福建省南安一中2012-2013學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理試題含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精南安一中2012～2013學(xué)年度高二上學(xué)期期末考數(shù)學(xué)科（理科）試卷試卷考試內(nèi)容為：選修2-2及必修3第二章，滿分１５０分，考試時(shí)間１２０分鐘.注意事項(xiàng):1．答題前,考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題紙上.2．作答時(shí),請(qǐng)將答案答在答題紙上，在本試卷上答題無效。3．答案使用0．5毫米的黑色中性(簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分，每題只有一個(gè)正確答案。1。復(fù)數(shù)13i=（）1iA。2iB．2iC．12iD．12i2。以下推理屬于歸納推理的是()A.A,B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PAPB2aAB，則P點(diǎn)的軌跡為橢圓B。由a12，an3n1，求出S1,S2,S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C。由圓x2y2r2的面積r2，猜想出橢圓x2y21的面積saba2b2學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精?？茖W(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇3。已知a,b是非零實(shí)數(shù)，且ab，則以下不等式中成立的是(）Ks5uA．b1．a(chǎn)2b2C．a(chǎn)babD。11aBabab4.已知直線ykx1與曲線yx3axb切于點(diǎn)(1,3)，則b的值為(）A．3B．－3C．5D．－55.有一段演繹推理是這樣的：“若直線平行于平面,則該直線平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b∥平面，直線a?平面,則直線b∥直線a”，結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)椋ǎ〢．大前提錯(cuò)誤B．小前提錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤D．非以上錯(cuò)誤Ks5u6.樣本a,3，5,7的平均數(shù)是b，且a、b是方程x25x40的兩根，則該學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精樣本的方差是（)A．3B．4C．5D．67。設(shè)n為正整數(shù)，f(n）＝1＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋＋錯(cuò)誤!,經(jīng)計(jì)算得f(2)＝錯(cuò)誤!,f(4)>2，f（8）〉錯(cuò)誤!,f(16）>3，f(32）>錯(cuò)誤!，觀察上述結(jié)果，可推測(cè)出一般結(jié)論（）A．f(2n)2n1．f(n2)n2．f(2n)n2D．以上2B2C2都不對(duì)8.設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),將yf(x)和yf(x)的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可以能正確的選項(xiàng)是（)．．．9。對(duì)任意復(fù)數(shù)zxyix,yR，i為虛數(shù)單位，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．zz2yB．z2x2y2．zz2xD．zxyC10。已知點(diǎn)P在曲線ex4上,為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則y的取值范圍是(）學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A.錯(cuò)誤!B。錯(cuò)誤!C。錯(cuò)誤!D。錯(cuò)誤!11.設(shè)f(x)定義在(0，＋∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf'(x)f(x)0，對(duì)任意正數(shù)a,b，若ab，則必有()A．a(chǎn)f(b)bf(a)B．bf(a)af(b)C．a(chǎn)f(a)f(b)D．bf(b)f(a)12.如圖，一個(gè)正五角星薄片(其對(duì)稱軸與水面垂直）勻速地升出水面,記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)0)，則導(dǎo)函數(shù)yS'(t)的圖象大體為（）二、填空題:每題4分，共16分.13。閩南科技學(xué)院的A，B,C三個(gè)專業(yè)共有1200名學(xué)生，為了檢查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況,擬采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為120的樣本。已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，B專業(yè)有420名學(xué)生,則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取學(xué)生____名。14。2(4x2x)dx的值等于.0學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精15。右圖1是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖2、圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成，依照這樣的規(guī)律連續(xù)逐個(gè)疊放下去,那么在第七個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊應(yīng)是_個(gè)。16。已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(2x)x28x8，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是．三、解答題：本大題共6小題，其中第22題14分，其他每題12分，共74分。17.設(shè)數(shù)列an滿足an12nanan22，a1＝1，n∈N＊.(1）求a2,a3,a4，并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式；（2）證明由(1）猜想出的結(jié)論.18。甲乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得高出100千米/小時(shí)，已知該汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本P(元）關(guān)于速度v(千米/小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系是1v41v315v,19200160(1）求全程運(yùn)輸成本Q（元)關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域;(2）為使全程運(yùn)輸成本最少，汽車應(yīng)以多少速度行駛？并求此時(shí)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精運(yùn)輸成本的最小值．19。以低等式:①sin260cos2360sin60cos36034②sin280cos2380sin80cos38034③sin2100cos2400sin100cos40034觀察上面三個(gè)等式的結(jié)構(gòu)規(guī)律，請(qǐng)歸納出一個(gè)一般情況的等式？