第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分

第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分第1頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、有理函數(shù)的不定積分兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù).其中m、n都是非負(fù)整數(shù);a0,a1,

…,an及b0,b1,…,bn都是實(shí)數(shù)，并且a00,b00.n<m,R(x)稱為真分式；nm,R(x)稱為假分式.利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例如第2頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一個(gè)真分式總可以分解成若干個(gè)部分分式之和.其中部分分式的形式為：難點(diǎn)將有理函數(shù)化為部分分式之和.第3頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為第4頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為第5頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1第6頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例2第7頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3整理得第8頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項(xiàng)積分.第9頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三說(shuō)明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類(lèi)情況：多項(xiàng)式；這三類(lèi)積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).第10頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三求的步驟：1.將Q(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次式和二次質(zhì)因式的乘積.2.將拆成若干個(gè)部分分式之和.(分解后的部分分式必須是最簡(jiǎn)分式).3.求出各部分分式的原函數(shù),即可求得第11頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4求積分解第12頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5求積分解第13頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6求積分解原式第14頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例7求積分解原式第15頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注意

將有理函數(shù)分解為部分分式求積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活處理，尋求簡(jiǎn)便的方法求解.例8求積分解原式第16頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱為三角函數(shù)有理式.二、三角函數(shù)有理式的不定積分一般記為

R(sinx,cosx).(萬(wàn)能代換公式)化為了

u的有理函數(shù)的積分.第17頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1求積分例2求積分例3求積分比較以上三種解法,便知萬(wàn)能代換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬(wàn)能代換.第18頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3求積分解第19頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解法二令第20頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解法三比較以上三種解法,便知萬(wàn)能代換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬(wàn)能代換.第21頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4求積分說(shuō)明:通常求含的積分時(shí),往往更方便.的有理式用代換例5求積分第22頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5求積分解第23頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式,可通過(guò)根式代換化為有理函數(shù)的積分.

討論類(lèi)型(主要三種)第24頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1求積分解原式第25頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2求積分解原式第26頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3求積分解原式第27頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式第28頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.有理函數(shù)分解成部分分式之和的積分.(注意：必須化成真分式)四、小結(jié)2.簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分.(用根式代換化為有理函數(shù)的積分)3.三角函數(shù)有理式的積分.(萬(wàn)能代換公式)(注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能)第29頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三思考題將分式分解成部分分式之和時(shí)應(yīng)注意什么？解答分解后的部分分式必須是最簡(jiǎn)分式.第30頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三練習(xí)題第31頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第32頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第33頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三練習(xí)題答案第34頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第35頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第36頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第37頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三有理函數(shù)化為部分分式之和的一般方法:例

將下列真分式分解為部分分式:解(1)拼湊法第38頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2)賦值法第39頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)待定系數(shù)法整理得第40頁(yè)，共43頁(yè)，