2015考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)4=無(wú)窮級(jí)數(shù)解析

2015考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)4=無(wú)窮(wúqióng)級(jí)數(shù)解析第一頁(yè)，共66頁(yè)。一、常數(shù)(chángshù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別★級(jí)數(shù)(jíshù)★主要(zhǔyào)內(nèi)容二、冪級(jí)數(shù)的收斂特性與和函數(shù)的性質(zhì)三、求收斂域與級(jí)數(shù)的和四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)五、傅里葉級(jí)數(shù)考研數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)互為逆過(guò)程，但是方法完全類(lèi)似第二頁(yè)，共66頁(yè)?？佳?kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)第一(dìyī)局部主要(zhǔyào)知識(shí)回憶第三頁(yè)，共66頁(yè)?？佳袛?shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)一、常數(shù)(chángshù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別1、根本概念、性質(zhì)(xìngzhì)與重要級(jí)數(shù)〔1〕、根本概念◆級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的部分和第四頁(yè)，共66頁(yè)?？佳?kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別1、根本(gēnběn)概念、性質(zhì)與重要級(jí)數(shù)〔1〕、根本概念〔2〕、根本性質(zhì)◆絕對(duì)收斂與條件收斂結(jié)論:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)非零常數(shù),斂散性不變.第五頁(yè)，共66頁(yè)。考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別1、根本概念、性質(zhì)(xìngzhì)與重要級(jí)數(shù)〔2〕、根本性質(zhì)結(jié)論:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.注：收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.第六頁(yè)，共66頁(yè)。性質(zhì)5級(jí)數(shù)收斂的必要條件考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)一、常數(shù)(chángshù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別1、根本(gēnběn)概念、性質(zhì)與重要級(jí)數(shù)〔2〕、根本性質(zhì)10.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散；20.必要條件不充分。第七頁(yè)，共66頁(yè)。考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別1、根本(gēnběn)概念、性質(zhì)與重要級(jí)數(shù)〔3〕、重要級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散交錯(cuò)級(jí)數(shù)，條件收斂第八頁(yè)，共66頁(yè)?？佳袛?shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)一、常數(shù)(chángshù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別1、根本概念、性質(zhì)(xìngzhì)與重要級(jí)數(shù)〔3〕、重要級(jí)數(shù)第九頁(yè)，共66頁(yè)。考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別2、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別〔1〕、正項(xiàng)級(jí)數(shù)◆定義:這種級(jí)數(shù)稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).◆定理◆正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.第十頁(yè)，共66頁(yè)?！舯容^(bǐjiào)審斂法一般形式考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)一、常數(shù)(chángshù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別2、級(jí)數(shù)斂散性的判別〔1〕、正項(xiàng)級(jí)數(shù)第十一頁(yè)，共66頁(yè)。考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)一、常數(shù)(chángshù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別◆比較(bǐjiào)審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;2、級(jí)數(shù)斂散性的判別〔1〕、正項(xiàng)級(jí)數(shù)第十二頁(yè)，共66頁(yè)。一、常數(shù)(chángshù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別2、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別〔1〕、正項(xiàng)級(jí)數(shù)(jíshù)考研數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)第十三頁(yè)，共66頁(yè)。一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別2、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別〔1〕、正項(xiàng)級(jí)數(shù)(jíshù)考研數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù)第十四頁(yè)，共66頁(yè)。定義：正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。一、常數(shù)(chángshù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別2、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別〔2〕、交錯(cuò)(jiāocuò)級(jí)數(shù)考研數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)第十五頁(yè)，共66頁(yè)?？佳?kǎoyán)數(shù)學(xué)——多元函數(shù)微分學(xué)一、常數(shù)(chángshù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別級(jí)數(shù)發(fā)散(fāsàn)必要條件或或或或是否為幾何級(jí)數(shù)是是否為p級(jí)數(shù)是否為正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否為變號(hào)級(jí)數(shù)否用比較法、比值法、根值法判別否是否滿足萊布尼茲定理用定義、級(jí)數(shù)的性質(zhì)等其他方法判別斂散性為正項(xiàng)級(jí)數(shù)否當(dāng)收斂；當(dāng)發(fā)散是是方法是是是否收斂是當(dāng)收斂；當(dāng)發(fā)散絕對(duì)收斂是否為交錯(cuò)級(jí)數(shù)是是條件收斂否※流程圖※第十六頁(yè)，共66頁(yè)。