的定義：假如一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行。

直線和平面平行的判定定理：假如平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

直線和平面平行的性質(zhì)定理：假如一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。

(1)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線;

(2)沒有公共點(diǎn)——平行或異面

中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)3

(1)中學(xué)函數(shù)公式的變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。

(2)一次函數(shù)：

①若兩個(gè)變量,間的關(guān)系式可以表示成(為常數(shù)，不等于0)的形式，則稱是的一次函數(shù)。

②當(dāng)=0時(shí)，稱是的正比例函數(shù)。

(3)中學(xué)函數(shù)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

①把一個(gè)函數(shù)的自變量與對(duì)應(yīng)的因變量的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，全部這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。

②正比例函數(shù)=的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線。

③在一次函數(shù)中，當(dāng)0，O，則經(jīng)2、3、4象限;當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、4象限;當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、3、4象限;當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、3象限。

④當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而增大，當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而削減。

(4)中學(xué)函數(shù)的二次函數(shù)：

①一般式：對(duì)稱軸是頂點(diǎn)是;

②頂點(diǎn)式：對(duì)稱軸是頂點(diǎn)是;

③交點(diǎn)式：其中，是拋物線與x軸的交點(diǎn)

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一、函數(shù)的概念與表示

1、映射

(1)映射：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，假如依據(jù)某種映射法則f，對(duì)于集合A中的任一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，則這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A、B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。

留意點(diǎn)：

(1)對(duì)映射定義的理解。

(2)推斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是映射的方法。一對(duì)多不是映射，多對(duì)一是映射

2、函數(shù)

構(gòu)成函數(shù)概念的三要素：

①定義域

②對(duì)應(yīng)法則

③值域

兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的條件：三要素有兩個(gè)相同

二、函數(shù)的解析式與定義域

1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：

(1)分式的分母不為零;

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義;

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必需大于零;

(4)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必需大于零且不等于1;

三、函數(shù)的值域

1求函數(shù)值域的方法

①干脆法：從自變量x的范圍動(dòng)身，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡(jiǎn)潔的復(fù)合函數(shù);

②換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式;

③判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的分式;

④分別常數(shù)：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時(shí)要畫圖);

⑤單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域;

⑥圖象法：二次函數(shù)必畫草圖求其值域;

⑦利用對(duì)號(hào)函數(shù)

⑧幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含肯定值函數(shù)

四.函數(shù)的奇偶性

1.定義:設(shè)y=f(x)，x∈A，假如對(duì)于隨意∈A，都有，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。

假如對(duì)于隨意∈A，都有，則稱y=f(x)為奇

函數(shù)。

2.性質(zhì)：

①y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

②若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數(shù)的定義域D1，D2，D1∩D2要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱]

3.奇偶性的推斷

①看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

②看f(x)與f(-x)的關(guān)系

五、函數(shù)的單調(diào)性

1、函數(shù)單調(diào)性的定義：

2設(shè)是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則在M上是減函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù)。

中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)5

一次函數(shù)：

一、定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關(guān)系：

y=kx+b

則此時(shí)稱y是x的一次函數(shù)。

特殊地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。

即：y=kx（k為常數(shù)，k≠0）

二、一次函數(shù)的性質(zhì)：

1、y的改變值與對(duì)應(yīng)的x的改變值成正比例，比值為k

即：y=kx+b（k為隨意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù)）

2、當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截距。

三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：

1、作法與圖形：通過如下3個(gè)步驟

（1）列表；

（2）描點(diǎn)；

（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)）

2、性質(zhì)：

（1）在一次函數(shù)上的隨意一點(diǎn)P（x，y），都滿意等式：y=kx+b。

（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b），與x軸總是交于（—b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點(diǎn)。

3、k，b與函數(shù)圖像所在象限：

當(dāng)k0時(shí)，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

當(dāng)k0時(shí)，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

當(dāng)b0時(shí)，直線必通過一、二象限；

當(dāng)b=0時(shí)，直線通過原點(diǎn)

當(dāng)b0時(shí)，直線必通過三、四象限。

特殊地，當(dāng)b=O時(shí)，直線通過原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。

這時(shí)，當(dāng)k0時(shí)，直線只通過一、三象限；當(dāng)k0時(shí)，直線只通過二、四象限。

四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：

已知點(diǎn)A（x1，y1）；B（x2，y2），請(qǐng)確定過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。

（1）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式（也叫解析式）為y=kx+b。

（2）因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的隨意一點(diǎn)P（x，y），都滿意等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

（3）解這個(gè)二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最終得到一次函數(shù)的表達(dá)式。

