第六章-狹義相對論

第六章__狹義相對論1第1頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三經(jīng)典時空觀認為，所有慣性參照系等價。物理規(guī)律在Galileo變換下協(xié)變是經(jīng)典時空觀的核心內(nèi)容。2．電磁理論與經(jīng)典時空觀考察Maxwell方程，在真空中，對于S參照系變換到S’參照系可見，Maxwell方程不滿足Galileo變換協(xié)變性要求。電磁規(guī)律與Galileo相對性原理矛盾，可能原因有兩種：電磁規(guī)律并不是對于所有參照系成立。如果是這樣，所有慣性系平權(quán)的結(jié)論被打破，必定存在一個“絕對參照系”。

經(jīng)典時空觀是錯誤的。

Galileo相對性原理回避了一個問題：什么樣的參照系才是慣性參照系。其實慣性參照系的確定需要一個“絕對參照系”。第2頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三歷史上曾認為存在一個“絕對參照系”，Maxwell方程在“絕對參照系”中成立。另一方面，歷史上認為電磁波象機械波那樣，傳播需要媒質(zhì)，并把它稱為“以太”（Ether）?！敖^對參照系”就是相對“以太”靜止的參照系。因此尋找“以太”或證明相對于“以太”的運動稱為當(dāng)時物理學(xué)的一個重大課題。二、相對論的實驗基礎(chǔ)

1.研究“以太是否存在”－觀測地球相對于“以太的運動”Michelson-Morley實驗（1887年）調(diào)整兩臂長度使兩束光有效光程相等。以u表光相對于地球的速度，v表地球相對于以太的運動速度，u僅表大小，丟棄負根，

第3頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)地球相對于以太的運動速度v沿MM1方向，光線MM1M（q=0，p）的傳播時間

光線MM2M的傳播時間（q=p/2，-p/2）

光程差將實驗裝置轉(zhuǎn)動900，干涉條紋將移動

利用多次反射可使有效臂長達到10m左右，若用波長5000?的光做實驗，觀測到干涉條紋移動上限僅為0.01個，由此,地球相對于以太的運動速度上限不超過4.74km/s。第4頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三為了提高實驗精度，還有許多利用其他實驗技術(shù)的研究工作，如：1958年的微波激射實驗定出地球相對于以太的運動速度上限為0.03km/s；1970年利用M?ssbauer效應(yīng)所做實驗定出的上限為0.00005km/s。結(jié)論：實驗結(jié)果支持“不存在以太”的結(jié)論。（即不存在電磁規(guī)律成立的“絕對參照系”）

2.研究Galileo相對性原理與電磁現(xiàn)象的矛盾－觀測運動光源的光速用星光作光源的實驗表明光速不依賴于光源的運動；對雙子星觀測也表明光速與光源的運動無關(guān)（如果有關(guān)，觀測到的雙子星運動軌道應(yīng)被歪曲）。

利用高速運動的粒子的實驗。Alvarger等人所做實驗中，p0介子（m=264.12me，壽命～0.87×10－16s）以0.9975c的速度運動，第5頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三測得沿p0介子運動方向的光子速度為m/s，與靜止光源光速一致。

結(jié)論：光速與光源運動速度無關(guān)。即，在所有慣性系中光速相同。實驗結(jié)果要求建立新的時空觀理論－相對論。其他支持相對論的實驗舉例：橫向Doppler效應(yīng)、高速帶電粒子壽命、攜帶原子鐘環(huán)球飛行等實驗證實了運動時鐘延緩效應(yīng)。原子核能的利用證實了相對論的質(zhì)能關(guān)系。

第6頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三§2相對論基本原理Lorentz變換一、相對論基本原理

Einstain提出相對論的兩個基本假設(shè)：

相對性原理：所有慣性系等價，即物理規(guī)律對所有慣性參照系都可表為相同形式。（稱為相對論協(xié)變性）光速不變原理：對任何慣性參照系，真空中沿任意方向的光速均為c。

光速不變原理與經(jīng)典時空觀將產(chǎn)生矛盾。設(shè)慣性系S’以速度v相對于慣性系S運動，初時刻原點重合，且一位于原點的光源發(fā)出一閃光，對于慣性系S，一秒后位于半徑為c的球面上的接收器P1、P2和P

