第八章空間幾何與向量代數(shù)

第八章空間幾何與向量代數(shù)第1頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三向量（矢量）：既有大小又有方向的量.模長(zhǎng)為1的向量。零向量：模長(zhǎng)為0的向量||向量的模：向量的大小單位向量：一、向量的概念或或向量的記法：（方向任意）。向量的表示：3/26就是線段的距離第2頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量（默認(rèn)）.相等的向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.平行的向量：4/26第3頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[1]加法：（1）平行四邊形法則特殊地：若‖（2）三角形法則二、向量的線性運(yùn)算5/26考慮物理意義第4頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）[2]減法6/26第5頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[3]向量與數(shù)的乘法:7/26第6頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：8/26第7頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1化簡(jiǎn)解9/26本例題利用了向量數(shù)乘的結(jié)合律和分配率第8頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系若三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手規(guī)則——右手系——最常用（默認(rèn)）.三、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)另一種空間直角坐標(biāo)系——左手系.11/26第9頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有三個(gè)坐標(biāo)面、ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ八個(gè)卦限12/26第10頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三向徑OM有序數(shù)組稱為(x,y,z)向徑OM的坐標(biāo),點(diǎn)M點(diǎn)M的坐標(biāo)。xyz向量AB的坐標(biāo)=向徑OM的坐標(biāo)A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)M(x2-x1,y2-y1,z2-z1)=AB的終點(diǎn)坐標(biāo)(x2,y2,z2)-起點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1,z1)=(x2-

x1,y2-

y1,z2-z1)13/26第11頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三——按基本單位向量的分解式.14/26第12頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間距離公式——向量的模的坐標(biāo)表達(dá)式。17/26第13頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解原結(jié)論成立.18/26第14頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為所求點(diǎn)為19/26第15頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.方向角與方向余弦類似地，定義向量與軸的夾角及兩軸的夾角.非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為向量的方向角，其余弦稱為向量的方向余弦.由20/26第16頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三當(dāng)時(shí)，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式由21/26第17頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解例723/26第18頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三六、小結(jié)1、向量的概念（注意與標(biāo)量的區(qū)別）2、向量的線性運(yùn)算3、空間點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)4、利用直角坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算5、向量的模、方向角、方向余弦、投影26/26第19頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)向量的點(diǎn)積和叉積一、向量的點(diǎn)積（數(shù)量積）

1．引例

已知力與軸正向夾角為,其大小為，在力的作用下，一質(zhì)點(diǎn)沿軸由點(diǎn)()移動(dòng)到點(diǎn)()(如圖8-9），求力所做的功？解力在水平方向的分力大小為，所以，力使質(zhì)點(diǎn)沿軸方向(從到)所做的功為：(1)注意到，，所以(1)式可寫成:(2)第20頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三２．點(diǎn)積的定義定義1

設(shè)向量與之間夾角為（），則稱實(shí)數(shù)為與的點(diǎn)積（或數(shù)量積），并用記號(hào)表示，即=．特別，零向量與任何向量的點(diǎn)積顯然為0（即為數(shù)零）。注意，我們約定兩向量與間的夾角的范圍是于是由定義1即可得：3．點(diǎn)積滿足的運(yùn)算規(guī)律由點(diǎn)積的定義容易驗(yàn)證點(diǎn)積滿足下列運(yùn)算規(guī)律：(1)（交換律）；第21頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）（分配律）；（3）（結(jié)合律）。顯然，且可得到以下結(jié)論．定理1兩個(gè)非零向量與垂直（記為）的充分必要條件為。證明（見(jiàn)書）。由此定理可得到：,,；另有,,。4．點(diǎn)積的坐標(biāo)表示式

則第22頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

由此可得上述兩非零向量垂直的充分必要條件又可表為：另外，由,可得兩向量，夾角的余弦公式：例１

試證向量,是互相垂直（即正交）的．第23頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

證明因?yàn)椋杂啥ɡ?知與互相垂直。第24頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、向量的叉積(向量積)只做了解1．引例設(shè)點(diǎn)為一杠桿的支點(diǎn),力作用于杠桿上點(diǎn)處，求力對(duì)支點(diǎn)的力矩.解根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，力對(duì)點(diǎn)的力矩是向量,其大小為，其中為支點(diǎn)到力的作用線的距離,為矢量與的夾角（如圖8-10）．力矩的方向規(guī)定為：伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向方向，然后讓四指沿小于的方向握拳轉(zhuǎn)向力的方向，這時(shí)拇指的方向就是力矩的方向．因此，力矩是一個(gè)與向量和向量有關(guān)的向量，其大小為

