第六章系統(tǒng)抽樣

第六章系統(tǒng)抽樣第1頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、系統(tǒng)抽樣的基本思想二、系統(tǒng)抽樣的基本方式直線等距抽樣循環(huán)等距抽樣不等概率系統(tǒng)抽樣三、總體單元的排序四、問(wèn)題的改進(jìn)首尾校正法中心位置抽樣法對(duì)稱系統(tǒng)抽樣法目錄第2頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三問(wèn)題的提出各種抽樣方法都有優(yōu)點(diǎn)和不足難題：在一個(gè)連續(xù)的生產(chǎn)線上進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢查。設(shè)計(jì)：在開始的時(shí)候先抽取一個(gè)樣本點(diǎn)，然后按照某種規(guī)律順次得到整個(gè)樣本的一種抽樣組織方式。系統(tǒng)抽樣：等距抽樣，機(jī)械抽樣，規(guī)律性抽樣第3頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、系統(tǒng)抽樣的基本思想

對(duì)于一個(gè)容量為N的總體，首先，將總體中各單位按某種順序編為從1到A的號(hào)碼。若要從中抽出一個(gè)容量為n的樣本，則應(yīng)先從編號(hào)為1到k(k<N)的k個(gè)單位中，隨機(jī)地抽取一個(gè)單位，然后，按照一定的規(guī)律，如每隔k個(gè)單位抽出一個(gè)單位等，順次地抽出n個(gè)樣本單位。第4頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三優(yōu)點(diǎn)：樣本分布比較均勻，在現(xiàn)實(shí)生活中比較容易接受樣本單位抽取簡(jiǎn)便，有很高適用價(jià)值工業(yè)企業(yè)為檢查產(chǎn)品質(zhì)量，在連續(xù)生產(chǎn)線上每隔2小時(shí)抽選一個(gè)或若干個(gè)樣品進(jìn)行檢驗(yàn)；農(nóng)作物產(chǎn)量實(shí)測(cè)或?qū)r(nóng)作物害蟲進(jìn)行調(diào)查，對(duì)一大片農(nóng)田每隔一定距離抽取一塊進(jìn)行測(cè)量或調(diào)查等等，都是系統(tǒng)抽樣的直觀案例。第5頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)便易行，簡(jiǎn)化抽樣手續(xù)。簡(jiǎn)便易行，容易確定抽樣單元。其他抽樣方法在抽取樣本前需要對(duì)總體單元編號(hào)，然后再利用隨機(jī)數(shù)表等方法進(jìn)行抽取樣本。而系統(tǒng)抽樣，只需要總體單元的順序排列，只要隨機(jī)確定初始單元。整個(gè)樣本就確定了，在某些場(chǎng)合甚至不用編制抽樣框。比如要對(duì)杭州市區(qū)的機(jī)動(dòng)車輛進(jìn)行調(diào)查，抽樣比為1%，則可以在尾數(shù)00~99中隨機(jī)抽取一個(gè)整數(shù)，比如是63，則只需對(duì)車輛牌照號(hào)末位為63的號(hào)進(jìn)行調(diào)查。容易為非專業(yè)人員掌握。而且容易保存抽樣的原始記錄。缺點(diǎn)：如果單元的排列存在周期性的變化，而抽樣者對(duì)此缺乏了解或處理經(jīng)驗(yàn)，抽取的樣本可能代表性很差。系統(tǒng)抽樣的方差很復(fù)雜，對(duì)估計(jì)帶來(lái)很大困難。第6頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、系統(tǒng)抽樣的基本方式

系統(tǒng)抽樣與其他抽樣方法所不同的一個(gè)最顯著的特點(diǎn)，就是系統(tǒng)抽樣只需要抽取一個(gè)樣本單位，然后按照某種規(guī)律，順次地得到整個(gè)樣本?！澳撤N規(guī)律”，就是指樣本單位抽取的一種事先的規(guī)定和安排。在此基礎(chǔ)上，系統(tǒng)抽樣又可以劃分為若干種具體的系統(tǒng)抽樣方法。其中，線性系統(tǒng)抽樣是一種最基本的方法。第7頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（一）直線等距抽樣（線性系統(tǒng)抽樣）

