第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分

第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三一、有理函數(shù)的不定積分兩個多項式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù).其中m、n都是非負整數(shù);a0,a1,

…,an及b0,b1,…,bn都是實數(shù)，并且a00,b00.n<m,R(x)稱為真分式；nm,R(x)稱為假分式.利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例如第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三一個真分式總可以分解成若干個部分分式之和.其中部分分式的形式為：難點將有理函數(shù)化為部分分式之和.第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例2第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例3整理得第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項積分.第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三求的步驟：1.將Q(x)在實數(shù)范圍內(nèi)分解成一次式和二次質(zhì)因式的乘積.2.將拆成若干個部分分式之和.(分解后的部分分式必須是最簡分式).3.求出各部分分式的原函數(shù),即可求得第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例4求積分解第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例5求積分解第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例6求積分解原式第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例7求積分解原式第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三注意

將有理函數(shù)分解為部分分式求積分雖可行,但不一定簡便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，靈活處理，尋求簡便的方法求解.例8求積分解原式第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱為三角函數(shù)有理式.二、三角函數(shù)有理式的不定積分一般記為

R(sinx,cosx).(萬能代換公式)化為了

u的有理函數(shù)的積分.第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例1求積分例2求積分例3求積分比較以上三種解法,便知萬能代換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能代換.第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例3求積分解第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三解法二令第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三解法三比較以上三種解法,便知萬能代換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能代換.第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例4求積分說明:通常求含的積分時,往往更方便.的有理式用代換例5求積分第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例5求積分解第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三三、簡單無理函數(shù)的不定積分被積函數(shù)為簡單根式的有理式,可通過根式代換化為有理函數(shù)的積分.

討論類型(主要三種)第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例1求積分解原式第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例2求積分解原式第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例3求積分解原式第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三例4求積分解先對分母進行有理化原式第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三1.有理函數(shù)分解成部分分式之和的積分.(注意：必須化成真分式)四、小結(jié)2.簡單無理函數(shù)的積分.(用根式代換化為有理函數(shù)的積分)3.三角函數(shù)有理式的積分.(萬能代換公式)(注意：萬能公式并不萬能)第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三思考題將分式分解成部分分式之和時應(yīng)注意什么？解答分解后的部分分式必須是最簡分式.第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三練習題第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三練習題答案第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三有理函數(shù)化為部分分式之和的一般方法:例

將下列真分式分解為部分分式:解(1)拼湊法第38頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三(2)賦值法第39頁，共43頁，2023年，2月20日，星期三(3)待定系數(shù)法整理得第40頁，共43頁，