2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題卷

2021-2022學(xué)年成都市九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（六）

A卷

一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1．（3分）下面立體圖形中，從正面、側(cè)面、上面看，都不能看到長方形的是（）

A．長方體B．圓柱

C．圓錐D．正四棱錐

2．（3分）下列運算正確的是（）

A．a(chǎn)2?a3＝a5B．x3﹣x＝x2

C．a(chǎn)6÷a3＝a2D．（a﹣1）2＝a2﹣1

3．（3分）正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）

A．對邊相等B．對角相等

C．對角線相等D．對角線互相垂直

4．（3分）在函數(shù)y＝（a為常數(shù)）的圖象上有三點（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），則函數(shù)值

y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）

A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3

5．（3分）校團委組織開展“援助武漢捐款”活動，小慧所在的九年級（1）班共40名同學(xué)都進行了捐款，

已知該班同學(xué)捐款的平均金額為10元，而小慧捐款11元，下列說法錯誤的是（）

A．10元是該班同學(xué)捐款金額的平均水平

B．班上比小慧捐款金額多的人數(shù)可能超過20人

C．班上捐款金額的中位數(shù)一定是10元

D．班上捐款金額數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定是10元

6．（3分）給出下列函數(shù)：①y＝﹣3x+2：②y＝；③y＝﹣：④y＝3x，上述函數(shù)中符合條件“當(dāng)x＞1

時，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大”的是（）

A．①③B．③④C．②④D．②③

7．（3分）已知某公司一月份的收益為10萬元，后引進先進設(shè)備，收益連續(xù)增長，到三月份統(tǒng)計共收益

50萬元，求二月、三月的平均增長率，設(shè)平均增長率為x，可得方程為（）

A．10（1+x）2＝50B．10（1+x）2＝40

C．10（1+x）+10（1+x）2＝50D．10（1+x）+10（1+x）2＝40

8．（3分）書架上放著三本古典名著和兩本外國小說，小明從中隨機抽取兩本，兩本都是古典名著的概率

是（）

A．B．C．D．

9．（3分）在銳角等腰△ABC中，AB＝AC，sinA＝，則cosC的值是（）

A．B．2C．D．

10．（3分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，則在下列五個條件中：①∠AED＝∠B；

②DE∥BC；③＝；④AD?BC＝DE?AC；⑤∠ADE＝∠C，能滿足△ADE∽△ACB的條件有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

二．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）

11．（4分）已知＝，則＝．

12．（4分）若一個菱形的周長為200cm，一條對角線長為60cm，則它的面積為．

13．（4分）如圖，矩形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．點E為射線DC上的一個動點，△ADE

與△AD′E關(guān)于直線AE對稱，當(dāng)△AD′B為直角三角形時，DE的長為．

14．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑作

弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN分別交AB、AC于點F、D，作DE⊥BC于E．有下面三個結(jié)

論：

①BD平分∠ABC；②DE＝DF；③BC+CD＝2AF．

其中，正確的結(jié)論的是．

三．解答題（共6小題，滿分54分）

15．（10分）（1）計算：|﹣2|+（π﹣3）0+2sin60°．

（2）解下列方程：x2﹣3x﹣1＝0．

16．（8分）先化簡，再求值：，其中x＝cos45°．

17．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點坐標分別為O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．

（1）以原點O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出將△OAB放大為原來的2倍得到的△OA1B1，請寫出點

A的對應(yīng)點A1的坐標；

（2）畫出將△OAB向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的△O2A2B2，寫出點B的對應(yīng)點

B2的坐標；

（3）請在圖中標出△OA1B1與△O2A2B2的位似中心M，并寫出點M的坐標．

18．（10分）為全面貫徹黨的教育方針，堅持“健康第一”的教育理念，促進學(xué)生健康成長，提高體質(zhì)健

康水平，成都市調(diào)整體育中考實施方案：分值增加至60，男1000米（女800米）必考，足球、籃球、

排球“三選一”…，從2019年秋季新入學(xué)的七年級起開始實施．某中學(xué)為了解七年級學(xué)生對三大球類

運動的喜愛情況，從七年級學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生進行調(diào)查問卷，通過分析整理繪制了如下兩幅統(tǒng)

