【校級(jí)聯(lián)考】安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期春季聯(lián)賽數(shù)學(xué)（文）試題

安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2019年春季聯(lián)賽（高一）數(shù)學(xué)（文科）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，集合，則A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A,B，再求A∩B得解.【詳解】由題得，，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和交集運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.2.實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，指數(shù)函數(shù)是定義域R上的單調(diào)遞增函數(shù)，又由，得，即可求解.【詳解】由題意，指數(shù)函數(shù)是定義域R上的單調(diào)遞增函數(shù)，又由，則，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中解答中合理根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，，且，則向量與向量的夾角為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過(guò)向量的垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算，利用向量夾角的余弦公式求出其余弦值，問(wèn)題得解．【詳解】，即：又，向量與向量的夾角的余弦為，向量與向量的夾角為：故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角公式及向量運(yùn)算，還考查了向量垂直的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．4.函數(shù)f(x)＝(x2－1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先確定出函數(shù)的定義域，然后解f(x)＝0即可得到答案.【詳解】要使函數(shù)有意義，則x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0，得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題.5.函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除兩個(gè)答案，再根據(jù)時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)可得正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以為偶函?shù)，排除A,D；當(dāng)時(shí)，，故排除C；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式選擇對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，求解時(shí)要充分利用函數(shù)的性質(zhì)和特殊點(diǎn)尋找解題的突破口.6.函數(shù)的兩根是和，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題得，再代入得解.【詳解】因?yàn)?，是方程的兩個(gè)根，所以，，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查和角的正切的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平設(shè)分析推理能力.7.中，，，，點(diǎn)滿足，則等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接求得解.【詳解】依題意.由于，所以,所以所以.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8.設(shè)變量，滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最小值為1，則的最小值為A. B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】先由題得，再利用基本不等式求的最小值.【詳解】變量，滿足約束條件的可行域如圖，當(dāng)直線過(guò)直線和的交點(diǎn)時(shí)，有最小值為1，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃和基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.9.若數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且滿足：，，函數(shù)，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，再求的值.【詳解】根據(jù)題意，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)，考查三角函數(shù)值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知銳角外接圓的半徑為2，，則周長(zhǎng)的最大值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理解得角C，再利用正弦定理得出a+b+c關(guān)于B的三角函數(shù)，從而得出周長(zhǎng)的最大值．【詳解】∵銳角外接圓的半徑為2，，∴即，∴，又為銳角，∴，由正弦定理得，∴a＝4sinA，b＝4sinB，c＝∴a+b+c＝24sinB+4sin（B）＝6sinB+2cosB+24sin（B）+2，∴當(dāng)B即B時(shí)，a+b+c取得最大值46．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正弦定理解三角形，屬于中檔題．11.將函數(shù)和直線的所有交點(diǎn)從左到右依次記為，，…，，若點(diǎn)坐標(biāo)為，則A.0 B.2 C.6 D.10【答案】D【解析】【分析】由題得和，和，都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，再求的值得解.【詳解】函數(shù)與的所有交點(diǎn)從左往右依次記為、、、和，且和，和，都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，如圖所示；則，所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖像，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查平面向量的運(yùn)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.12.對(duì)于數(shù)列，若任意，都有（為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列為級(jí)收斂，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且級(jí)收斂，則的最大值為A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由題分析可得數(shù)列是遞增數(shù)列或常數(shù)列，進(jìn)一步分析得到恒成立，即得t的最大值.【詳解】由題意：對(duì)任意的恒成立，，且具有性質(zhì)，則恒成立，即恒成立，據(jù)此可知數(shù)列是遞增數(shù)列或常數(shù)列，當(dāng)數(shù)列是遞增數(shù)列時(shí)，，據(jù)此可得：恒成立，故，又?jǐn)?shù)列不可能是常數(shù)列，所以的最大值為2.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)新定義的理解，考查數(shù)列的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置）13.已知函數(shù)為冪函數(shù)，則__________．