同時收到信號；對于慣性系而言，如果光速仍然為c，位于P2的接收器將晚于P1接受接受到信號。第7頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三即，在慣性系S中觀察到同時發(fā)生的兩事件在慣性系S’中變?yōu)椴煌瑫r。光速不變原理迫使對同時性概念的重新思考，同樣，關(guān)于時間、距離、速度等基本物理量的內(nèi)涵都將由于光速不變原理而發(fā)生變化，即需要建立新的時空觀。相對論的一個主要內(nèi)容就是關(guān)于時空的理論。

二、間隔不變性

設(shè)初時刻光源發(fā)出閃光為第一事件，在兩慣性系中均以（0，0，0，0)表示；第二事件為在P

點收到信號，在慣性系S和S’中分別用（x，y，z，t)和（x’，y’，z’，t’）表示。由光速不變原理，第8頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三問題：上面的兩個事件用光信號聯(lián)系（相關(guān)事件）。一般地講，兩個事件不一定是以光信號聯(lián)系的（如機械運動從一個位置到另一個位置），甚至兩個事件根本沒有聯(lián)系（不相關(guān)兩事件）。一般情形下，相對性原理要求從慣性參照系變換必須是線性的。對于兩個事件（仍設(shè)第一事件發(fā)生于零時刻坐標原點處），對慣性系S’定義作慣性系變換，有

顯然，F(xiàn)’為零時要求F也為零。在前面推導(dǎo)中，F(xiàn)’為零時，為零。這要求第9頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三空間中無特殊方向，兩個慣性系等價。所以，也應(yīng)有

正如坐標系平移和旋轉(zhuǎn)變換，慣性系變換應(yīng)該是連續(xù)的（注意空間反演變換不是連續(xù)變換），舍去負根。所以對于任意兩事件，總有

若第一事件不是發(fā)生在零時刻，也不是發(fā)生在坐標原點。在慣性系S，定義兩事件間隔

在慣性系S’，兩事件間隔為第10頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三兩事件在不同慣性系中間隔不變間隔是將事件和空間距離統(tǒng)一起來。間隔不變性使時間和空間建立了聯(lián)系。Ex.1

參照系S’相對于S以速度v沿x軸方向運動。在S’上有一靜止光源S和一反射鏡M，兩者相距。從S發(fā)出閃光經(jīng)M反射回到S。求兩參照系上觀察到的閃光發(fā)出和接收的時間和間隔。

解：在S’上觀察到的時間為

間隔為

在S上觀察，由幾何關(guān)系可得光信號傳播路程為

第11頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三兩事件間隔

由間隔不變性

由變換的連續(xù)性可見，三、Lorentz變換選兩坐標系（零時刻具有相同原點）的x和x’軸都沿S’相對于S的運動方向。設(shè)第一事件發(fā)生在零時刻，且在坐標原點處，第二事件在S中以（x，y，z，t）表示，在S’中以（x’，y’，z’，t’）表示。第12頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三變換是線性的，可設(shè)為由間隔不變性

比較系數(shù)，有

注意到x和x’軸同向，t和t’正向相同，有

所以第13頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三對于參照系S’原點應(yīng)用變換式中第一式，有Lorentz變換作變換可得反變換第14頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三Ex.2S’相對于S的運動速度為0.8c，在S上觀察，1秒后閃光信號同時被P1和P2接收到，求P1和P2收到信號在S’上的時刻和位置。

解：P1收到信號在S上的空時坐標，（c,0,0,1）。該事件在S’上的空時坐標為

即

P2收到信號在S上的空時坐標為（-c,0,0,1），由Lorentz變換，該事件在S’上的空時坐標為（-3c,0,0,3）。第15頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三對P1和P2收到信號這兩個事件，有可見，在相對論，兩事件時間、空間距離、同時性等是相對的，但間隔是絕對的。

第16頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三§3相對論的時空理論

一、相對論時空結(jié)構(gòu)

若空間運動局限于二維xy面。設(shè)時間軸（ct）垂直于xy面，該三維時空中的一點P表一事件，它在xy面上投影表事件發(fā)生的空間位置，P點的垂直坐標等于事件發(fā)生時刻乘以c。構(gòu)成一錐面，稱為光錐。光錐將時空分為三個區(qū)域：