計圖．請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題：

（1）求參與調(diào)查的學(xué)生中，喜愛排球運動的學(xué)生人數(shù)，并補全條形圖；

（2）若該中學(xué)七年級共有400名學(xué)生，請你估計該中學(xué)七年級學(xué)生中喜愛籃球運動的學(xué)生有多少名？

（3）若從喜愛足球運動的2名男生和2名女生中隨機抽取2名學(xué)生，確定為該校足球運動員的重點培

養(yǎng)對象，請用列表法或畫樹狀圖的方法求抽取的兩名學(xué)生為一名男生和一名女生的概率．

19．（10分）如圖，∠AOB＝90°，AB∥x軸，OB＝2，雙曲線y＝，經(jīng)過點B，將△AOB繞點B逆時

針旋轉(zhuǎn)，使點O的對應(yīng)點D落在x軸正半軸上，若AB的對應(yīng)線段CB恰好經(jīng)過點O．

（1）求點B坐標及雙曲線解析式．

（2）判斷點C是否在雙曲線上，請說明理由．

（3）在y軸上是否存在一點P，使△PBD的周長最小，若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理

由．

20．（10分）如圖，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，連接BC、DE相交于

點F，BC與AD相交于點G．

（1）試判斷線段BC、DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）若BC平分∠ABD，求證：線段FD是線段FG和FB的比例中項．

B卷

一．填空題（共5小題，滿分20分，每小題4分）

222

21．（4分）若方程x+px+1＝0（p＞0）的兩個實數(shù)根為x1，x2，且|x1﹣x2|＝p，則p等于．

22．（4分）有五張正面分別標有數(shù)﹣7，0，1，2，5的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)

將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將卡片上的數(shù)記為a，則使關(guān)于x的方程﹣2＝有

正整數(shù)解的概率為．

23．（4分）如圖，已知點A1、A2、A3、…、An在x軸上，且OA1＝A1A2＝A2A3═An﹣1An＝1，分別過點

A1、A2、A3、…、An作x軸的垂線，交反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點B1、B2、B3、…、Bn，

過點B2作B2P1⊥A1B1于點P1，過點B3作B3P2⊥A2B2于點P2，…，若記△B1P1B2的面積為S1，△B2P2B3

的面積為S2，…，△BnPnBn+1的面積為Sn，則S1+S2+…+S2017＝．

24．（4分）如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，過B作A1B⊥AC，過A1作A1B1⊥

BC，得陰影Rt△A1B1B；再過B1作B1A2⊥AC，過A2作A2B2⊥BC，得陰影Rt△A2B2B1；…如此下去．請

猜測這樣得到的所有陰影三角形的面積之和為．

25．（4分）如圖，把矩形ABCD沿EF對折，使B與D重合，折痕EF交BD于G，連AG，若tan∠AGE

＝，BF＝8，P為DG上一個動點，則PF+PC的最小值為．

二．解答題（共3小題，滿分30分）

26．（8分）列二元一次方程組解應(yīng)用題：

小穎家離學(xué)校1880米，其中有一段為上坡路，另一段為下坡路．她跑步去學(xué)校共用了16分鐘，已知

小穎在上坡路上的平均速度是80米/分鐘，在下坡路上的平均速度是200米/分鐘．求小穎上坡、下坡

各用了多長時間？

27．（10分）（1）如圖1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），連接CE，AG交于點H，請直

接寫出線段AG與CE的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系；

（2）如圖2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，將矩形DEFG繞點D逆時

針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），連接AG，CE交于點H，（1）中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請寫出理

由；若不成立，請寫出線段AG，CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，將矩形DEFG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°

＜α＜360°），直線AG，CE交于點H，當(dāng)點E與點H重合時，請直接寫出線段AE的長．

28．（12分）如圖1，把矩形OABC放在平面直角坐標系中，邊OC在x軸上，邊OA在y軸上，連接AC，

且OA＝3，∠ACO＝30°，過點C作CD平分∠ACB交AB于點D．動點E在線段OC上運動，過E

作EF⊥OC交AC于F，過F作FG∥CD交OC于G．

（1）當(dāng)S△EFG＝時，在線段AC上有一動點M，y軸上有一動點N，連接EM、MN、NE，當(dāng)△

EMN周長最小時，求△EMN周長的最小值及此時點N的坐標；

（2）如圖2，在（1）問的條件下，點P是直線AC上的一個動點，問：在y軸上是否存在Q點，使得△

EPQ是以EP為腰的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出P點及對應(yīng)的Q點的坐標，若沒有，請說明