并證明之．20.設(shè)函數(shù)f(x)x36x5(xR)。（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若關(guān)于x的方程f(x)a有三個(gè)不同樣實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）已知當(dāng)x[2,)時(shí)，不等式f(x)k(x1)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍21。南安市幾所一級(jí)達(dá)標(biāo)中學(xué)進(jìn)行高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考，共有5000名考生參加，為了認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名學(xué)生在此次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)，制成以下頻率分布表：學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精屢次分組數(shù)率[80,90)①②［90，0.05100）0［100,110.200）00.30[110,120)360[120，0。130）275[130,140)12③［140，0。150)050合計(jì)④(1）依照上面頻率分布表,推出①,②，③，④處的數(shù)值分別為，，，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精;(2)在所給的坐標(biāo)系中畫出區(qū)間［80,150]上的頻率分布直方圖；（3）依照題中信息，應(yīng)用你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)估計(jì)這5000名學(xué)生整體的(i）120分及以上的學(xué)生數(shù)；(ii)平均分；（iii）成績(jī)落在[126，150]中的頻率．22。已知函數(shù)f(x)x3x2bxc,x1的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)alnx,x1(1,f(1))處的切線的斜率是5.1）求實(shí)數(shù)b、c的值；Ks5u2）求f(x)在區(qū)間1,2上的最大值；3)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線yf(x)上可否存在兩點(diǎn)P、Q,使得POQ是以O(shè)為直角極點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？說明理由.南安一中2012～2013學(xué)年度高二上學(xué)期期末考數(shù)學(xué)科（理科）試卷參照答案一、選擇題:（5×12=60)題123456789101112學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精號(hào)答CBDAACCDDDAA案二、填空題：(4×4=16)13．40；14．2；15．91；16．2xy10;三、解答題：本大題共6小題，共74分。17．（12分）解:（1）由a1＝1，得a2＝2a1-a錯(cuò)誤!＋2＝3，由a＝3，得a＝4a—a2+2=52322由a3＝5，得a4＝6a3－a錯(cuò)誤!＋2＝7.故，a23,a35,a47由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式為：an＝2n—1（n∈N*)．2）證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1=2-1=1，不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N＊且k≥1)時(shí)不等式成立，即ak=2k-1，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝ak(2k－ak)＋2=(2k-1）（2k＋1－2k)＋2＝2k＋1，也就是說,當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1=2(k＋1)—1。依照①和②，關(guān)于所有n∈N＊，都有an=2n—12分18．(12分)(1）Q＝P·錯(cuò)誤!＝（錯(cuò)誤!v4－錯(cuò)誤!v3＋15v)·錯(cuò)誤!學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精＝(錯(cuò)誤!v3－錯(cuò)誤!v2＋15)·400＝錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!v2＋6000．其定義域?yàn)?0,100]2）Q′＝錯(cuò)誤!－5v，令Q′＝0，則v＝0（舍去）或v＝80,當(dāng)0＜v＜80時(shí)，Q′＜0。當(dāng)80＜v≤100時(shí)，Q′＞0。因此，當(dāng)v＝80千米/小時(shí)時(shí)，全程運(yùn)輸成本獲取唯一的極小值，即為最小值．從而Qmin＝Q（80）＝錯(cuò)誤!元．12分19．(12分)由①②③可看出，兩角差為30°，則它們的相關(guān)形式的函數(shù)運(yùn)算式的值均為錯(cuò)誤!。猜想：若β－α＝30°，則β＝30°＋α,sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝錯(cuò)誤!，也可直接寫成sin2α＋cos2（α＋30°）＋sinαcos（α＋30°）＝錯(cuò)誤!.下面進(jìn)行證明:左邊＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋sinαcos(α＋30°)＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＋sinα(cosα·cos30°－sinαsin30°)錯(cuò)＝誤!－錯(cuò)誤!cos2α＋錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!cos2α－錯(cuò)誤!sin2α＋錯(cuò)誤!sin2α－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝右邊．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2α2ααα故sin°）＝。錯(cuò)誤!分20．（12分）（1）f′(x)＝3x2－6，令f′（x)＝0，解得x1＝－2，x2＝錯(cuò)誤!.因?yàn)楫?dāng)x>錯(cuò)誤!或x〈－錯(cuò)誤!時(shí)，f′(x)〉0；Ks5u當(dāng)－錯(cuò)誤!<x〈錯(cuò)誤!時(shí)，f′(x）〈0.因此f（x）的單調(diào)遞加區(qū)間為(－∞，－錯(cuò)誤!）和(錯(cuò)誤!，＋∞);單調(diào)減區(qū)間為(－錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!)．當(dāng)x＝－錯(cuò)誤!時(shí)，f（x）有極大值5＋4錯(cuò)誤!；當(dāng)x＝錯(cuò)誤!時(shí)，f（x）有極小值5－4錯(cuò)誤!.(2)由（1）的解析知y＝f（x)的圖象的大體形狀及走向以下列圖,當(dāng)5－42〈a<5＋4錯(cuò)誤!時(shí),直線y＝a與y＝f(x）的圖象有三個(gè)不同樣交點(diǎn)，即方程f(x）＝有三個(gè)不同樣的解．(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)（x2＋x－5）≥k（x－1）．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精因?yàn)?/p>

