第四章穩(wěn)定性分析

第四章穩(wěn)定性分析第1頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將各項(xiàng)系數(shù)，按下面的格式排成勞斯表一、勞斯表前一頁(yè)后一頁(yè)第2頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三這樣可求得n+1行系數(shù)如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個(gè)數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。勞斯穩(wěn)定判據(jù)前一頁(yè)后一頁(yè)二階、三階系統(tǒng)第3頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為例試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表該表第一列系數(shù)符號(hào)不全為正，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；且符號(hào)變化了兩次，所以該方程中有二個(gè)根在S的右半平面。前一頁(yè)后一頁(yè)第4頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為例求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：列勞斯表)1(167005.41)1(16705175.410)1(16705.41051710123KSKSKSS++-.+由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值。可得：前一頁(yè)后一頁(yè)第5頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三勞斯判據(jù)特殊情況

勞斯表某一行中的第一項(xiàng)等于零，而其余各項(xiàng)不全為零（至少有一個(gè)不為零）是以一個(gè)很小的正數(shù)e來(lái)代替為零的這項(xiàng)，據(jù)此算出其余的各項(xiàng)，完成勞斯表的排列1解決的辦法前一頁(yè)后一頁(yè)若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定如果第一列e上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號(hào)相同，則表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)也屬(不)穩(wěn)定第6頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例解：列勞斯表前一頁(yè)后一頁(yè)01234=+++3SSS26S+(6e-2)/e->-)(062311234SSSSeS1011不穩(wěn)定，有兩個(gè)根在S平面右半部第7頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三勞斯表中出現(xiàn)全零行

用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來(lái)代替表中系數(shù)為全零的行。完成勞斯表的排列。2解決的辦法這些對(duì)稱分布的根可以通過(guò)求解這個(gè)輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的，所以輔助多項(xiàng)式的階數(shù)總是偶數(shù)前一頁(yè)后一頁(yè)表明有對(duì)稱分布的根這些根都是偶數(shù)，所以可以輔助多項(xiàng)式的階書數(shù)總是偶數(shù)第8頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如，一個(gè)控制系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表顯然這個(gè)系統(tǒng)處于臨界(不)穩(wěn)定狀態(tài)。

sssF16122)(24++=0)4)(2(2)86(216122)(222424=++=++=++=sssssssF前一頁(yè)后一頁(yè)824第9頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、勞斯判據(jù)的應(yīng)用實(shí)際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線此法可以估計(jì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠(yuǎn)，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。代入原方程式中，得到以穩(wěn)定判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。12解決的辦法設(shè)右側(cè)。前一頁(yè)后一頁(yè)第10頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂線的右方。

例s1s1-0解：列勞斯表第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。前一頁(yè)后一頁(yè)第11頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三令代入特征方程：式中有負(fù)號(hào)，顯然有根在的右方。列勞斯表第一列的系數(shù)符號(hào)變化了一次，表示原方程有一個(gè)根在垂直直線的右方。前一頁(yè)后一頁(yè)第12頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三已知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖，試回答例時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？單位反饋控制系統(tǒng)方塊圖時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？

排勞斯表

第一列均為正值，S全部位于左半平面，故

時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為解：系統(tǒng)穩(wěn)定前一頁(yè)后一頁(yè)第13頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程為列勞斯表前一頁(yè)后一頁(yè)第14頁(yè)，共15頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)一個(gè)或兩