第六章迭代法數(shù)值分析

第六章迭代法數(shù)值分析第1頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§1.引言迭代法的基本思想是構(gòu)造一串收斂到解的序列，即建立一種從已有近似解計(jì)算新的近似解的規(guī)則。由不同的計(jì)算規(guī)則得到不同的迭代法，本章介紹單步定常線(xiàn)性迭代法。第2頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第3頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第4頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三引入誤差向量則可得由問(wèn)題是在什么條件下所以等價(jià)于也即第5頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§2.基本迭代法設(shè)有其中A為非奇異矩陣將A分解成其中M是可選擇的非奇異矩陣,且使Mx=d容易求解由此,原問(wèn)題就可轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程得:可構(gòu)造迭代法第6頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三Jacobi迭代法第7頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第8頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

Jacobid迭代的矩陣形式第9頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三收斂與解故如果序列收斂,則收斂到解.B稱(chēng)迭代矩陣.第10頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第11頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第12頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三高斯—塞德?tīng)枺℅auss-Seidel)迭代法第13頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第14頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第15頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三用矩陣可表示為:移項(xiàng)得又所以可逆第16頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三也即選取M為A的下三角部分，即M=D－L，Ａ＝Ｍ－N，則Ａx=b可等價(jià)為（M－N)x=b聯(lián)系上面已經(jīng)得到的矩陣迭代形式,為統(tǒng)一起見(jiàn),記:A=D－L－U第17頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三等價(jià)為其中或其中Ｇ即為G-S迭代法的迭代矩陣第18頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第19頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第20頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三Gauss-Seidel迭代法的計(jì)算過(guò)程如下：第21頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三松弛(SOR)法第22頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第23頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三SOR迭代法也可以看作是G-S迭代法的一種修正.假設(shè)已知:及首先利用G-S迭代計(jì)算預(yù)測(cè)值加權(quán)平均可得:即得再由和的前i-1個(gè)分量第24頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第25頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三返回第26頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三松弛法計(jì)算過(guò)程如下：第27頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三引入誤差向量則可得由等價(jià)于問(wèn)題是在什么條件下所以等價(jià)于也即§3.迭代法的收斂性作:第28頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第29頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注:其中為矩陣的任一種算子范數(shù)(p244定理1)

第30頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注第31頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三迭代法基本定理第32頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第33頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三矩陣的譜半徑定理2第34頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由此得P248的定理5(迭代法收斂的充分條件)定理5設(shè)有方程組和其定常迭代法如果B的某種算子范數(shù)則:1.迭代法收斂．即對(duì)任取的有２．３．４．證明第35頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(P252定理8)第36頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第37頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第38頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第39頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(特殊方程組迭代法的收斂性P249)第40頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第41頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理6:(對(duì)角占優(yōu)定理P250)如果矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占矩陣或?yàn)椴豢杉s弱對(duì)角占優(yōu)矩陣,則A為非奇異矩陣.第42頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(P251定理7,9,10)<例同時(shí)G-S迭代法也收斂.如1．條件的矩陣，證明第43頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第44頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第45頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三特別第46頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第47頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三誤差估計(jì)第48頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第49頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第50頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第51頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三證明：2.3.1.返回第52頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注:返回第53頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三證明:只證關(guān)于簡(jiǎn)單迭代法的兩個(gè)，其余兩個(gè)的證明類(lèi)似.(1)設(shè)A具有嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)，以下證ρ(BJ)<1反證法，設(shè)BJ有特征值μ,|μ|≥1.3.20第54頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所以μD+L+U也具有嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)，所以|μD+L+U|≠0，所以|μ|≥1不可能成立，所以|μ|<1，即ρ(BJ)<1。3.21與矛盾第55頁(yè)，共57頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2)A不可約且具有對(duì)角優(yōu)勢(shì)，證ρ(BJ)<1，由定理有A非奇異，又（否則A必有一行元素全為零，與A非奇矛盾）用反證法，設(shè)BJ有特征值μ,|μ|≥1.同（1）有(3.20),(3.21)。注意μD+L+U中非零元素的位置與A中非零元素的位置完全