考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)的收斂特性(tèxìng)與和函數(shù)的性質(zhì)1、冪級(jí)數(shù)的收斂(shōuliǎn)特性〔1〕、概念第十七頁(yè)，共66頁(yè)。注意函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題.★和函數(shù)在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù))(xs稱(chēng))(xs為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)?？佳袛?shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)的收斂(shōuliǎn)特性與和函數(shù)的性質(zhì)1、冪級(jí)數(shù)的收斂(shōuliǎn)特性〔1〕、概念★冪級(jí)數(shù):第十八頁(yè)，共66頁(yè)?？佳袛?shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)的收斂特性與和函數(shù)(hánshù)的性質(zhì)1、冪級(jí)數(shù)的收斂(shōuliǎn)特性〔2〕、冪級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域0第十九頁(yè)，共66頁(yè)。推論考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)的收斂特性與和函數(shù)(hánshù)的性質(zhì)1、冪級(jí)數(shù)的收斂(shōuliǎn)特性〔2〕、冪級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑推論中的正數(shù)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.第二十頁(yè)，共66頁(yè)。規(guī)定(guīdìng)定義:正數(shù)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槿缦滦问街唬嚎佳袛?shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)的收斂(shōuliǎn)特性與和函數(shù)的性質(zhì)1、冪級(jí)數(shù)的收斂特性〔2〕、冪級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑第二十一頁(yè)，共66頁(yè)?！?和函數(shù)(hánshù)的運(yùn)算性質(zhì):考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)的收斂特性與和函數(shù)(hánshù)的性質(zhì)1、冪級(jí)數(shù)的收斂特性〔2〕、冪級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑(收斂半徑不變)(收斂半徑不變，但收斂域會(huì)可能會(huì)改變)第二十二頁(yè)，共66頁(yè)?！?和函數(shù)(hánshù)的運(yùn)算性質(zhì):考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)的收斂特性(tèxìng)與和函數(shù)的性質(zhì)1、冪級(jí)數(shù)的收斂特性〔2〕、冪級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)與收斂半徑(收斂半徑不變)(收斂半徑不變，但收斂域會(huì)可能會(huì)改變)第二十三頁(yè)，共66頁(yè)?？佳袛?shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)三、求收斂(shōuliǎn)域與級(jí)數(shù)的和具體步驟如下(rúxià)：第二十四頁(yè)，共66頁(yè)?？佳?kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)的收斂特性與和函數(shù)(hánshù)的性質(zhì)對(duì)于缺項(xiàng)級(jí)數(shù)(jíshù)的收斂域通常有兩種方法：A、換元法B、直接當(dāng)做一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)處理，通常使用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值法、根值法，再利用阿貝爾定理判別出收斂半徑。第二十五頁(yè)，共66頁(yè)?？佳?kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)的收斂特性(tèxìng)與和函數(shù)的性質(zhì)注：對(duì)于某些冪級(jí)數(shù)，可以采用間接(jiànjiē)做法。第二十六頁(yè)，共66頁(yè)。考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)的收斂特性(tèxìng)與和函數(shù)的性質(zhì)第二十七頁(yè)，共66頁(yè)。考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)40第二十八頁(yè)，共66頁(yè)。為f(x)

的泰勒級(jí)數(shù).則稱(chēng)當(dāng)x0=0時(shí),泰勒級(jí)數(shù)又稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù).若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)四、函數(shù)(hánshù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)1、泰勒(tàilè)級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)第二十九頁(yè)，共66頁(yè)。展開(kāi)方法直接展開(kāi)法間接展開(kāi)法定理各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0的某一鄰域內(nèi)具有考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)四、函數(shù)(hánshù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)2、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)(zhǎnkāi)的條件3、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)方法—利用泰勒公式—利用已知其級(jí)數(shù)展開(kāi)式的函數(shù)展開(kāi)第三十頁(yè)，共66頁(yè)?？佳袛?shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)四、函數(shù)(hánshù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)3、函數(shù)展開(kāi)(zhǎnkāi)成冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)(zhǎnkāi)方法間接展開(kāi)法第三十一頁(yè)，共66頁(yè)。