理由

答案與解析

A卷

一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1．（3分）下面立體圖形中，從正面、側(cè)面、上面看，都不能看到長方形的是（）

A．長方體B．圓柱

C．圓錐D．正四棱錐

【答案】C

【解析】圓錐從正面看所得到的圖形是等腰三角形，從側(cè)面看所得到的圖形是等腰三角形、從上面看

所得到的圖形是圓，

因此圓錐符合題意，

故選：C．

2．（3分）下列運算正確的是（）

A．a(chǎn)2?a3＝a5B．x3﹣x＝x2

C．a(chǎn)6÷a3＝a2D．（a﹣1）2＝a2﹣1

【答案】A

【解析】A．a(chǎn)2?a3＝a5，運算正確；

B．x3與﹣x不是同類項，所以不能合并，故原運算錯誤；

C．a(chǎn)6÷a3＝a3，故原運算錯誤；

D．a(chǎn)﹣1）2＝a2﹣2a+1，故原運算錯誤．

故選：A．

3．（3分）正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）

A．對邊相等B．對角相等

C．對角線相等D．對角線互相垂直

【答案】D

【解析】正方形和矩形都具有的性質(zhì)是對邊相等，對角相等，對角線相等，對角線互相垂直是正方形

具有矩形不具有的性質(zhì)，

故選：D．

4．（3分）在函數(shù)y＝（a為常數(shù)）的圖象上有三點（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），則函數(shù)值

y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）

A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3

【答案】A

【解析】∵﹣a2﹣1＜0，

∴函數(shù)y＝（a為常數(shù)）的圖象在二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，

∵﹣3＜﹣1＜0，

∴點（﹣3，y1），（﹣1，y2）在第二象限，

∴y2＞y1＞0，

∵2＞0，

∴點（2，y3）在第四象限，

∴y3＜0，

∴y3＜y1＜y2．

故選：A．

5．（3分）校團委組織開展“援助武漢捐款”活動，小慧所在的九年級（1）班共40名同學(xué)都進行了捐款，

已知該班同學(xué)捐款的平均金額為10元，而小慧捐款11元，下列說法錯誤的是（）

A．10元是該班同學(xué)捐款金額的平均水平

B．班上比小慧捐款金額多的人數(shù)可能超過20人

C．班上捐款金額的中位數(shù)一定是10元

D．班上捐款金額數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定是10元

【答案】C

【解析】A、10元是該班同學(xué)捐款金額的平均水平，故選項說法正確．

B、由題意知，10元是同學(xué)們捐款的平均數(shù)，所以班上比小慧捐款金額多的人數(shù)可能超過一半，即20

人，故選項說法正確．

C、班上捐款金額的中位數(shù)不一定是10元，故選項說法錯誤．

D、班上捐款金額數(shù)據(jù)最多的不一定是10元，即10不一定是眾數(shù)，故選項說法正確．

故選：C．

6．（3分）給出下列函數(shù)：①y＝﹣3x+2：②y＝；③y＝﹣：④y＝3x，上述函數(shù)中符合條件“當(dāng)x＞1

時，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大”的是（）

A．①③B．③④C．②④D．②③

【答案】B

【解析】①y＝﹣3x+2，當(dāng)x＞1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而減小，故此選項不符合題意；

②y＝，當(dāng)x＞1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而減小，故此選項不符合題意；

③y＝﹣，當(dāng)x＞1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大，故此選項符合題意；

④y＝3x，當(dāng)x＞1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大，故此選項符合題意；

故選：B．

7．（3分）已知某公司一月份的收益為10萬元，后引進先進設(shè)備，收益連續(xù)增長，到三月份統(tǒng)計共收益

50萬元，求二月、三月的平均增長率，設(shè)平均增長率為x，可得方程為（）

A．10（1+x）2＝50B．10（1+x）2＝40

C．10（1+x）+10（1+x）2＝50D．10（1+x）+10（1+x）2＝40

【答案】D

【解析】設(shè)平均增長率為x，則二月份的收益為10（1+x）萬元，三月份的收益為10（1+x）2萬元，

根據(jù)題意得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝50，即10（1+x）+10（1+x）2＝40．