P點在錐面上。P和O兩事件可用光波聯(lián)系，有s2=

0

。這類間隔稱為類光間隔。

P點在光錐內(nèi)。兩事件可用低于光速的物理過程聯(lián)系，有s2>

0

。這類間隔稱為類時間隔。

P點在光錐外。兩事件不能用光波或低于光速的物理過程聯(lián)系，有s2<

0

。這類間隔稱為類空間隔，也稱兩點絕對異地。第17頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三

討論：間隔不變性保證了這種劃分是絕對的。若在某個慣性系中P事件在光錐內(nèi)，則在任何慣性系中仍在光錐內(nèi)。

Lorentz變換保持時間正向不變（a22>

0），故上下光錐不能相互變換。即若事件P在上光錐內(nèi)，則在任何慣性系事件P都將在上光錐內(nèi)。所以，類時間隔可分為兩類：絕對未來，（P在上光錐內(nèi)）；絕對過去（P在下光錐內(nèi)）。在空間運動為三維的情形，具有類似的時空結(jié)構(gòu)。二、因果律和相互作用的最大傳播速度

類時間隔的兩事件可能有因果關(guān)系，有因果關(guān)系的兩事件總是通過物質(zhì)運動相聯(lián)系,慣性系變換須滿足因果關(guān)系。設(shè)在慣性系S中事件一（x1，y1，z1，t1）為事件二（x2，y2，z2，t2）的原因，有t2>t1。變換到另一慣性系S’后，兩事件分別用（x1’，y1’，z1’，t1’）和（x2’，y2’，z2’，t2’）表示。第18頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三由Lorentz變換設(shè)聯(lián)系兩事件的物質(zhì)運動速度大小為u，則

物質(zhì)的最大傳播速度為光速，

相對論中因果律的保證依賴于物質(zhì)傳播最大速度為光速。

三、同時的相對性

在慣性系S中兩事件（x1，y1，z1，t1）和（x2，y2，z2，t2）有t2>t1，其間隔是類空的（無因果聯(lián)系），有第19頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三由Lorentz變換

如果x2>

x1

(是允許的），若S’相對于S的運動速度足夠大（不需超過光速），能做到

在這樣的慣性系S’中，兩事件發(fā)生的先后順序顛倒（或變?yōu)橥瑫r）。

討論：

具有類空間隔兩事件的時間先后或同時概念無絕對意義。在不同地點同時發(fā)生的兩事件是類空的，不能具有因果聯(lián)系。若兩事件對于S是同時的，在S’中一定不同時。

第20頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三四、運動時鐘的延緩

任何物理過程需要一定時間，在相對于物體靜止的參照系，完成物理過程需要的時間稱為固有時間。

計時單位是根據(jù)固有時間定義的。目前國際上采用自然基準，規(guī)定Cs133（Cesium）（基態(tài)二）超精細能級之間的躍遷輻射周期的9192631770倍為一秒。

相對于S’靜止的某物體內(nèi)部相繼發(fā)生兩事件的間隔

在S上看，這兩個事件發(fā)生在不同地點，其間隔

表明運動物體發(fā)生自然過程比靜止物體發(fā)生同樣過程需更多時間，運動物體發(fā)生自然過程將變慢（延緩）。第21頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三實驗證據(jù)：自然界中存在一些不穩(wěn)定粒子，如p介子衰變?yōu)閙子和m型中微子

靜止p介子壽命～2.6030×10－8s，實驗測得高速運動p介子（速度～

0.909c）壽命與理論結(jié)果很好符合。

m子衰變?yōu)殡娮印型中微子和電子型反中微子

靜止m子壽命～2.19703×10－6s，實驗測得運動m子（速度～0.9966c）壽命～26.37×10－6s

，理論值～26.69×10－6s

。兩參照系相對作勻速運動時,時間延緩效應(yīng)具有相對性。從S中看相對S’靜止的時鐘變慢，而從S’中看相對S靜止的時鐘也變慢。

第22頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)S中有兩個固定的對準的時鐘C1和C2（相距l(xiāng)），時鐘C’運動速度為v。設(shè)C’經(jīng)過C1時，三只鐘都指向零時刻。在S上看，經(jīng)過時間l/v時鐘C’將經(jīng)過C2。此時，在S上看，C1和C2都指向l/v，而C’指向t，t應(yīng)是其固有時間。在S上看，運動時鐘C’變慢。然而，在S’上（相對于C’