五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：

1、當(dāng)時(shí)間t肯定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。

2、當(dāng)水池抽水速度f肯定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S—ft。

六、常用公式：

1、求函數(shù)圖像的k值：（y1—y2）/（x1—x2）

2、求與x軸平行線段的中點(diǎn)：|x1—x2|/2

3、求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1—y2|/2

4、求隨意線段的長：√（x1—x2）^2+（y1—y2）^2（注：根號(hào)下（x1—x2）與（y1—y2）的平方和）

二次函數(shù)：

一、定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

y=ax^2+bx+c

（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a確定函數(shù)的開口方向，a0時(shí)，開口方向向上，a0時(shí)，開口方向向下，IaI還可以確定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。）

則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

二、二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

頂點(diǎn)式：y=a（x—h）^2+k[拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）]

交點(diǎn)式：y=a（x—x）（x—x）[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x，0）和B（x，0）的拋物線]

注：在3種形式的相互轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：

h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4ax，x=（—b±√b^2—4ac）/2a

三、二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，

可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

四、拋物線的性質(zhì)

1、拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線

x=—b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

特殊地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）。

2、拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P（—b/2a，（4ac—b^2）/4a）

當(dāng)—b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ=b^2—4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3、二次項(xiàng)系數(shù)a確定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a0時(shí)，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4、一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同確定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab0），對(duì)稱軸在y軸左；

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab0），對(duì)稱軸在y軸右。

5、常數(shù)項(xiàng)c確定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于（0，c）

6、拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b^2—4ac0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2—4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2—4ac0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x=—b±√b^2—4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a）

五、二次函數(shù)與一元二次方程

特殊地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax^2+bx+c=0。

此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

1、二次函數(shù)y=ax^2，y=a（x—h）^2，y=a（x—h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形態(tài)相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：

解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸：

y=ax^2（0，0）x=0；

y=a（x—h）^2（h，0）x=h；

y=a（x—h）^2+k（h，k）x=h；

y=ax^2+bx+c（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）x=—b/2a；

當(dāng)h0時(shí)，y=a（x—h）^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到。

當(dāng)h0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到。

當(dāng)h0，k0時(shí)，將拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

當(dāng)h0，k0時(shí)，將拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

當(dāng)h0，k0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

當(dāng)h0，k0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

因此，探討拋物線y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象，通過配方，將一般式化為y=a（x—h）^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清晰了。這給畫圖象供應(yīng)了便利。

2、拋物線y=ax^2+bx+c（a≠0）的'圖象：當(dāng)a0時(shí)，開口向上，當(dāng)a0時(shí)開口向下，對(duì)稱軸是直線x=—b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）。

3、拋物線y=ax^2+bx+c（a≠0），若a0，當(dāng)x≤—b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x≥—b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大。若a0，當(dāng)x≤—b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥—b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小。

4、拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

（1）圖象與y軸肯定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；

（2）當(dāng)△=b^2—4ac0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（x，0）和B（x，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

（a≠0）的兩根。這兩點(diǎn)間的距離AB=|x—x|

當(dāng)△=0。圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)△0。圖象與x軸沒有交點(diǎn)。當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0；當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0。

5、拋物線y=ax^2+bx+c的最值：假如a0（a0），則當(dāng)x=—b/2a時(shí)，y最?。ù螅┲?（4ac—b^2）/4a。

頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值。

6、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：

y=ax^2+bx+c（a≠0）。

（2）當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a（x—h）^2+k（a≠0）。

（3）當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a（x—x）（x—x）（a≠0）。

7、二次函數(shù)學(xué)問很簡(jiǎn)潔與其它學(xué)問綜合應(yīng)用，而形成較為困難的綜合題目。因此，以二次函數(shù)學(xué)問為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn)。

反比例函數(shù)：

形如y=k/x（k為常數(shù)且k≠0）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。

自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。

反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：

反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。

由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f（—x）=—f（x），圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個(gè)坐標(biāo)軸作垂線，這點(diǎn)、兩個(gè)垂足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

如圖，上面給出了k分別為正和負(fù)（2和—2）時(shí)的函數(shù)圖像。

當(dāng)K0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一，三象限，是減函數(shù)

當(dāng)K0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過二，四象限，是增函數(shù)

反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標(biāo)軸，無法和坐標(biāo)軸相交。

學(xué)問點(diǎn)：

1、過反比例函數(shù)圖象上隨意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|。

2、對(duì)于雙曲線y=k/x，若在分母上加減隨意一個(gè)實(shí)數(shù)（即y=k/（x±m(xù)）m為常數(shù)），就相當(dāng)于將雙曲線圖象向左或右平移一個(gè)單位。（加一個(gè)數(shù)時(shí)向左平移，減一個(gè)數(shù)時(shí)向右平移）

