第四章可控與可觀

第四章可控與可觀第1頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性分析4-1問(wèn)題的提出4-7

對(duì)偶原理4-5

線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性4-2

可控與可達(dá)的定義4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件4-4

線性定常離散系統(tǒng)的可控性4-6線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性4-8結(jié)構(gòu)分解第2頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-1問(wèn)題的提出

經(jīng)典控制理論以傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入—輸出特性，輸出量即被控量，只要系統(tǒng)是穩(wěn)定的，輸出量便可以受控，且輸出量總是可以被測(cè)量的，因而不需要提出可控性和可觀性的概念?，F(xiàn)代控制理論建立在狀態(tài)空間表達(dá)式描述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上。狀態(tài)方程描述輸入引起狀態(tài)的變化過(guò)程；輸出方程描述由狀態(tài)變化所引起的輸出的變化。

可控性和可觀性回答：“輸入能否控制系統(tǒng)狀態(tài)的變化”——可控性“狀態(tài)的變化能否由輸出反映”——可觀性

可控性和可觀性的概念是卡爾曼（Kalman）在1960年首先提出,是經(jīng)典控制進(jìn)入現(xiàn)代控制理論的標(biāo)志之一。第3頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-1問(wèn)題的提出

【例】RLC網(wǎng)絡(luò)控制量對(duì)狀態(tài)變量的控制能力－稱(chēng)狀態(tài)可控性輸出量對(duì)狀態(tài)變量的反映能力－稱(chēng)狀態(tài)可觀測(cè)性u(píng)當(dāng)，即電橋不平衡時(shí)，u能控制x1，x2所有變量，稱(chēng)系統(tǒng)可控。第4頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-1問(wèn)題的提出

【例】解：上述動(dòng)態(tài)方程可寫(xiě)成：輸入u不能控制狀態(tài)變量，所以狀態(tài)變量是不可控的；，所以狀態(tài)變量不能觀測(cè)。從輸出方程看，輸出y不能反映狀態(tài)變量第5頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-2可控與可達(dá)的定義

定義1：使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終態(tài)則稱(chēng)此狀態(tài)可控；

設(shè)系統(tǒng)，若在有限時(shí)間,存在分段連續(xù)輸入u(t)如果系統(tǒng)所有狀態(tài)可控，則稱(chēng)系統(tǒng)完全可控，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)可控。假如相平面中的P點(diǎn)能在輸入的作用下轉(zhuǎn)移到任一指定狀態(tài)，那么相平面上的P點(diǎn)是可控狀態(tài)。PP3P1P2PnP40x1x2第6頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-2可控與可達(dá)的定義

定義3：使系統(tǒng)從零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意指定終端狀態(tài)，則稱(chēng)此狀態(tài)可達(dá)，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)可達(dá)。定義2：使系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)狀態(tài)零點(diǎn)，則稱(chēng)狀態(tài)完全可控，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)可控；對(duì)于線性定常系統(tǒng)，可控性和可達(dá)性是等價(jià)的；第7頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

一.可控性判據(jù)凱萊-哈密頓定理：

定理1：若定義線性定常系統(tǒng)的n*(np)可控矩陣則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控（或系統(tǒng)可控）的充要條件是：該系統(tǒng)的可控性矩陣滿秩，即第8頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

推論:證明:第9頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

由凱萊-哈密頓定理得：

第10頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

【例】解：，∴系統(tǒng)不可控。試判別狀態(tài)可控性第11頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

【例】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。

（2）（1）

定理2：設(shè)線性定常系統(tǒng),系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件為：當(dāng)A為對(duì)角陣且特征根互異時(shí)，輸入矩陣B無(wú)全零行第12頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

（3）

（4）解：（1）狀態(tài)方程為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，B陣中不含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是可控的。（2）狀態(tài)方程為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，B陣中含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是不可控的。（3）系統(tǒng)可控。（4）系統(tǒng)不可控。第13頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

定理3：中不適用）。兩個(gè)或兩個(gè)以上約當(dāng)塊（當(dāng)相同特征根分布在，不全為零中對(duì)應(yīng)的行最后一行中與約當(dāng)塊輸入矩陣，分布在一個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)時(shí)為約當(dāng)陣且相同特征根當(dāng)件為：狀態(tài)完全可控的充要條系統(tǒng)BA【例】判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。（1）

（2）第14頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

（3）（4）解：（1）系統(tǒng)是可控的。（2）系統(tǒng)是不可控的。（3）系統(tǒng)是可控的。（4）系統(tǒng)是不可控的。第15頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

二、可控標(biāo)準(zhǔn)型1.可控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)一定可控定理：線性定常單輸入系統(tǒng)若系統(tǒng)可控，則各項(xiàng)系數(shù)第16頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

2.若一單輸入系統(tǒng)可控,則一定能找到一線性變化將起轉(zhuǎn)換為可控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng).定理:線性定常單輸入系統(tǒng)可控,則第17頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