靜止）看到的結(jié)果也應(yīng)該如此,這是否意味著在S’上看，相對于S上的時鐘變快了呢？

回答是否定的。將C1和C2指向零刻度看成兩事件，在S中他們同時發(fā)生，對S’他們不再同時。即當(dāng)C’經(jīng)過C1時，在S’上看C2不會指向零刻度，設(shè)指向d。對S’，C1指向零和C2指向d是同時發(fā)生的兩事件。第23頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三C2指向d這一事件在S中的空時坐標為（l，0，0，d），對S’，這一事件發(fā)生在零時刻，當(dāng)C’經(jīng)過C2時,

C2指向l/v。所以在S’上看，C2走過的時間即C2也變慢。

附：當(dāng)C’經(jīng)過C2時,設(shè)對于S’，C1指向x。C1指向x這一事件在S中的空時坐標為（0，0，0，x），而在S’中的空時坐標為（x1’，0，0，t），由Lorentz變換C1走過的時間與C2相同。第24頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三有加速度情形，時間延緩導(dǎo)致絕對的物理效應(yīng)。即當(dāng)時鐘繞閉合路徑作加速運動回到原地時，所經(jīng)歷的總時間小于原地點靜止時鐘經(jīng)歷的時間，這個通常稱為“雙生子佯謬”。有加速度情形，需要用廣義相對論研究。五、運動尺度的縮短長度的測量目前也采用自然基準：規(guī)定在1/299792458秒時間間隔內(nèi)，光在真空中傳播距離為1米。

如圖，在S中看，物體后端經(jīng)過P1前端經(jīng)過P2兩事件同時發(fā)生，P1P2為在S中測得的物體長度。兩事件在S中的空時坐標分別為（x1，t1)和（x2，t2)。（注意t1=t2）由Lorentz變換，

第25頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三（x’2-x’1）為S’中測得的物體長度。物體相對于S’靜止，所以對于測量時間沒有任何限制。上式可寫為

運動物體尺度縮短。長度縮短效應(yīng)的相對性在S’中測量相對于S靜止物體的長度，有

該式與前面結(jié)論不矛盾，該式要求t’2=t’1。即兩式成立的條件是不同的。第26頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三時間延緩和長度收縮是相關(guān)的

宇宙射線中含有速度接近光速的高能m

子，他們產(chǎn)生于大氣層上部。靜止m

子壽命～2.197×10－6s，按經(jīng)典理論，在這個時間m

子能穿越的厚度～660m，該厚度遠小于大氣層厚度。但實際上，大部分m

子都能穿越大氣層。相對論解釋：在S上看，m

子壽命變長；在S’上看，大氣層厚度變小，所以m

子穿過了大氣層。

時間和空間是物質(zhì)的一種屬性，時間和空間與物質(zhì)相互聯(lián)系。若沒有運動物質(zhì)，就沒有所謂的時空。時間和空間是從物質(zhì)運動中分析和抽象而得的物理概念。在狹義相對論基礎(chǔ)上，廣義相對論又發(fā)展了時空觀，提出了時空彎曲、時空與引力場的關(guān)系等新的重要概念。

第27頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三六、速度變換公式

設(shè)S’相對于S以速度v沿x軸方向運動，由Lorentz變換，

同理可得速度z方向分量的變換關(guān)系。第28頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三相對論速度變換公式其反變換公式為

在非相對論極限下

過渡為經(jīng)典情形下的速度變換公式。

第29頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三Ex.1

證明，若在某個參照系物體的速度小于光速，則在對于任何參照系物體的速度都小于光速。證明：考察物體的在某一時間元的位移，由間隔不變性如果Ex.2勻速運動介質(zhì)中的光速。

解：設(shè)介質(zhì)運動速度為v且沿x軸方向，選相對于介質(zhì)靜止的參照系為S’,在S’上，介質(zhì)中光速沿各方向均為c/n。對于速度，有第30頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三若v<<c