中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)6

十七世紀(jì)函數(shù)概念：

十七世紀(jì)伽俐略(G.Galileo，意，1564-1642)在《兩門新科學(xué)》一書中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念，用文字和比例的語言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1637年前后笛卡爾(Descartes，法，1596-1650)在他的解析幾何中，已留意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依靠關(guān)系，但因當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到要提煉函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時(shí)還沒有人明確函數(shù)的一般意義，大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來探討的。

1673年，萊布尼茲首次運(yùn)用function(函數(shù))表示冪，后來他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量。與此同時(shí)，牛頓在微積分的探討中，運(yùn)用流量來表示變量間的關(guān)系。

十八世紀(jì)函數(shù)概念：

1718年約翰柏努利(JohannBernoulli，瑞士，1667-1748)在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。他的意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)，并強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式來表示。1748年，柏努利的學(xué)生歐拉在《無窮分析引論》一書中說：一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量的一些數(shù)或常量與任何一種方式構(gòu)成的解析表達(dá)式。

1755，歐拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)把函數(shù)定義為假如某些變量，以某一種方式依靠于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量改變時(shí)，前面這些變量也隨著改變，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。

18世紀(jì)中葉歐拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)給出了定義：一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式。他把約翰貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還考慮了隨意函數(shù)。不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

十九世紀(jì)函數(shù)概念：

1821年，柯西(Cauchy，法，1789-1857)從定義變量起給出了定義：在某些變數(shù)間存在著肯定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時(shí)指出對(duì)函數(shù)來說不肯定要有解析表達(dá)式。不過他仍舊認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來表示，這是一個(gè)很大的局限。

1822年傅里葉(Fourier，法國，17681830)發(fā)覺某些函數(shù)也已用曲線表示，也可以用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭(zhēng)辯，把對(duì)函數(shù)的相識(shí)又推動(dòng)了一個(gè)新層次。

1837年狄利克雷(Dirichlet，德國，1805-1859)突破了這一局限，認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。這個(gè)定義避開了函數(shù)定義中對(duì)依靠關(guān)系的描述，以清晰的方式被全部數(shù)學(xué)家接受。這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。

等到康托(Cantor，德國，1845-1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880-1960)用集合和對(duì)應(yīng)的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步詳細(xì)化了，且打破了變量是數(shù)的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對(duì)象。

現(xiàn)代函數(shù)概念：

1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念序偶來定義函數(shù)，其避開了意義不明確的變量、對(duì)應(yīng)概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義序偶使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了。

1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為若對(duì)集合M的隨意元素x，總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變?cè)?，元素y稱為因變?cè)?/p>

中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)7

一、變量與函數(shù)

[變量和常量]

在一個(gè)改變過程中，數(shù)值發(fā)生改變的量，我們稱之為變量，而數(shù)值始終保持不變的量，我們稱之為常量。

[函數(shù)]

一般地，在一個(gè)改變過程中，假如有兩個(gè)變量與，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說是自變量，是的函數(shù)。假如當(dāng)時(shí)，那么叫做當(dāng)自變量的值為時(shí)的函數(shù)值。

[自變量取值范圍的確定方法]

1、自變量的取值范圍必需使解析式有意義。

當(dāng)解析式為整式時(shí)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù);當(dāng)解析式為分?jǐn)?shù)形式時(shí)，自變量的取值范圍是使分母不為0的全部實(shí)數(shù);當(dāng)解析式中含有二次根式時(shí)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)大于等于0的全部實(shí)數(shù)。

2、自變量的取值范圍必需使實(shí)際問題有意義。

[函數(shù)的圖像]

一般來說，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，假如把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象。

[描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟]

第一步：列表(表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值);

其次步：描點(diǎn)(在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn));

第三步：連線(依據(jù)橫坐標(biāo)由小到大的依次把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來)。

[函數(shù)的表示方法]

列表法：一目了然，運(yùn)用起來便利，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。

解析式法：簡(jiǎn)潔明白，能夠精確地反映整個(gè)改變過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。

圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。

[正比例函數(shù)]

一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)(proportionalfunction)，其中k叫做比例系數(shù)。

[正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)]

一般地，正比例函數(shù)y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)和(1，k)的直線，我們稱它為直線y=kx，當(dāng)k0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大;當(dāng)k0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小。

(1)解析式：y=kx(k是常數(shù)，k≠0)