【例】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

試判別狀態(tài)可控性，如可控將狀態(tài)方程化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。第18頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

解：（1）首先判別可控性

，故系統(tǒng)是可控的。（2）化可控標(biāo)準(zhǔn)型第19頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

即有可控標(biāo)準(zhǔn)型

第20頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件

一般而言，系統(tǒng)輸出可控性和狀態(tài)可控性之間沒(méi)有什么必然的聯(lián)系。即輸出可控不一定狀態(tài)可控，狀態(tài)可控不一定輸出可控。三連續(xù)系統(tǒng)的輸出可控性定理：設(shè)系統(tǒng)，則系統(tǒng)輸出完全可控的充要條件是輸出可控性矩陣滿秩，即（q-輸出變量個(gè)數(shù)）第21頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-4離散時(shí)間系統(tǒng)的可控性

1.定義：設(shè)系統(tǒng)，若在有限時(shí)間,存在控制作用使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)在l步轉(zhuǎn)移到零終態(tài)則稱(chēng)此狀態(tài)可控；如果系統(tǒng)所有狀態(tài)可控，則稱(chēng)系統(tǒng)完全可控，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)可控。2.線性定常離散系統(tǒng)的可控條件第22頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-4離散時(shí)間系統(tǒng)的可控性

【例】設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

試判別其可控性。定理：線性定常離散系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件為能控性矩陣滿秩第23頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-4離散時(shí)間系統(tǒng)的可控性

解：所以離散系統(tǒng)是不可控的。第24頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性

二、可觀測(cè)性定理定理1：線性定常連續(xù)系統(tǒng)一、定義定義：若對(duì)系統(tǒng){A，B，C，D}，存在給定輸入u(t)，能在[t0,tf）有限時(shí)間內(nèi)，由輸出y(t)能任一確定系統(tǒng)初始狀態(tài)x(t0)，則系統(tǒng)則系統(tǒng)各個(gè)狀態(tài)都可觀測(cè)，則稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)可觀測(cè)。第25頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性

【例】判別可觀測(cè)性（2）（1）第26頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性

解：（1）故系統(tǒng)不可觀測(cè)

系統(tǒng)可觀測(cè)（2）定理2：線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)空間可觀測(cè)的充要條件為：當(dāng)A為對(duì)角矩陣且特征值互異時(shí)，輸出矩陣C中不包含全為零的列。第27頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性

【例】判別可觀測(cè)性解：系統(tǒng)可觀測(cè)。解：系統(tǒng)不可觀測(cè)。（2）（1）第28頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性

三、可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型一個(gè)單輸出線性定常系統(tǒng){A,C},若其系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C有如下標(biāo)準(zhǔn)形式：第29頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-5線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性

1.可觀標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)一定可觀。2.若一單輸出系統(tǒng)可觀，則一定可通過(guò)線性變換將它轉(zhuǎn)化為可觀標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)。第30頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-6線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性

設(shè)定義：已知u(k)，如果能由確定x(k)，則第k步是能觀的。如果每個(gè)k步都能觀，則系統(tǒng)完全能觀。已知u(k)x(k)=

y(k)

y(k+1)

y(k+n-1)

第31頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-6線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性

定理：系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件：其中：

第32頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-6線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性

[例]解：第33頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-7對(duì)偶原理一.對(duì)偶系統(tǒng)定義:對(duì)于線性定常系統(tǒng)S1和S2,其狀態(tài)空間表達(dá)式分別為：第34頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-7對(duì)偶原理結(jié)論：對(duì)偶系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置。BCAS1:S2:其方塊圖為：第35頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-7對(duì)偶原理第36頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-8結(jié)構(gòu)分解x--能控能觀--能控不能觀--不能控能觀--不能控不能觀系統(tǒng)中有一個(gè)狀態(tài)變量不可控稱(chēng)系統(tǒng)不可控，不可控系統(tǒng)含可控和不可控兩種狀態(tài)變量；系統(tǒng)有一個(gè)狀態(tài)變量不可觀測(cè)稱(chēng)系統(tǒng)不可觀測(cè)，不可觀測(cè)系統(tǒng)含可觀測(cè)和不可觀測(cè)兩種狀態(tài)變量。狀態(tài)變量可分解成可控可觀測(cè)狀態(tài)變量、可控不可觀測(cè)狀態(tài)變量、不可控可觀測(cè)狀態(tài)變量、不可控不可觀測(cè)狀態(tài)變量四類(lèi)，相應(yīng)空間也分成四類(lèi)，稱(chēng)為系統(tǒng)的規(guī)范分解。第37頁(yè)，共40頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4-8結(jié)構(gòu)分解一、系統(tǒng)按可控性分解使系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：

對(duì)于n

階不完全可控系統(tǒng)S:其可控性Sc=[B

AB

…

A

B]秩為r