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文檔簡介
第四章可控與可觀第1頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性分析4-1問題的提出4-7
對(duì)偶原理4-5
線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性4-2
可控與可達(dá)的定義4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件4-4
線性定常離散系統(tǒng)的可控性4-6線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性4-8結(jié)構(gòu)分解第2頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-1問題的提出
經(jīng)典控制理論以傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入—輸出特性,輸出量即被控量,只要系統(tǒng)是穩(wěn)定的,輸出量便可以受控,且輸出量總是可以被測量的,因而不需要提出可控性和可觀性的概念。現(xiàn)代控制理論建立在狀態(tài)空間表達(dá)式描述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上。狀態(tài)方程描述輸入引起狀態(tài)的變化過程;輸出方程描述由狀態(tài)變化所引起的輸出的變化。
可控性和可觀性回答:“輸入能否控制系統(tǒng)狀態(tài)的變化”——可控性“狀態(tài)的變化能否由輸出反映”——可觀性
可控性和可觀性的概念是卡爾曼(Kalman)在1960年首先提出,是經(jīng)典控制進(jìn)入現(xiàn)代控制理論的標(biāo)志之一。第3頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-1問題的提出
【例】RLC網(wǎng)絡(luò)控制量對(duì)狀態(tài)變量的控制能力-稱狀態(tài)可控性輸出量對(duì)狀態(tài)變量的反映能力-稱狀態(tài)可觀測性u(píng)當(dāng),即電橋不平衡時(shí),u能控制x1,x2所有變量,稱系統(tǒng)可控。第4頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-1問題的提出
【例】解:上述動(dòng)態(tài)方程可寫成:輸入u不能控制狀態(tài)變量,所以狀態(tài)變量是不可控的;,所以狀態(tài)變量不能觀測。從輸出方程看,輸出y不能反映狀態(tài)變量第5頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-2可控與可達(dá)的定義
定義1:使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終態(tài)則稱此狀態(tài)可控;
設(shè)系統(tǒng),若在有限時(shí)間,存在分段連續(xù)輸入u(t)如果系統(tǒng)所有狀態(tài)可控,則稱系統(tǒng)完全可控,簡稱系統(tǒng)可控。假如相平面中的P點(diǎn)能在輸入的作用下轉(zhuǎn)移到任一指定狀態(tài),那么相平面上的P點(diǎn)是可控狀態(tài)。PP3P1P2PnP40x1x2第6頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-2可控與可達(dá)的定義
定義3:使系統(tǒng)從零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意指定終端狀態(tài),則稱此狀態(tài)可達(dá),簡稱系統(tǒng)可達(dá)。定義2:使系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)狀態(tài)零點(diǎn),則稱狀態(tài)完全可控,簡稱系統(tǒng)可控;對(duì)于線性定常系統(tǒng),可控性和可達(dá)性是等價(jià)的;第7頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
一.可控性判據(jù)凱萊-哈密頓定理:
定理1:若定義線性定常系統(tǒng)的n*(np)可控矩陣則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控(或系統(tǒng)可控)的充要條件是:該系統(tǒng)的可控性矩陣滿秩,即第8頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
推論:證明:第9頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
由凱萊-哈密頓定理得:
第10頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
【例】解:,∴系統(tǒng)不可控。試判別狀態(tài)可控性第11頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
【例】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。
(2)(1)
定理2:設(shè)線性定常系統(tǒng),系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件為:當(dāng)A為對(duì)角陣且特征根互異時(shí),輸入矩陣B無全零行第12頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
(3)
(4)解:(1)狀態(tài)方程為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型,B陣中不含有元素全為零的行,故系統(tǒng)是可控的。(2)狀態(tài)方程為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型,B陣中含有元素全為零的行,故系統(tǒng)是不可控的。(3)系統(tǒng)可控。(4)系統(tǒng)不可控。第13頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
定理3:中不適用)。兩個(gè)或兩個(gè)以上約當(dāng)塊(當(dāng)相同特征根分布在,不全為零中對(duì)應(yīng)的行最后一行中與約當(dāng)塊輸入矩陣,分布在一個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)時(shí)為約當(dāng)陣且相同特征根當(dāng)件為:狀態(tài)完全可控的充要條系統(tǒng)BA【例】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。(1)
(2)第14頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
(3)(4)解:(1)系統(tǒng)是可控的。(2)系統(tǒng)是不可控的。(3)系統(tǒng)是可控的。(4)系統(tǒng)是不可控的。第15頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
二、可控標(biāo)準(zhǔn)型1.可控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)一定可控定理:線性定常單輸入系統(tǒng)若系統(tǒng)可控,則各項(xiàng)系數(shù)第16頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
2.若一單輸入系統(tǒng)可控,則一定能找到一線性變化將起轉(zhuǎn)換為可控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng).定理:線性定常單輸入系統(tǒng)可控,則第17頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