故選：D．

8．（3分）書架上放著三本古典名著和兩本外國小說，小明從中隨機抽取兩本，兩本都是古典名著的概率

是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】用列表法列出所有可能出現(xiàn)的情況如下：

共有20種等可能的情況，其中兩本都是古典名著的有6種，

∴P（兩本古典名著）＝＝，

故選：C．

9．（3分）在銳角等腰△ABC中，AB＝AC，sinA＝，則cosC的值是（）

A．B．2C．D．

【答案】D

【解析】如圖，過B作BD⊥AC于D，

∵sinA＝＝，

∴設(shè)BD＝4k，AB＝5k，

∴AD＝＝3k，

∵AB＝AC＝5k，

∴CD＝2k，

∴BC＝＝2k，

∴cosC＝＝＝，

故選：D．

10．（3分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，則在下列五個條件中：①∠AED＝∠B；

②DE∥BC；③＝；④AD?BC＝DE?AC；⑤∠ADE＝∠C，能滿足△ADE∽△ACB的條件有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【解析】①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，則可判斷△ADE∽△ACB，故①符合題意；

②DE∥BC，則△ADE∽△ABC，故②不符合題意，

③，且夾角∠A＝∠A，能確定△ADE∽△ACB，故③符合題意；

④由AD?BC＝DE?AC可得，此時不確定∠ADE＝∠ACB，故不能確定△ADE∽△ACB；

故④不符合題意，

⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，則可判斷△ADE∽△ACB，故⑤符合題意；

故選：C．

二．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）

11．（4分）已知＝，則＝________．

【答案】．

【解析】∵＝，

∴＝，

∴﹣＝，

∴＝．

12．（4分）若一個菱形的周長為200cm，一條對角線長為60cm，則它的面積為________．

【答案】2400cm2．

【解析】已知AC＝60cm，菱形對角線互相垂直平分，

∴AO＝30cm，

又∵菱形ABCD周長為200cm，

∴AB＝50cm，

∴BO＝＝＝40cm，

∴AC＝2BO＝80cm，

∴菱形的面積為×60×80＝2400（cm2）．

13．（4分）如圖，矩形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．點E為射線DC上的一個動點，△ADE

與△AD′E關(guān)于直線AE對稱，當(dāng)△AD′B為直角三角形時，DE的長為________．

【答案】2或18．

【解析】分兩種情況討論：

①當(dāng)E點在線段DC上時，如圖所示：

∵△AD'E≌△ADE，

∴∠AD'E＝∠D＝90°，

∵∠AD'B＝90°，

∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，

∴B、D'、E三點共線，

∵△ABE的面積＝BE×AD'＝AB×AD，AD'＝AD，

∴BE＝AB＝10，

∵BD'＝＝＝8，

∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；

②當(dāng)E點在線段DC的延長線上，且ED″經(jīng)過點B時，滿足條件，如圖所示：

∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，

∴∠CBE＝∠BAD″，

在△ABD″和△BEC中，

，

∴△ABD″≌△BEC（ASA），

∴BE＝AB＝10，

∵BD''＝＝8，

∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18；

綜上所知，DE的長為2或18，

14．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑作

弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN分別交AB、AC于點F、D，作DE⊥BC于E．有下面三個結(jié)