，其方向滿足：第25頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1）同時(shí)垂直于向量和；（2）向量，，依次符合右手螺旋法則．2．叉積的定義定義2兩個(gè)向量和的叉積（也稱為向量積）是一個(gè)向量，記作，并規(guī)定如下：

（1）；

（2）的方向規(guī)定為：既垂直于又垂直于，并且按順序，，符合右手螺旋法則（如圖8-11）．若把，的起點(diǎn)放在一起，并以，為鄰邊作一平行四邊形，則向量與的叉積的模即為該平行四邊形的面積（如圖8-12）．

第26頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)平面與直線一、平面的方程1.平面的點(diǎn)法式方程（1）.法向量如果一個(gè)非零向量垂直于一個(gè)平面，則稱此向量為該平面的法（線）向量。（2）.平面的點(diǎn)法式方程已知點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，向量為平面的法向量，求平面的方程。設(shè)點(diǎn)為平面上任意一點(diǎn)，連結(jié)成向量（（見(jiàn)圖8-13）。

第27頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由于平面的法向量垂直于上任一直線，故有，從而得到，即有，于是得方程為： （1）顯然平面上任一點(diǎn)滿足方程（1）；反之，若點(diǎn)不在平面上，則不垂直，從而

,即點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程（1），故方程（1）是平面的方程。平面是方程（1）的圖形，我們稱這種由平面上一定點(diǎn)和其法向量所確定的平面方程為平面點(diǎn)法式方程第28頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.平面的一般方程由上面的討論可以看出，任一平面方程都是三元一次方程。反之，任一三元一次方程……(2)的圖形必為平面。

這是因?yàn)槿稳M足方程（2）的一組數(shù)，有:

…………（3）式（2）－式（3），得,這是過(guò)點(diǎn)且法向量的平面方程，即任一三元一次方程的圖形是一平面。我們稱方程為平面的一般（式）方程，其中。下面研究幾種特殊位置的平面方程：（1）若，則平面一般方程變?yōu)?由于點(diǎn)滿足方程，故它表示通過(guò)原點(diǎn)的平面。第29頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三即。在這里，我們規(guī)定兩平面法向量間的夾角為兩平面的夾角。例8求兩平面與的夾角。解已知，，故于是得夾角。二、直線的方程1.直線的點(diǎn)向式方程及參數(shù)式方程（1）.直線的方向向量如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線，則稱這個(gè)向量為該直第30頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三線的方向向量。（2）.直線的點(diǎn)向式方程（標(biāo)準(zhǔn)式方程）已知向量

（不全為零）和一定點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與平行的直線方程。設(shè)是所求直線上的任意一點(diǎn)，由條件∥，而，

（如圖8-15），由二非零向量平行的充分必要條件得：

…………(4)

第31頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三方程組（4）稱為直線的點(diǎn)向式方程（也稱為直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程）。注意因?yàn)?，所以不全為零。若其中有一個(gè)為零，例如時(shí)，（4）式應(yīng)理解為

而當(dāng)有兩個(gè)為零時(shí)，例如,（4）式應(yīng)理解為例9求過(guò)兩點(diǎn)，的直線方程。解所求直線的方向向量為：第32頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由直線的點(diǎn)向式方程得所求直線方程為（3）。直線的參數(shù)式方程設(shè)一直線的點(diǎn)向式方程為：，

于是有，，，即有（t為參數(shù)）(5)我們稱方程組（5）為直線的參數(shù)式方程。2。直線的一般式方程空間直線也可看作兩個(gè)平面的交線，所以可用這兩個(gè)平面方程的聯(lián)立方程組來(lái)表示直線的方程，即：(6)方程組（6）稱為直線的一般式方程，也稱為直線的面交式方程。注意只有兩個(gè)平面不平行時(shí)才會(huì)有交線。

第33頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三于是得所求直線方程為。4。兩直線的夾角兩直線方向向量間的夾角稱為兩直線的夾角。例13求直線和間的夾角。解直線L1，L2的方向向量分別為，，故兩直線間的夾角的余弦為：

所以。第34頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第四節(jié)曲面與空間曲線一、曲面方程的概念

定義如果曲面上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，而不在曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程，則稱方程為曲面的方程，而稱曲面為此方程的圖形。例1求與兩定點(diǎn)，等距離的點(diǎn)的軌跡方程。解設(shè)為軌跡上的點(diǎn)，按題意有：，=，化簡(jiǎn)得：