【例】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為
試判別狀態(tài)可控性,如可控將狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。第18頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
解:(1)首先判別可控性
,故系統(tǒng)是可控的。(2)化可控標(biāo)準(zhǔn)型第19頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
即有可控標(biāo)準(zhǔn)型
第20頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件
一般而言,系統(tǒng)輸出可控性和狀態(tài)可控性之間沒有什么必然的聯(lián)系。即輸出可控不一定狀態(tài)可控,狀態(tài)可控不一定輸出可控。三連續(xù)系統(tǒng)的輸出可控性定理:設(shè)系統(tǒng),則系統(tǒng)輸出完全可控的充要條件是輸出可控性矩陣滿秩,即(q-輸出變量個(gè)數(shù))第21頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-4離散時(shí)間系統(tǒng)的可控性
1.定義:設(shè)系統(tǒng),若在有限時(shí)間,存在控制作用使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)在l步轉(zhuǎn)移到零終態(tài)則稱此狀態(tài)可控;如果系統(tǒng)所有狀態(tài)可控,則稱系統(tǒng)完全可控,簡稱系統(tǒng)可控。2.線性定常離散系統(tǒng)的可控條件第22頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-4離散時(shí)間系統(tǒng)的可控性
【例】設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為
試判別其可控性。定理:線性定常離散系統(tǒng),系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件為能控性矩陣滿秩第23頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-4離散時(shí)間系統(tǒng)的可控性
解:所以離散系統(tǒng)是不可控的。第24頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性
二、可觀測性定理定理1:線性定常連續(xù)系統(tǒng)一、定義定義:若對(duì)系統(tǒng){A,B,C,D},存在給定輸入u(t),能在[t0,tf)有限時(shí)間內(nèi),由輸出y(t)能任一確定系統(tǒng)初始狀態(tài)x(t0),則系統(tǒng)則系統(tǒng)各個(gè)狀態(tài)都可觀測,則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測的,簡稱系統(tǒng)可觀測。第25頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性
【例】判別可觀測性(2)(1)第26頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性
解:(1)故系統(tǒng)不可觀測
系統(tǒng)可觀測(2)定理2:線性定常系統(tǒng),系統(tǒng)狀態(tài)空間可觀測的充要條件為:當(dāng)A為對(duì)角矩陣且特征值互異時(shí),輸出矩陣C中不包含全為零的列。第27頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性
【例】判別可觀測性解:系統(tǒng)可觀測。解:系統(tǒng)不可觀測。(2)(1)第28頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性
三、可觀測標(biāo)準(zhǔn)型一個(gè)單輸出線性定常系統(tǒng){A,C},若其系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C有如下標(biāo)準(zhǔn)形式:第29頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性
1.可觀標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)一定可觀。2.若一單輸出系統(tǒng)可觀,則一定可通過線性變換將它轉(zhuǎn)化為可觀標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)。第30頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-6線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性
設(shè)定義:已知u(k),如果能由確定x(k),則第k步是能觀的。如果每個(gè)k步都能觀,則系統(tǒng)完全能觀。已知u(k)x(k)=
y(k)
y(k+1)
y(k+n-1)
第31頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-6線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性
定理:系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件:其中:
第32頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-6線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性
[例]解:第33頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-7對(duì)偶原理一.對(duì)偶系統(tǒng)定義:對(duì)于線性定常系統(tǒng)S1和S2,其狀態(tài)空間表達(dá)式分別為:第34頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-7對(duì)偶原理結(jié)論:對(duì)偶系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置。BCAS1:S2:其方塊圖為:第35頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-7對(duì)偶原理第36頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-8結(jié)構(gòu)分解x--能控能觀--能控不能觀--不能控能觀--不能控不能觀系統(tǒng)中有一個(gè)狀態(tài)變量不可控稱系統(tǒng)不可控,不可控系統(tǒng)含可控和不可控兩種狀態(tài)變量;系統(tǒng)有一個(gè)狀態(tài)變量不可觀測稱系統(tǒng)不可觀測,不可觀測系統(tǒng)含可觀測和不可觀測兩種狀態(tài)變量。狀態(tài)變量可分解成可控可觀測狀態(tài)變量、可控不可觀測狀態(tài)變量、不可控可觀測狀態(tài)變量、不可控不可觀測狀態(tài)變量四類,相應(yīng)空間也分成四類,稱為系統(tǒng)的規(guī)范分解。第37頁,共40頁,2023年,2月20日,星期三4-8結(jié)構(gòu)分解一、系統(tǒng)按可控性分解使系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:
對(duì)于n
階不完全可控系統(tǒng)S:其可控性Sc=[B
AB
…
A
B]秩為r
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