逆介質(zhì)運動方向的傳播速度

速度也不符合Galileo變換（其實v<<c并不是非相對論極限的條件）。這兩式的結(jié)論被Fizeau水流實驗證實。

第31頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三§4相對論理論的四維形式

一、空間的正交變換

1.空間轉(zhuǎn)動是正交變換二維空間轉(zhuǎn)動：P點坐標滿足

轉(zhuǎn)動過程中

為不變量，二維空間轉(zhuǎn)動是正交變換。

三維空間。線性變換一般可以表為若變換滿足

則是正交變換。三維空間的轉(zhuǎn)動就是一種正交變換。

第32頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三2.正交變換的抽象形式n維線性變換可表為約定：下標重復(fù)時，除非特殊說明，都要對指標求和。上式改寫為正交變換條件是

引入符號

正交變換條件還可以寫為

反變換公式

3.正交變換的矩陣形式（以三維為例）定義線性變換矩陣第33頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三其轉(zhuǎn)置矩陣

即在S和S’中的坐標以列矩陣表示線性變換表為正交變換條件為

反變換為

二、物理量按空間變換性質(zhì)分類

1．標量：標量沒有方向，在空間變換下標量保持不變，即是不變量（如電量、質(zhì)量、能量在三維空間轉(zhuǎn)動下不變）。第34頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三2．矢量：具有方向?qū)傩?，n維空間中的矢量有n個分量。這些分量在空間變換時按同一方式變換速度、力、電場強度、磁感應(yīng)強度等是三維空間中的矢量

微商算子具有矢量性質(zhì)

3．二階張量某些材料的極化率是各向異性的，即沿不同方向極化時極化強度不同

極化率的取值具有各向異性特征，用二維空間的二階張量表示，有9個分量。電四極矩也是一個二階張量

兩個矢量的并矢也構(gòu)成一個二階張量，它與另一矢量相乘為一矢量

第35頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三一個n維空間的二階張量具有n×n個分量，以Tij表示張量與矢量相乘二階張量的變換證明：設(shè)兩矢量（p，q）滿足空間變換使（p，q，T）變?yōu)椋╬’，q’，T’）對稱和反對稱張量，張量的跡1）對稱張量滿足2）反對稱張量滿足

3）張量的跡第36頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三空間變換不改變張量的對稱性和張量的跡。證明：對于對稱張量對于反對稱張量對于張量的跡可見，張量的跡是一不變量。

張量分解二階張量可分解為：跡（一個獨立分量）；無跡對稱張量（五個獨立分量）和反對稱張量（三個獨立分量）三部分。第37頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三以三維空間的對稱張量為例第38頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三附：指標收縮

一個二階張量Tij有兩個自由指標，與一矢量相乘后只剩一個指標這稱為指標收縮。兩個矢量的標積viwi

沒有指標，是一標量（不變量）。證明：三、Lorentz變換的四維形式若引入第四維（虛數(shù)）坐標x4=ict，由Lorentz變換保持間隔不變，即存在不變量Lorentz變換是線性變換，可表為注：這里是復(fù)四維空間，稱為Minkowski空間，它不同于實四維Euclid空間。Minkowski空間中的點稱為“世界點”，曲線稱為“世界線”。第39頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三沿x方向的Lorentz變換的變換矩陣

其中逆變換矩陣

滿足四、四維協(xié)變量Lorentz變換是四維空間變換,根據(jù)變換性質(zhì)將物理量分為標量：在Lorentz變換下保持不變，也稱為Lorentz標量或不變量。間隔就是四維空間標量。

第40頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三矢量：有四個分量，在Lorentz變換下滿足

四維空時坐標xm

=（x，y，z，ict）是四維矢量。四維微商算符也是四維矢量D’Alembert算符是標量二階張量：在Lorentz變換下滿足它們都稱為四維空間中（Lorentz）協(xié)變量。

1.四維速度：定義因為四維速度是Lorentz協(xié)變量，但三維速度ui=dxi/dt由于dt在Lorentz變換下發(fā)生改變，使ui并不按四維矢量方式變換，所以

ui不能成為四維矢量的分量。第41頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三2.四維波矢量

在不同慣性系中波矢（與空間尺度有關(guān)）和頻率（與時間尺度有關(guān)）具有不同值?？紤]平面電磁波相位描述波形，波形是客觀物理事實（比如在某時空點正好處于波峰），與參照系選取無關(guān)，相位是不變量。定義四維波矢

