第六章迭代法數(shù)值分析

第六章迭代法數(shù)值分析第1頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三§1.引言迭代法的基本思想是構(gòu)造一串收斂到解的序列，即建立一種從已有近似解計算新的近似解的規(guī)則。由不同的計算規(guī)則得到不同的迭代法，本章介紹單步定常線性迭代法。第2頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第3頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第4頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三引入誤差向量則可得由問題是在什么條件下所以等價于也即第5頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三§2.基本迭代法設(shè)有其中A為非奇異矩陣將A分解成其中M是可選擇的非奇異矩陣,且使Mx=d容易求解由此,原問題就可轉(zhuǎn)化為等價方程得:可構(gòu)造迭代法第6頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三Jacobi迭代法第7頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第8頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三

Jacobid迭代的矩陣形式第9頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三收斂與解故如果序列收斂,則收斂到解.B稱迭代矩陣.第10頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第11頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第12頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三高斯—塞德爾（Gauss-Seidel)迭代法第13頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第14頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第15頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三用矩陣可表示為:移項得又所以可逆第16頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三也即選取M為A的下三角部分，即M=D－L，Ａ＝Ｍ－N，則Ａx=b可等價為（M－N)x=b聯(lián)系上面已經(jīng)得到的矩陣迭代形式,為統(tǒng)一起見,記:A=D－L－U第17頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三等價為其中或其中Ｇ即為G-S迭代法的迭代矩陣第18頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第19頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第20頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三Gauss-Seidel迭代法的計算過程如下：第21頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三松弛(SOR)法第22頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第23頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三SOR迭代法也可以看作是G-S迭代法的一種修正.假設(shè)已知:及首先利用G-S迭代計算預(yù)測值加權(quán)平均可得:即得再由和的前i-1個分量第24頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第25頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三返回第26頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三松弛法計算過程如下：第27頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三引入誤差向量則可得由等價于問題是在什么條件下所以等價于也即§3.迭代法的收斂性作:第28頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第29頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三注:其中為矩陣的任一種算子范數(shù)(p244定理1)

第30頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三注第31頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三迭代法基本定理第32頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第33頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三矩陣的譜半徑定理2第34頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三由此得P248的定理5(迭代法收斂的充分條件)定理5設(shè)有方程組和其定常迭代法如果B的某種算子范數(shù)則:1.迭代法收斂．即對任取的有２．３．４．證明第35頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三(P252定理8)第36頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第37頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第38頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第39頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三(特殊方程組迭代法的收斂性P249)第40頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第41頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三定理6:(對角占優(yōu)定理P250)如果矩陣A為嚴(yán)格對角占矩陣或為不可約弱對角占優(yōu)矩陣,則A為非奇異矩陣.第42頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三(P251定理7,9,10)<例同時G-S迭代法也收斂.如1．條件的矩陣，證明第43頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第44頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第45頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三特別第46頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第47頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三誤差估計第48頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第49頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第50頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三第51頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三證明：2.3.1.返回第52頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三注:返回第53頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三證明:只證關(guān)于簡單迭代法的兩個，其余兩個的證明類似.(1)設(shè)A具有嚴(yán)格對角優(yōu)勢，以下證ρ(BJ)<1反證法，設(shè)BJ有特征值μ,|μ|≥1.3.20第54頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三所以μD+L+U也具有嚴(yán)格對角優(yōu)勢，所以|μD+L+U|≠0，所以|μ|≥1不可能成立，所以|μ|<1，即ρ(BJ)<1。3.21與矛盾第55頁，共57頁，2023年，2月20日，星期三(2)A不可約且具有對角優(yōu)勢，證ρ(BJ)<1，由定理有A非奇異，又（否則A必有一行元素全為零，與A非奇矛盾）用反證法，設(shè)BJ有特征值μ,|μ|≥1.同（1）有(3.20),(3.21)。注意μD+L+U中非零元素的位置與A中非零元素的位置完全