(2)必過點(diǎn)：(0，0)、(1，k)

(3)走向：k0時(shí)，圖像經(jīng)過一、三象限;k0時(shí)，圖像經(jīng)過二、四象限

(4)增減性：k0，y隨x的增大而增大;k0，y隨x增大而減小

(5)傾斜度：|k|越大，越接近y軸;|k|越小，越接近x軸

[正比例函數(shù)解析式的確定]——待定系數(shù)法。

1.設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k≠0)

2.把已知條件(一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo))代入解析式，得到關(guān)于k的一元一次方程

3.解方程，求出系數(shù)k

4.將k的值代回解析式

二、一次函數(shù)

[一次函數(shù)]

一般地，形如y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)函數(shù)，叫做一次函數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)，y=kx+b即y=kx，所以正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。

[一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)]

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(0，b)和(-，0)兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長度得到。（當(dāng)b0時(shí)，向上平移;當(dāng)b0時(shí)，向下平移)

(1)解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)

(2)必過點(diǎn)：(0，b)和(-，0)

(3)走向：k0，圖象經(jīng)過第一、三象限;k0，圖象經(jīng)過其次、四象限

b0，圖象經(jīng)過第一、二象限;b0，圖象經(jīng)過第三、四象限；

直線經(jīng)過第一、二、三象限；

直線經(jīng)過第一、三、四象限；

直線經(jīng)過第一、二、四象限；

直線經(jīng)過其次、三、四象限。

(4)增減性：k0，y隨x的增大而增大;k0，y隨x增大而減小。

(5)傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸;|k|越小，圖象越接近于x軸。

(6)圖像的平移：當(dāng)b0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位;

當(dāng)b0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位。

[直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系]

(1)兩直線平行：k1=k2且b1b2

(2)兩直線相交：k1k2

(3)兩直線重合：k1=k2且b1=b2

[確定一次函數(shù)解析式的方法]

(1)依據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式;

(2)將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)解析式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程;

(3)解方程得出未知系數(shù)的值;

(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式中得出結(jié)果。

[一次函數(shù)建模]

函數(shù)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而解決最佳方案、最佳策略等問題，建立一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題，就是要從實(shí)際問題中抽象出兩個(gè)變量，再尋求出兩個(gè)變量之間的關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)模型，從而利用數(shù)學(xué)學(xué)問解決實(shí)際問題。

正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象在賜予實(shí)際意義時(shí)，其圖象大多為線段或射線，這是因?yàn)樵趯?shí)際問題中，自變量的取值范圍是有肯定的限制條件的，即自變量必需使實(shí)際問題有意義。

從圖象中獲得的信息一般是：

(1)從函數(shù)圖象的形態(tài)判定函數(shù)的類型;

(2)從橫、縱軸的實(shí)際意義理解圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義。

解決含有多個(gè)變量的問題時(shí)，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中某個(gè)變量作為自變量，再依據(jù)問題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù)。

三、用函數(shù)觀點(diǎn)看方程(組)與不等式

[一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系]

任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a，b為常數(shù)，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值。從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。

[一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系]

任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b0或ax+b0(a，b為常數(shù)，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大(小)于0時(shí)，求自變量的取值范圍。

[一次函數(shù)與二元一次方程組]

(1)以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=的圖象相同。

(2)二元一次方程組的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)y=和y=的圖象交點(diǎn)。

三個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想：

1.方程的思想。數(shù)學(xué)是探討事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的，初中數(shù)學(xué)最重要的就是等量關(guān)系，其次是不等量關(guān)系。最常見的等量關(guān)系就是方程。

2.數(shù)形結(jié)合的思想。任何一道題，只要與形沾邊，就應(yīng)當(dāng)依據(jù)題意中的草圖分析一番。這樣做，不但直觀，而且全面，整體性強(qiáng)。

3.對(duì)應(yīng)的思想。

初中生數(shù)學(xué)成果的提高，須要靠自己勤加練習(xí)和腳踏實(shí)地的去接受數(shù)學(xué)。

合數(shù)的概念：

合數(shù)指自然數(shù)中除了能被1和本身整除外，還能被其他數(shù)(0除外)整除的數(shù)。與之相對(duì)的是質(zhì)數(shù)，而1既不屬于質(zhì)dao數(shù)也不屬于合數(shù)。最小的合數(shù)是4。其中，完全數(shù)與相親數(shù)是以它為基礎(chǔ)的。

中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)8

一般地，函數(shù)y=logax(a0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，也就是說以冪為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對(duì)數(shù)函數(shù)。

對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為，它事實(shí)上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。

右圖給出對(duì)于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：