假設(shè)總體單元數(shù)為N，樣本容量為n,N是n的整數(shù)倍。

首先計(jì)算抽樣間距k=N/n,把總體分為n段，每段k個(gè)單元，然后，在第一段的k個(gè)單元中隨機(jī)抽取一個(gè)單元，假設(shè)為r,然后每隔k個(gè)單元抽取一個(gè)單元，即抽取r,r+k,r+2k,…,r+(n-1)k,這n個(gè)單元為樣本。抽樣模型為：r+(j-1)k(j=1,2,…,n；r為隨機(jī)數(shù))例如：某學(xué)院要共200個(gè)學(xué)生，要抽10個(gè)學(xué)生做樣本。怎么進(jìn)行直線等距抽樣？第8頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（二）循環(huán)等距抽樣當(dāng)N不是n的整數(shù)倍，即抽樣間距k=N/n不是整數(shù)時(shí)，應(yīng)采取什么方法？總體有21個(gè)單元，擬抽取n=4，怎么抽取樣本？D.B.拉希里（D.B.Lahiri）于1952年提出了一種改進(jìn)的系統(tǒng)抽樣法——循環(huán)系統(tǒng)抽樣。將總體N個(gè)單位的排序看作為一個(gè)首尾相連的圓圈，取最接近N/n的整數(shù)為k,在總體N個(gè)單位中隨機(jī)地抽取一個(gè)單位為隨機(jī)起點(diǎn)i，沿圓圈按順時(shí)針方向每隔k個(gè)單位抽取一個(gè)單位，直到抽出n個(gè)單位為止。第9頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三N=21,n=4,取k=5。設(shè)隨機(jī)起點(diǎn)為i=3，則應(yīng)抽取的樣本單位編號(hào)依次為：3，8，13，18，如下圖所示，○表示隨機(jī)起點(diǎn)，□表示所抽中的其它樣本單位。第10頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三總體單元的排序按無(wú)關(guān)標(biāo)志排序（總體單位隨機(jī)排序）各單元的排序順序與所研究的內(nèi)容無(wú)關(guān)。要調(diào)查學(xué)生的視力情況，按學(xué)號(hào)順序排列。要調(diào)查職工平均年齡，按職工姓氏筆畫排列。無(wú)序系統(tǒng)排列按有關(guān)標(biāo)志排列各單元的排序順序與所研究的內(nèi)容有關(guān)。要調(diào)查學(xué)生的平均身高，按照學(xué)生入學(xué)時(shí)體檢的身高順序排列。要對(duì)農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量進(jìn)行調(diào)查，按當(dāng)年的估產(chǎn)或前幾年的實(shí)產(chǎn)由高到低排列。這樣稱為有序系統(tǒng)抽樣處于兩者之間工廠中的工人名單按原有的工資名冊(cè)順序排列。主要是為了調(diào)查方便。第11頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三排序可能出現(xiàn)的問(wèn)題總體單位排序與其標(biāo)志值的大小有某種周期性的關(guān)系。對(duì)某個(gè)商場(chǎng)的日銷售額進(jìn)行系統(tǒng)抽樣時(shí)，設(shè)抽樣距離為7天，樣本日銷售額正好都是星期天。在直線系統(tǒng)抽樣（線性系統(tǒng)抽樣）應(yīng)注意避免抽樣的規(guī)律與現(xiàn)象變動(dòng)的周期一致?？傮w單位排序有線性趨勢(shì)總體呈現(xiàn)這種“線性趨勢(shì)”（“單調(diào)上升或下降趨勢(shì)”）可以證明：其抽樣估值精度雖優(yōu)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，但劣于分層隨機(jī)抽樣。其原因在于對(duì)有線性趨勢(shì)的總體，采用直線系統(tǒng)抽樣法采用中心位置的系統(tǒng)抽樣法或?qū)ΨQ的系統(tǒng)抽樣法，可以大大地改善系統(tǒng)抽樣法的估值精度。第12頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三總體各單位按某種“負(fù)相關(guān)”的趨勢(shì)排列分為兩種情況：一種是總體各單位的標(biāo)志值奇數(shù)層順排列而偶數(shù)層反排列；另一種是總體中上一半單位的標(biāo)志值順排列而下一半單位的標(biāo)志值反排列。這種負(fù)相關(guān)趨勢(shì)排列的情況下，線性系統(tǒng)抽樣法的估值精度最高。對(duì)線性趨勢(shì)總體下的系統(tǒng)抽樣或稱為有序排列下的系統(tǒng)抽樣的研究是十分重要的。