論：

①BD平分∠ABC；②DE＝DF；③BC+CD＝2AF．

其中，正確的結(jié)論的是________．

【答案】①②③．

【解析】由作法得DF垂直平分AB，

∴DA＝DB，AF＝BF，

∴∠DBA＝∠A＝36°，

∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，

∴∠DBA＝∠ABC，即BD平分∠ABC，所以①正確；

∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，

∴DE＝DF，所以②正確；

∵∠BDC＝∠A+∠DBA＝72°，

∴∠BDC＝∠BCD，

∴BD＝BC，

∵DB＝DA，

∴BC＝AD，

∴BC+CD＝AD+CD＝AC，

∵AB＝AC＝2AF，

∴BC+CD＝2AF，所以③正確．

三．解答題（共6小題，滿分54分）

15．（10分）（1）計算：|﹣2|+（π﹣3）0+2sin60°．

（2）解下列方程：x2﹣3x﹣1＝0．

【答案】見解析

【解析】（1）原式＝2﹣+1+2×

＝2﹣+1+

＝3；

（2）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，

∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，

則x＝，

即x1＝，x2＝．

16．（8分）先化簡，再求值：，其中x＝cos45°．

【答案】見解析

【解析】原式＝

＝

＝x2+x，

∵x＝cos45°，

∴，

∴把代入原式＝．

17．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點坐標分別為O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．

（1）以原點O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出將△OAB放大為原來的2倍得到的△OA1B1，請寫出點

A的對應(yīng)點A1的坐標；

（2）畫出將△OAB向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的△O2A2B2，寫出點B的對應(yīng)點

B2的坐標；

（3）請在圖中標出△OA1B1與△O2A2B2的位似中心M，并寫出點M的坐標．

【答案】見解析

【解析】（1）如圖△OA1B1即為所求作，點A1的坐標（4，2）．

（2）如圖，△O2A2B2即為所求作，點B2的坐標（﹣1，﹣1）．

（3）點M即為所求作．M（﹣4，2）．

18．（10分）為全面貫徹黨的教育方針，堅持“健康第一”的教育理念，促進學(xué)生健康成長，提高體質(zhì)健

康水平，成都市調(diào)整體育中考實施方案：分值增加至60，男1000米（女800米）必考，足球、籃球、

排球“三選一”…，從2019年秋季新入學(xué)的七年級起開始實施．某中學(xué)為了解七年級學(xué)生對三大球類

運動的喜愛情況，從七年級學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生進行調(diào)查問卷，通過分析整理繪制了如下兩幅統(tǒng)

計圖．請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題：

（1）求參與調(diào)查的學(xué)生中，喜愛排球運動的學(xué)生人數(shù)，并補全條形圖；

（2）若該中學(xué)七年級共有400名學(xué)生，請你估計該中學(xué)七年級學(xué)生中喜愛籃球運動的學(xué)生有多少名？

（3）若從喜愛足球運動的2名男生和2名女生中隨機抽取2名學(xué)生，確定為該校足球運動員的重點培

養(yǎng)對象，請用列表法或畫樹狀圖的方法求抽取的兩名學(xué)生為一名男生和一名女生的概率．

【答案】見解析

【解析】（1）由題意可知調(diào)查的總?cè)藬?shù)＝12÷20%＝60（人），

所以喜愛排球運動的學(xué)生人數(shù)＝60×35%＝21（人）

補全條形圖如圖所示：

（2）∵該中學(xué)七年級共有400名學(xué)生，

∴該中學(xué)七年級學(xué)生中喜愛籃球運動的學(xué)生有400×（1﹣35%﹣20%）＝180名；

（3）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生結(jié)果數(shù)為8，

所以抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生概率＝＝．

19．（10分）如圖，∠AOB＝90°，AB∥x軸，OB＝2，雙曲線y＝，經(jīng)過點B，將△AOB繞點B逆時

針旋轉(zhuǎn)，使點O的對應(yīng)點D落在x軸正半軸上，若AB的對應(yīng)線段CB恰好經(jīng)過點O．

（1）求點B坐標及雙曲線解析式．

（2）判斷點C是否在雙曲線上，請說明理由．

（3）在y軸上是否存在一點P，使△PBD的周長最小，若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理