【答案】16【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出m的值，寫(xiě)出的解析式，即可計(jì)算的值．【詳解】由題意，函數(shù)為冪函數(shù)，，解得，，，故答案為16．【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的定義，及冪函數(shù)的求值問(wèn)題，其中解答中熟記冪函數(shù)的定義，用定義求得冪函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.已知函數(shù)，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式得到函數(shù)的周期，得到，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】依題意可得，其最小正周期，且，故.故答案為.【點(diǎn)睛】這給題目考查了正弦函數(shù)的周期的求法和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)非零向量，的夾角為，記，若，均為單位向量，且，則向量與的夾角為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，，再根據(jù)向量點(diǎn)積的公式得到向量夾角即可.【詳解】由題設(shè)知，若向量，的夾角為，則，的夾角為.由題意可得，，.∵，，，，向量與的夾角為.故答案為.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量數(shù)量積的應(yīng)用，以及向量夾角的求法，平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.16.已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】或【解析】【分析】由題意可得f（x），g（x）的圖象均過(guò)（-1，1），分別討論a＞0，a＜0時(shí)，f（x）＞g（x）的整數(shù)解情況，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】由函數(shù)可得f（x），g（x）的圖象均過(guò)（-1，1），且f（x）的對(duì)稱軸為x＝，當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)稱軸大于0，由題意可得f（x）＞g（x）恰有0,1兩個(gè)整數(shù)解，可得，即有，解得當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)稱軸小于0，由題意可得f（x）＞g（x）恰有-3，﹣2兩個(gè)整數(shù)解，可得，即有,解得，綜上可得a的范圍是或故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查分類討論思想方法，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）已知，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式，代入即可求得公比，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式．（2）根據(jù)等比數(shù)列的乘積，表示為指數(shù)為等差數(shù)列求和，進(jìn)而求得，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得最大值即可．【詳解】（1）設(shè)的公比為，由題意得：所以，即則所以.（2）當(dāng)或4時(shí)，取得最大值，且【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的計(jì)算，等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用及最值求法，屬于基礎(chǔ)題．18.已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為.（Ⅰ）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先化簡(jiǎn)函數(shù)得，根據(jù)對(duì)稱中心求出，再求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性求在區(qū)間上的最大值和最小值.【詳解】（Ⅰ），因?yàn)槭菍?duì)稱中心，∴，，且，所以，，所以，所以函數(shù)最小正周期為.解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，在遞減，在遞增，可知當(dāng)時(shí)得最大值為0；當(dāng)時(shí)得最小值-2.故在區(qū)間上的最大值為0，最小值為-2.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法和最值的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19.如圖，的三個(gè)內(nèi)角，，對(duì)應(yīng)的三條邊長(zhǎng)分別是，，，，，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面積.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先求出a=2,即得A=C,再利用求出sinA;（Ⅱ）先求出CD，再求的面積.【詳解】（Ⅰ）由及余弦定理得：，可知等腰三角形，即，所以，解得.（Ⅱ）由可知，在中，，.三角形面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和三角恒等變換，考查三角形的面積的求解，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.20.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】【分析】（1）可通過(guò)和來(lái)構(gòu)造數(shù)列，得出是等比數(shù)列，再代入1得出首項(xiàng)的值（2）利用（1）的等比數(shù)列得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，算出，再代入進(jìn)行求和，可以先把分成兩部分，利用分組求和法進(jìn)行求和【詳解】（1）因?yàn)?，所以可得到，即，則，所以，又，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知，所以，故．設(shè)，則，所以，所以，所以．21.某地空氣中出現(xiàn)污染，須噴灑一定量去污劑進(jìn)行處理．據(jù)測(cè)算，每噴灑1個(gè)單位的去污劑，空氣中釋放的濃度(單位：毫克/立方米)隨著時(shí)間(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的去污劑濃度為每次投放的去污劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中去污劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí)，它才能起到去污作用．（1）若一次噴灑4個(gè)單位的去污劑，則去污時(shí)間可達(dá)幾天？（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的去污劑，6天后再噴灑個(gè)單位的去污劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效去污，試求的最小值．【答案】（1）7；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先求得，再分段討論即可得出答案；（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，求得濃度，再根據(jù)基本不等式即可求出答案．【詳解】解：（1）∵一次噴灑4個(gè)單位的去污劑，∴空氣中釋放的濃度為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，綜上得，即一次投放4個(gè)單位的去污劑，有效去污時(shí)間可達(dá)7天；（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，濃度，即，，∴，當(dāng)時(shí)，，可得，，∴滿足題意，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題．22.若對(duì)定義域內(nèi)任意，都有（為正常數(shù)），則稱函數(shù)為“距