常用函數(shù)(hánshù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式如下：考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)四、函數(shù)(hánshù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)間接展開(kāi)法—利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi)式的函數(shù).3、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)方法第三十二頁(yè)，共66頁(yè)。當(dāng)m=–1時(shí)常用函數(shù)(hánshù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式如下：考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)四、函數(shù)(hánshù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)3、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)方法第三十三頁(yè)，共66頁(yè)。考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)五、傅里葉級(jí)數(shù)(jíshù)傅里葉級(jí)數(shù)(jíshù)傅里葉系數(shù)第三十四頁(yè)，共66頁(yè)?？佳?kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)五、傅里葉級(jí)數(shù)(jíshù)第三十五頁(yè)，共66頁(yè)。考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)第二(dìèr)局部考題(kǎotí)選講第三十六頁(yè)，共66頁(yè)?？佳袛?shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)一、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別考題(kǎotí)選講第三十七頁(yè)，共66頁(yè)。數(shù)一：2011、一(2)例1一、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)選C√第三十八頁(yè)，共66頁(yè)。數(shù)一：1998、八例2一、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)收斂(shōuliǎn)√第三十九頁(yè)，共66頁(yè)。數(shù)三：2003、二(3)例3一、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)選B第四十頁(yè)，共66頁(yè)。數(shù)一：2004、二(9)例4一、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)選B第四十一頁(yè)，共66頁(yè)。一、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)數(shù)三：2006、二(9)例5即：數(shù)一：2006、二(9)選D第四十二頁(yè)，共66頁(yè)。數(shù)三：2004二(10)例6一、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)選B√第四十三頁(yè)，共66頁(yè)。數(shù)一：1995、二(4)例7一、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)選C√第四十四頁(yè)，共66頁(yè)。數(shù)一：1996、二(3)例8一、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)選A√第四十五頁(yè)，共66頁(yè)。數(shù)三：1996、二(2)例9一、級(jí)數(shù)(jíshù)斂散性的判別考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)選A√第四十六頁(yè)，共66頁(yè)?？佳?kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)(jíshù)的收斂性與級(jí)數(shù)(jíshù)的和考題(kǎotí)選講第四十七頁(yè)，共66頁(yè)。二、冪級(jí)數(shù)(jíshù)的收斂性與級(jí)數(shù)(jíshù)的和考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)數(shù)三：2009、二(11)例1【解析】設(shè)。所以，該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為第四十八頁(yè)，共66頁(yè)。二、冪級(jí)數(shù)(jíshù)的收斂性與級(jí)數(shù)(jíshù)的和考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)數(shù)一：1995、一(4)例2使用(shǐyòng)阿貝爾定理第四十九頁(yè)，共66頁(yè)。二、冪級(jí)數(shù)(jíshù)的收斂性與級(jí)數(shù)(jíshù)的和考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)數(shù)一：2010、三(18)例3第五十頁(yè)，共66頁(yè)。二、冪級(jí)數(shù)(jíshù)的收斂性與級(jí)數(shù)(jíshù)的和考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)數(shù)一：2008、二(11)例4第五十一頁(yè)，共66頁(yè)。二、冪級(jí)數(shù)(jíshù)的收斂性與級(jí)數(shù)(jíshù)的和考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)數(shù)一：1996、五題例5法二：轉(zhuǎn)化為相應(yīng)(xiāngyīng)的冪級(jí)數(shù)，先找到冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)第五十二頁(yè)，共66頁(yè)。二、冪級(jí)數(shù)(jíshù)的收斂性與級(jí)數(shù)(jíshù)的和考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)數(shù)一：2005、三(16)例6第五十三頁(yè)，共66頁(yè)。二、冪級(jí)數(shù)(jíshù)的收斂性與級(jí)數(shù)(jíshù)的和考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)數(shù)一：2002、七題例7就是特解第五十四頁(yè)，共66頁(yè)。二、冪級(jí)數(shù)(jíshù)的收斂性與級(jí)數(shù)(jíshù)的和考研(kǎoyán)數(shù)學(xué)——級(jí)數(shù)數(shù)三：1999、一(2)例8利用結(jié)論，再逐項(xiàng)求導(dǎo)。第五十五頁(yè)，共66頁(yè)。二、冪級(jí)數(shù)(jíshù)的收斂性與級(jí)數(shù)(jíshù)的和考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)數(shù)三：2000、七題例9然后，利用結(jié)論，先逐項(xiàng)求導(dǎo)，再積分。首先計(jì)算(jìsuàn)定積分，得到第五十六頁(yè)，共66頁(yè)。二、冪級(jí)數(shù)(jíshù)的收斂性與級(jí)數(shù)(jíshù)的和考研數(shù)學(xué)(shùxué)——級(jí)數(shù)數(shù)三：2003、六題例10【分析】

先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)，注意當(dāng)x=0時(shí)和為1；求出和函數(shù)后，再按通常方法求極值。第五十七頁(yè)，共6