由．

【答案】見解析

【解析】（1）∵AB∥x軸，

∴∠ABO＝∠BOD，

∵∠ABO＝∠CBD，

∴∠BOD＝∠OBD，

∵OB＝BD，

∴∠BOD＝∠BDO，

∴△BOD是等邊三角形，

∴∠BOD＝60°，

∴B（1，），

∵雙曲線y＝經(jīng)過點B，

∴k＝1×＝，

∴雙曲線的解析式為y＝；

（2）∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，

∴∠A＝30°，

∴AB＝2OB，

∵AB＝BC，

∴BC＝2OB，

∴OC＝OB，

∴C（﹣1，﹣），

∵﹣1×（﹣）＝，

∴點C在雙曲線上；

（3）∵△PBD的周長＝BD+PB+PD，且BD是定值，

∴當(dāng)PB+PD取最小值時，△PBD有最小值，

如圖，作點B關(guān)于y軸的對稱點B'（﹣1，），連接B'D交y軸于點P，

∵B（1，），

∴OB＝2，

∵△BOD是等邊三角形，

∴BO＝OD＝2，

∴點D（2，0），

設(shè)直線B'D解析式為y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝﹣x+，

當(dāng)x＝0時，y＝，

∴點P（0，）．

20．（10分）如圖，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，連接BC、DE相交于

點F，BC與AD相交于點G．

（1）試判斷線段BC、DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）若BC平分∠ABD，求證：線段FD是線段FG和FB的比例中項．

【答案】見解析

【解析】（1）解：BC＝DE，

理由：∵∠BAD＝∠CAE，

∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，

即∠BAC＝∠DAE．

在△CAB和△EAD中，

，

∴△CAB≌△EAD（SAS），

∴BC＝DE．

（2）∵△BAC≌△DAE

∴∠ABC＝∠ADE，

∵BC平分∠ABD，

∴∠ABC＝∠CBD，

∴∠CBD＝∠ADE

又∵∠GFD＝∠GFD，

∴△FGD∽△FDB，

∴，

∴FD2＝FG?FB．

即線段FD是線段FG和FB的比例中項．

B卷

一．填空題（共5小題，滿分20分，每小題4分）

222

21．（4分）若方程x+px+1＝0（p＞0）的兩個實數(shù)根為x1，x2，且|x1﹣x2|＝p，則p等于________．

【答案】．

2

【解析】∵方程x+px+1＝0（p＞0）的兩個實根為x1，x2，

∴x1+x2＝﹣p，x1?x2＝1，

22

∴|x1﹣x2|＝|（x1+x2）（x1﹣x2）|＝|x1+x2|?＝p，

∴p＝p，

整理得，p2﹣4＝1，

解得p1＝，p2＝﹣（舍去）．

∴p＝．

22．（4分）有五張正面分別標有數(shù)﹣7，0，1，2，5的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)

將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將卡片上的數(shù)記為a，則使關(guān)于x的方程﹣2＝有

正整數(shù)解的概率為________．

【答案】．

【解析】﹣2＝，

解得：x＝，

∵分式方程的解為正整數(shù)，

∴a+1＞0，

又∵x≠1，

∴a≠5，

∴a＝0或a＝1或a＝2，

∴使關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解的概率為．

23．（4分）如圖，已知點A1、A2、A3、…、An在x軸上，且OA1＝A1A2＝A2A3═An﹣1An＝1，分別過點

A1、A2、A3、…、An作x軸的垂線，交反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點B1、B2、B3、…、Bn，

過點B2作B2P1⊥A1B1于點P1，過點B3作B3P2⊥A2B2于點P2，…，若記△B1P1B2的面積為S1，△B2P2B3

的面積為S2，…，△BnPnBn+1的面積為Sn，則S1+S2+…+S2017＝________．

【答案】．

【解析】根據(jù)題意可知：點B1（1，2）、B2（2，1）、B3（3，）、…、Bn（n，），

∴B1P1＝2﹣1＝1，B2P2＝1﹣＝，B3P3＝﹣＝，…，BnPn＝﹣＝，

∴Sn＝AnAn+1?BnPn＝，

∴S1+S2+…+S2017＝+++…+＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1

﹣＝．

24．（4分）如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，過B作A1B⊥AC，過A1作A1B1⊥