有四維波矢的變換關(guān)系第42頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三

Doppler效應(yīng)觀測遙遠星系（遠離地球）特征光譜線，與實驗室中靜止光源特征譜線相比，發(fā)現(xiàn)譜線明顯移向波長較大的區(qū)域，這一現(xiàn)象稱為譜線紅移。產(chǎn)生譜線紅移的原因有兩種，Doppler紅移和引力紅移，通常引力紅移非常小。設(shè)在S中波矢與x軸夾角為q，在S’中波矢與x軸夾角為q’，由波矢變換關(guān)系設(shè)光源相對于S’靜止，記w’=w01）在垂直方向觀測（q

=p/2）運動光源，頻率變?。t移），稱為橫向Doppler效應(yīng)。橫向Doppler效應(yīng)是相對論效應(yīng)（非相對論極限下沒有），它被Ives-Stilwell實驗證實。

第43頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三2）光源向觀察者運動（q

=0）頻率升高，發(fā)生Doppler藍移現(xiàn)象。3）光源遠離觀察者運動（q

=p）頻率降低，發(fā)生Doppler紅移現(xiàn)象。光行差1728年，Braley觀測恒星發(fā)光（虛線），發(fā)現(xiàn)傾角一年（地球公轉(zhuǎn)周期）出現(xiàn)周期性變化。把恒星發(fā)出光線表觀方向的變化稱為光行差。在早期理論中，把光行差歸結(jié)為地球相對于以太的運動。相對論認為：光行差是由于光源運動引起光的傳播方向發(fā)生變化。第44頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三相對論解釋：利用波矢變換關(guān)系又因為q和q’正弦值均為正

表明光的傳播方向因光源運動而改變。上式稱為光行差公式。第45頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)在地球上用望遠鏡觀測恒星的傾角為a’（=p–q’），恒星實際傾角為a（=p–q），（a’

-a）稱為光行差。當(dāng)v<<c時，第46頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三§5電動力學(xué)的相對論不變性相對性原理要求一切慣性系等價，即在不同慣性系中物理規(guī)律表述為相同形式。即要求物理規(guī)律是Lorentz協(xié)變的。

為了得到電磁規(guī)律的協(xié)變形式，先分析電磁物理量的四維形式。

一、四維電流密度矢量帶電體電量應(yīng)與慣性系選擇無關(guān)，是Lorentz標量。但由于空間尺度與物體運動有關(guān)，電荷密度應(yīng)與慣性系選擇有關(guān)。

設(shè)在帶電體靜止的慣性系，電荷密度為r0，體積元為dV0，帶電體運動速度為u，則

要保持電量不變，必有

第47頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三

帶電體以速度u運動，所以

注意到四維速度矢量上述電流密度可以作為一四維矢量的空間分量。根據(jù)四維速度矢量，第四分量應(yīng)為

四維電流密度矢量：

討論：

在相對論中電荷密度和電流密度是相關(guān)的，形成一個統(tǒng)一的物理量。電荷密度和電流密度是這個統(tǒng)一物理量的不同方面。帶電體靜止時，表現(xiàn)為電荷密度；帶電體運動時，表現(xiàn)出電流，且電荷密度（因空間尺度的變化）發(fā)生改變。電荷密度和電流的大小與參照系的選擇有關(guān)。這進一步說明，空間和時間是物質(zhì)的屬性。第48頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三電荷守恒定律

因為

該方程左端為Lorentz標量，顯然具有協(xié)變性。

二、四維勢矢量

Maxwell方程可以等價地用勢函數(shù)滿足的方程代替。在Lorentz規(guī)范下

Lorentz規(guī)范條件

說明：Maxwell方程組有四個方程，而上面只有兩個方程。還有兩個方程呢？第49頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三勢函數(shù)的定義包含了其他兩個方程

D’Alembert算符是標量可引入四維勢矢量

1）四維勢滿足的方程

它相當(dāng)于Maxwell方程，具有Lorentz協(xié)變性。Lorentz規(guī)范條件

第50頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三2）四維勢矢量變換

三、電磁場張量

1）引入反對稱電磁場張量

注意到

第51頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三2）利用電磁場張量，可得Maxwell方程的協(xié)變形式