第13頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三四.估計(jì)量設(shè)系統(tǒng)抽樣的隨機(jī)起點(diǎn)值為r，則其相應(yīng)系統(tǒng)樣本的均值為：

的估計(jì)量。為總體均值當(dāng)N＝nk時(shí)，可以證明這個(gè)估計(jì)量是無(wú)偏的。

第14頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)抽樣與整群抽樣和分層抽樣的關(guān)系特殊的整群抽樣特殊的分層抽樣第15頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三五、問(wèn)題的改進(jìn)（1）當(dāng)總體呈線性趨勢(shì)時(shí)，樣本觀測(cè)值可能會(huì)偏低或偏高，產(chǎn)生“趨向性的偏差”，對(duì)此統(tǒng)計(jì)學(xué)家們采用了很多方法來(lái)彌補(bǔ)這一不足。

(一)首尾校正法（1948年耶茨《皇家學(xué)會(huì)會(huì)刊》發(fā)表名為《系統(tǒng)抽樣》的文章提出。）

假設(shè)總體單元數(shù)為N，樣本容量為n,N是n的整數(shù)倍。

抽取r,r+k,r+2k,…,r+(n-1)k,這n個(gè)單元為樣本，每單元的權(quán)重都1/n，改變第一個(gè)單元和第n個(gè)單元的權(quán)重第16頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三問(wèn)題的改進(jìn)（2）中心位置抽樣法（麥多1953年《數(shù)理統(tǒng)計(jì)年刊》發(fā)表《論系統(tǒng)抽樣的理論III：中心起點(diǎn)與隨機(jī)起點(diǎn)系統(tǒng)抽樣的比較》）論文提出：當(dāng)總體為單調(diào)上升趨勢(shì)時(shí)，中心系統(tǒng)抽樣法優(yōu)于隨機(jī)起點(diǎn)系統(tǒng)抽樣法（直線系統(tǒng)抽樣法）。初始樣本不是隨機(jī)產(chǎn)生，取第一段的中間位置。第17頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例子：27個(gè)學(xué)生抽取3個(gè)學(xué)生做樣本，用中心位置抽樣法，求學(xué)生的平均零花錢。樣本編號(hào)Y樣本編號(hào)Y樣本編號(hào)Y1210111920231112202034121321214513142222561415232367151724257816172525891719262591018192726第18頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第19頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)稱系統(tǒng)抽樣法

N/n=k

（1）Sethi對(duì)稱系統(tǒng)抽樣將總體分成n/2（n為偶數(shù)時(shí)）組，每組有2k個(gè)單元，在組內(nèi)對(duì)稱。（2）Singn對(duì)稱系統(tǒng)抽樣總體對(duì)稱問(wèn)題的改進(jìn)（3）第20頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例子：用Sethi對(duì)稱系統(tǒng)抽樣，從20個(gè)學(xué)生中，抽取四個(gè)學(xué)生，并且求他們的平均零花錢。設(shè)隨機(jī)數(shù)為2

樣本編號(hào)Y樣本編號(hào)Y樣本編號(hào)Y樣本編號(hào)Y126711121617237812131719348913141819459101415192056101115172020第21頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第22頁(yè)，共24頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例子：用singn對(duì)稱系統(tǒng)抽樣，從20個(gè)學(xué)生中，抽取四個(gè)學(xué)生，并且求他們的平均零花錢。