BC，得陰影Rt△A1B1B；再過B1作B1A2⊥AC，過A2作A2B2⊥BC，得陰影Rt△A2B2B1；…如此下去．請

猜測這樣得到的所有陰影三角形的面積之和為________．

【答案】

【解析】易得△ABA1∽△BA1B1，

則相似比為A1B：AB＝sin∠A＝4：5，

那么陰影部分面積與空白部分面積之比為16：25，

同理可得到其他三角形之間也是這個情況，

那么所有的陰影部分面積之和應(yīng)等于＝3×4÷2×＝．

25．（4分）如圖，把矩形ABCD沿EF對折，使B與D重合，折痕EF交BD于G，連AG，若tan∠AGE

＝，BF＝8，P為DG上一個動點，則PF+PC的最小值為________．

【答案】10．

【解析】如圖，連接BE，CE，PE，取BE的中點O，連接OA，OG．

由題意，EF垂直平分線段BD，

∴EB＝ED，BG＝GD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EDG＝∠FBG，

∵∠EGD＝∠FGB，

∴△EGD≌△FGB（ASA），

∴BF＝DE＝8，EG＝FG，

∵DB⊥EF，

∴PE＝PF，

∴PF+PC＝PE+PC≥EC，

∵∠BAE＝∠BGE＝90°，OB＝OE，

∴OA＝OB＝OE＝OG，

∴A，B，G，E四點共圓，

∴∠ABE＝∠AGE，

∴tan∠ABE＝tan∠AGE＝＝，

設(shè)AE＝k，AB＝3k，

∵AB2+AE2＝BE2，BE＝DE＝8，

∴（k）2+（3k）2＝82，

∴k＝2，

∴AB＝CD＝6，

∵∠EDC＝90°，

∴EC＝＝＝10，

∴PF+PC≥10，

∴PF+PC的最小值為10．

二．解答題（共3小題，滿分30分）

26．（8分）列二元一次方程組解應(yīng)用題：

小穎家離學(xué)校1880米，其中有一段為上坡路，另一段為下坡路．她跑步去學(xué)校共用了16分鐘，已知

小穎在上坡路上的平均速度是80米/分鐘，在下坡路上的平均速度是200米/分鐘．求小穎上坡、下坡

各用了多長時間？

【答案】見解析

【解析】設(shè)小穎上坡用了x分鐘，下坡用了y分鐘，

依題意得：，

解得：．

答：小穎上坡用了11分鐘，下坡用了5分鐘．

27．（10分）（1）如圖1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），連接CE，AG交于點H，請直

接寫出線段AG與CE的數(shù)量關(guān)系________，位置關(guān)系________；

（2）如圖2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，將矩形DEFG繞點D逆時

針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），連接AG，CE交于點H，（1）中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請寫出理

由；若不成立，請寫出線段AG，CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，將矩形DEFG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°

＜α＜360°），直線AG，CE交于點H，當(dāng)點E與點H重合時，請直接寫出線段AE的長．

【答案】見解析

【解析】（1）如圖1，

在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC＝∠EDG＝90°，

∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE，

即∠ADG＝∠CDE，

∵DG＝DE，DA＝DC，

∴△GDA≌△EDC（SAS），

∴AG＝CE，∠GAD＝∠ECD，

∵∠COD＝∠AOH，

∴∠AHO＝∠CDO＝90°，

∴AG⊥CE，

故答案為：相等，垂直；

（2）不成立，CE＝2AG，AG⊥CE，理由如下：

如圖2，由（1）知，∠EDC＝∠ADG，

∵AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，

∴，＝＝，

∴＝，

∴△GDA∽△EDC，

∴＝，即CE＝2AG，

∵△GDA∽△EDC，

∴∠ECD＝∠GAD，

∵∠COD＝∠AOH，

∴∠AHO＝∠CDO＝90°，

∴AG⊥CE；

（3）①當(dāng)點E在線段AG上時，如圖3，

在Rt△EGD中，DG＝3，ED＝4，則EG＝5，

過點D作DP⊥AG于點P，

∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，

∴△DGP∽△EGD，

∴＝，即，

∴PD＝，PG＝，

則AP＝＝＝，

則AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝+﹣5＝；

②當(dāng)點G在線段AE上時，如圖4，

過點D作DP⊥AG于點P，

∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，

同理得：PD＝，AP＝，

由勾股定理得：PE＝＝，

則AE＝AP+PE＝+＝；

綜上，AE的長為．

28．（12分）如圖1，把矩形OABC放在平面直角坐標系中，邊OC在x軸上，邊OA在y軸上，連接AC，

且OA＝3，∠ACO＝30°，過點C作CD平分∠ACB交AB于點D．動點E在線段OC上運動，過