3）電磁場的變換關(guān)系

由張量變換關(guān)系

第52頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三可寫為更緊致的形式

（注意：速度沿x軸方向）非相對論極限討論：在相對論情形，電場和磁場是一種物質(zhì)（統(tǒng)一體）的兩個方面。參照系變化時，電場和磁場發(fā)生轉(zhuǎn)化。（如一帶電粒子在靜止參照系中只激發(fā)電場，換到另一參照系，電荷運動，將激發(fā)磁場。

第53頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三Ex.求勻速運動帶電荷e的粒子的電磁場。解：選S’固定在帶電粒子上，在S’中只有靜電場。設(shè)初始時刻（t=0）粒子經(jīng)過S原點，求該時刻在S中各點的場值。由Lorentz變換在S’中求在S中的場值，可利用公式需將上面公式改為S’到S的變換，且需作替換第54頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三可得可表為第55頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三注意速度沿x方向，所以

還可得

討論：當(dāng)v<<c時，略去(v/c)2項，可得

E0為靜電場。

磁場這也與經(jīng)典結(jié)果一致。

說明：由Biot-Savart定律

對于運動點電荷

第56頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)v~c時，在與速度垂直方向觀測電場，在與速度平行方向觀測電場（r2=x2），

電場分布如圖(電場線疏密表電場強弱)。當(dāng)速度趨于光速時，電場趨向于集中分布在與速度垂直的平面上。磁場高速運動帶電粒子的電磁場類似于在橫向平面上的電磁脈沖波。

第57頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三四、電磁場的不變量利用指標收縮可構(gòu)成電磁場不變量（應(yīng)收縮為Lorentz標量）。

1.2.定義一全反對稱張量emnlt若經(jīng)偶次置換mnlt變?yōu)?234；

若經(jīng)奇次置換mnlt變?yōu)?234；

若mnlt中有任意兩個相同。

emnlt

是四階張量，在參照系變換下保持不變，

由emnlt和電磁場張量可構(gòu)成另一不變量

第58頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例：真空中的平面電磁波有不變量保證在任何慣性系平面電磁波均有

不變量保證在任何慣性系平面電磁波均有

第59頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三§6相對論力學(xué)

經(jīng)典力學(xué)規(guī)律是Galileo協(xié)變的，但不是Lorentz協(xié)變的。要找出滿足相對論協(xié)變性要求的力學(xué)規(guī)律，首先需建立四維力學(xué)物理量。

一、能量－動量四維矢量

定義四維動量

m0是物體靜質(zhì)量。空間分量

時間分量

討論：當(dāng)v<<c時，空間分量這是經(jīng)典動量當(dāng)v<<c時，時間分量

四維動量的時間分量與物體能量有關(guān)，四維動量也稱為能量－動量四維矢量。

第60頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三定義（相對論中的）能量

則

相對論中，物體動能

總能量也可表為

討論：相對論中物體靜止時仍有能量，稱為靜止能量，為m0c2。在經(jīng)典物理中，能量加上一常數(shù)m0c2無實用意義；但在相對論中，這個常數(shù)是必須的，是相對論協(xié)變性的要求。

m0c2要具有物理上的能量意義，還必須能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量（已被實驗證實）。

例：考察一粒子A轉(zhuǎn)化為粒子系統(tǒng)B（如p0轉(zhuǎn)化為2g）的過程。在粒子A靜止的參照系，A只有靜止能量，在湮滅過程中，它部分或全部轉(zhuǎn)化為粒子系統(tǒng)B的動能。

第61頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三由四維動量可構(gòu)成不變量

在物體靜止的慣性系，

由于靜止能量為m0c2，只取正值二、質(zhì)能關(guān)系

W0=m0c2給出物體靜止時的質(zhì)能關(guān)系。討論：

W0=m0c2也是適用于多個粒子構(gòu)成的復(fù)合體（如原子核、宏觀物體等）。此時應(yīng)理解為質(zhì)心靜止時的總“內(nèi)部能量”，它和復(fù)合體總質(zhì)量M0仍有關(guān)系

W0=M0c2。第62頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三復(fù)合體各粒子間一般有相互作用能和相對運動動能。質(zhì)心靜止時，總能量并不等于各粒子靜止能量之和，其差值稱為結(jié)合能結(jié)合能指分散個體形成復(fù)合體時，向外輻射的能量。

物體質(zhì)量也不等于組成它的各粒子質(zhì)量之和，兩者之差