立體幾何中添加輔助線的策略

立體幾何中添加輔助線的策略王留廷立體幾何中添加輔助線的主要策略：一是把定義或者定理中缺少的線、面、體補(bǔ)完整；二是要把已知量和未知量統(tǒng)一在一個(gè)圖形中，如統(tǒng)一在一個(gè)三角形中，這樣可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以統(tǒng)一在平行四邊形或其他幾何體中。下面加以說明。一、添加垂線策略。因?yàn)榱Ⅲw幾何的許多定義或定理是與垂線有關(guān)的，如線面角、二面角的定義，點(diǎn)到平面、線到平面、平面到平面距離的定義，三垂線定理，線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)定理，正棱柱、正棱錐的性質(zhì)，球的性質(zhì)等，所以運(yùn)用這些定義或定理，就需要把沒有的垂線補(bǔ)上。尤其要注意平面的垂線，因?yàn)橛辛似矫娴拇咕€，才能建立空間直角坐標(biāo)系，才能使用三垂線定理或其逆定理。例1.在三棱錐中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB邊的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成的角的大小是________（用反三角函數(shù)表示）。圖1解：如圖1，由題意可設(shè)，則，O點(diǎn)在底面的射影D為底面的中心，。又，OM與平面ABC所成角的正切值是，所以二面角大小是。點(diǎn)評(píng)：本題添加面ABC的垂線OD，正是三棱錐的性質(zhì)所要求的，一方面它構(gòu)造出了正三棱錐里面的，，另一方面也構(gòu)造出了OM與平面ABC所成的角。二、添加平行線策略。其目的是把不在一起的線，集中在一個(gè)圖形中，構(gòu)造出三角形、平行四邊形、矩形、菱形，這樣就可以通過解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位線來作出所需要的平行線。例2.如圖2，在正方體中，，則與DF所成角的余弦值是（）A.B.C.D.圖2穿解析：取基，易得四邊午形ADFG休是平行四邊甚形，則AG蘿//DF，偶再作訓(xùn)，四邊形姑也是平行四慢邊形，慣就是朗與DF所成仙角，由余弦旅定理，算出央結(jié)果，選A冒。據(jù)點(diǎn)評(píng)：求異爛面直線所成賊角常采用平篩移法。笨三、向中心符對(duì)稱圖形對(duì)筐稱中心添加番連線策略。沙這主要是因擔(dān)為對(duì)稱中心敢是整個(gè)圖形顧的者“林交通孫”技樞紐，它可綢以與周圍的漏點(diǎn)、線、面好關(guān)聯(lián)起來，齡常見的有對(duì)糕平行四邊形扁連對(duì)角線，屯對(duì)圓的問題皇向圓心連線譜，對(duì)球體問咬題向球心連擺線。式例3.孔如圖3，塵O是半徑為師1的球的球臂心，點(diǎn)A、經(jīng)B、C在球怠面上，OA違、OB、O簡(jiǎn)C兩兩垂直鼻，E、F分伐別是大圓弧現(xiàn)AB與AC葉的中點(diǎn)，則廟點(diǎn)E、F在按該球面上的釋球面距離是飼（）復(fù)A.惑用笨B.臘崗螞踢C.合芹世插D.圖3濾解析：添加疼輔助線OE士、OF，連路結(jié)EF，構(gòu)夕成片，關(guān)鍵是求姻。為了使E滔F與已知條嶼件更好地聯(lián)株系起來，過驗(yàn)E作誦，垂足為G超，連結(jié)FG夾，構(gòu)造暗，在圖3中躍，抽。伸點(diǎn)E、F在稱該球面上的茶球面距離為茂，故選B。迅點(diǎn)評(píng)：本題礦抓住了球心毒，抓住了弧誤中點(diǎn)，利用卸這些特殊點(diǎn)淋作輔助線是烏解題的關(guān)鍵全。恐四、名線策脅略。杯即添加常用尼的、重要的坑線，如中位燒線、高、角壓平分線、面漲對(duì)角線和體網(wǎng)對(duì)角線等。更盡管這些線危上面也有提競(jìng)到，但還是念要在這里強(qiáng)蜘化一下，這秩些線有著廣界泛的聯(lián)系。且尤其是添加傳三角形中位污線或者梯形餃中位線，這輸主要是因?yàn)轭~中位線占據(jù)星了兩個(gè)邊的砌中點(diǎn)，并且殊中位線平行殼于底邊，且識(shí)是底邊長的排一半，它可泉以把底邊與素其他線面的終角度關(guān)系平例移，使已知坑和未知集中敗在一個(gè)三角埋形中。歲例4.鵲如圖4，必正三棱柱喚的各棱長都踏為2，E、俘F分別是A紛B、耽的中點(diǎn)，則誰EF的長是茄（濟(jì)）。圖4婦A.2恥辯煩獲B.酬典兔忌C.芳決陽棉D(zhuǎn).樸解析：如圖哈4所示，取虧AC的中點(diǎn)兼G，連結(jié)E晝G、FG，屬則易得性，故收，選C。決點(diǎn)評(píng)：本題茅充分體現(xiàn)了備中位線的重另要性。言五、割補(bǔ)策拐略。燙分割成常見邀規(guī)則圖形，超或者補(bǔ)形成壺典型幾何體跡。寇例5.尊一個(gè)四面壟體的所有棱灘長都為昨，四個(gè)頂點(diǎn)暴在同一球面巷上，則此球天的表面積為棍（）寫A.影泄流慈B.金皆謊C.怒貌鋒覽D.6悄解析：把這貓個(gè)正四面體創(chuàng)補(bǔ)成正方體遲，如圖5，益正四面體刮可看成是由柳正方體的面婆對(duì)角線構(gòu)成慶的，這個(gè)正晴四面體和這晨個(gè)正方體有撥相同的外接蜘球面。因?yàn)樯邓拿骟w辱的棱長為等，所以正方棵體棱