第35頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因此在軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足上述方程，而不在軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足該方程，所以它就是所求點(diǎn)的軌跡方程。該方程是的一次方程，它表示一個(gè)平面。例2求球心在，半徑為R的球面方程。解設(shè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)在以為球心，以R為球半徑的球面上的充要條件為即。兩邊平方，得………………①顯然，球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程①，不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程①，所以方程①就是以球心，以R為球半徑的球面方程。時(shí)，則得球心在坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程為：二、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面1.定義直線L沿定曲線C平行移動(dòng)所形成的曲面稱為柱面；定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L稱為柱面的母線第36頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（見(jiàn)圖8-17）。2.柱面方程本節(jié)我們只討論準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上，而母線垂直于該坐標(biāo)面的柱面，先看一個(gè)具體問(wèn)題。設(shè)一個(gè)圓柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線C是平面上以原點(diǎn)為圓心，R為半徑的圓，即準(zhǔn)線C的方程為，試求。在圓柱面上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的母線與平面的交點(diǎn)一定在準(zhǔn)線C上（見(jiàn)圖8-18），所以不論點(diǎn)M的坐標(biāo)中的z取什么值，它的橫坐標(biāo)

x

和縱坐標(biāo)

y

必定滿足方程;反之，不在圓柱面上的點(diǎn)，它的坐標(biāo)不滿足這個(gè)方程，于是所求柱面方程為。注意在平面直角坐標(biāo)系中，方程表示一個(gè)圓，而在空間直角坐標(biāo)系中，方程表示一個(gè)母線平行于z軸的圓柱面。第37頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一般來(lái)說(shuō)，如果柱面的準(zhǔn)線是面上的曲線C，它在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，那么，以C為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程就是。相仿地，方程表示母線平行于x軸的柱面；方程表示母線平行于y軸的柱面。于是，我們有結(jié)論：在空間直角坐標(biāo)系下，二元方程必為柱面方程，且方程中缺哪個(gè)變量，該柱面的母線就平行于哪一個(gè)坐標(biāo)軸。例如：方程表示母線平行于軸的橢圓柱面，方程表示母線平行于軸的雙曲柱面，方程表示母線平行于軸的拋物柱面，第38頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三以上三個(gè)方程都是二次的，因此稱其為二次柱面（見(jiàn)圖8-19、8-20、8-21）。三、旋轉(zhuǎn)曲面1.定義一平面曲線C繞同一平面上的一條定直線L旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面；其中曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸（或稱旋轉(zhuǎn)軸）。２.旋轉(zhuǎn)曲面方程我們本節(jié)主要討論母線在某個(gè)坐標(biāo)面上，旋轉(zhuǎn)軸是該坐標(biāo)面上第39頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三的一條坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面。設(shè)在平面上有一條已知曲線C，它方程是：求此曲線C繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程（見(jiàn)圖8-22）。在旋轉(zhuǎn)曲面上任取一點(diǎn)，設(shè)這點(diǎn)是由母線上點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)一定角度而得到。由圖8-22可知，點(diǎn)與z軸的距離等于點(diǎn)與z軸的距離，且有同一豎坐標(biāo)，即

,,又因?yàn)辄c(diǎn)在母線C上，

所以，于是有：。旋轉(zhuǎn)曲面上的點(diǎn)都滿足方程，而不在旋轉(zhuǎn)曲面上的點(diǎn)都不滿足該方程，故此方程是母線為C，旋轉(zhuǎn)軸為z軸的旋轉(zhuǎn)第40頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三曲面的方程。可見(jiàn)，只要在坐標(biāo)面上曲線C的方程中，將y換成，就得到曲線C繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程。同理，曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的的旋轉(zhuǎn)曲面方程為對(duì)于其它坐標(biāo)面上的曲線，繞該坐標(biāo)面上任何一條坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面，其方程可以用上述類似方法求得。例3求由平面上的直線繞z軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。解在中，把y換成，得所求方程為，即，此曲面為頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸的圓錐面（見(jiàn)圖8-23）。四、二次曲面由上一節(jié)已知，在空間直角坐標(biāo)系中，若方程是一次方程，則它的圖形必是一個(gè)平面。平面也稱為一次曲面；若方程是二次方程，則它的圖形稱為二次曲面。第41頁(yè)，共45頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)于空間曲面方程，我們一般地用一系列平行于坐標(biāo)面的平面去截曲面，從而求得一系列的交線，對(duì)這些交線進(jìn)行綜合分析就可了解曲面的形狀和特征，這種方法稱為截痕法。下面我們就用截痕法研究幾個(gè)常見(jiàn)的二次方程所表示的二次曲面的形狀和特征。1.橢球面方程