x≥2，因此

k≤x2＋x－5

在

x

[2,

)上恒成立．令g(x)＝x2＋x－5，此函數(shù)在［2，＋∞）上是增函數(shù)．因此g（x)≥g（2)＝1。因此k的取值范圍是k≤1.12分21．(12分)（1）①，②，③，④處的數(shù)值分別為：3，0.025,0。100，14分（2）頻率分布直方圖以下列圖8分3）(i）120分及以上的學(xué)生數(shù)為：(0。275+0.100+0.050)×5000=2125(人)；ii)平均分為：x＝85×0.025＋95×050。＋105×0。200＋115×0.300＋125×2750。＋135×0.100＋145×0。050＝117。5。(iii)成績(jī)落在［126,150］中的頻率為:P＝錯(cuò)誤!×0.2750＋.10＋0。050＝0。260。12分22．解：（1)當(dāng)時(shí),()32，則f(x)3x22xb。x1fxxxbxc學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精依題意得：f(0)0,即c0b5f(1)532解得bc02分（2）由（1）知,f(x)x3x2,x1alnx,x1①當(dāng)1x1時(shí)，f(x)3x22x3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.3分33當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況以下表：x(1,0)0(0,2)2(2,1)333f(x)—0+0—f(x)單調(diào)遞極小單調(diào)極大單調(diào)減值遞加值遞減又f(1)2，f(32)274，f(0)0.∴f(x)在[1,1)上的最大值為25分②當(dāng)1x2時(shí),f(x)alnx.當(dāng)a0時(shí),f(x)0,f(x)最大值為0；當(dāng)a0時(shí),f(x)在[1,2]上單調(diào)遞加?！鄁(x)在[1,2]最大值為aln2.7分綜上，當(dāng)aln22時(shí)，即aln22時(shí)，f(x)在區(qū)間1,2上的最大值為2；8分當(dāng)時(shí),即2在區(qū)間上的最大值為aln22aln2時(shí)，f(x)1,2aln2.9分（3)假設(shè)曲線yf(x)上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè).不如設(shè)P(t,f(t))(t0)，則Q(t,t3t2),顯然t110分∵POQ是以O(shè)為直角極點(diǎn)的直角三角形，∴OPOQ0學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精即t2f(t)(t3t2)0(*）Ks5u若方程(*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；若方程（＊)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.11分若0t1，則f(t)t3t2代入（*）式得:t2(