圓錐曲線知識總結(jié)

1.圓錐曲線的兩個定義：

（1）第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與＜|FF|不可忽視。若＝|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點的兩條射線，若﹥|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。（2）第二定義中要注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準(zhǔn)線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉(zhuǎn)化。例題講解:①已知定點，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是()A．B．C．

D．（）；

②方程表示的曲線是____已知點及拋物線上一動點P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_____2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點）在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：

（1）橢圓：焦點在軸上時（）（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點在軸上時＝1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同號，A≠B）（2）雙曲線：焦點在軸上：=1，焦點在軸上：＝1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B異號）。（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。例題講解:①已知方程表示橢圓，則的取值范圍為____

②若，且，則的最大值是____，的最小值是___（①雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_______

②設(shè)中心在坐標(biāo)原點，焦點、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線C過點，則C的方程為_______

3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標(biāo)軸上。（2）雙曲線：由,項系數(shù)的正負(fù)決定，焦點在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號決定開口方向。

例題講解已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是__4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：

（1）橢圓（以（）為例）：①范圍：；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），③過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若│AB︱＝4，則這樣的直線有_____條

特別提醒：

（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；

（2）過雙曲線＝1外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：①P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點時不存在這樣的直線；

（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線例題①過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有______

②過點(0,2)與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為______；

③過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，若4，則滿足條件的直線有____條（；

④對于拋物線C：，我們稱滿足的點在拋物線的內(nèi)部，若點在拋物線的內(nèi)部，則直線：與拋物線C的位置關(guān)系是_______；

⑤過拋物線的焦點作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是、，則_______；⑥設(shè)雙曲線的右焦點為，右準(zhǔn)線為，設(shè)某直線交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于，則和的大小關(guān)系為___________⑦求橢圓上的點到直線的最短距離；

⑧直線與雙曲線交于、兩點。①當(dāng)為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？②當(dāng)為何值時，以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點？7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。例①已知橢圓上一點P到橢圓左焦點的距離為3，則點P到右準(zhǔn)線的距離為____；

②已知拋物線方程為，若拋物線上一點到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于____；

③若該拋物線上的點到焦點的距離是4，則點的坐標(biāo)為_____

④點P在橢圓上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標(biāo)為_______

⑤拋物線上的兩點A、B到焦點的距離和是5，則線段AB的中點到軸的距離為______⑥橢圓內(nèi)有一點，F(xiàn)為右焦點，在橢圓上有一點M，使之值最小，則點M的坐標(biāo)為_______8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，則在橢圓中，①＝，且當(dāng)即為短軸端點時，最大為＝；②，當(dāng)即為短軸端點時，的最大值為bc；對于雙曲線的焦點三角形有：①；②。例題①短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為、，過作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為________；

②設(shè)P是等軸雙曲線右支上一點，F(xiàn)1、F2是左右焦點，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為

；

③雙曲線的虛軸長為4，離心率e＝，F(xiàn)1、F2是它的左右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，且是與等差中項，則＝__________；

④已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且，．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程9、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)AB為焦點弦，M為準(zhǔn)線與x軸的交點，則∠AMF＝∠BMF；（3）設(shè)AB為焦點弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點，則PA⊥PB；（4）若AO的延長線交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點，則A，O，C三點共線。10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。

例題①過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______

②過拋物線焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=10，O為坐標(biāo)原點，則ΔABC重心的橫坐標(biāo)為_______

11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=－；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=。例題①如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是

②已知直線y=－x+1與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為_______；

③試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關(guān)于直線對稱；

12．你了解下列結(jié)論嗎？（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，≠0)（3）中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準(zhǔn)距為；（5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；（6）若拋物線的焦點弦為AB，，則①；②（7）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點

13求曲線方程（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍；（2）求軌跡方程的常用方法：①直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；例題講解:已知動點P到定點F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程．

②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。例題講解:線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為

；③定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；例題講解(1)由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，∠APB=600，則動點P的軌跡方程為

；（2）點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是_______（）；(3)一動圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切，則動圓圓心的軌跡為

（

④代入轉(zhuǎn)移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；例題講解:動點P是拋物線上任一點，定點為,點M分所成的比為2，則M的軌跡方程為__________；

⑤參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。

例題:（1）AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動點，作MN⊥AB，垂足為N，在OM上取點，使，求點的軌跡。；（2）若點在圓上運動，則點的軌跡方程是____（）；（3）過