第四講一維非穩(wěn)態(tài)傳遞過程

第四講一維非穩(wěn)態(tài)傳遞過程第1頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三求解傳遞問題的通用程序求解一個特定傳遞問題的通用程序包含五個基本步驟:1.提煉物理模型；2.建立

數(shù)學(xué)模型；3.求解數(shù)學(xué)模型；4.計算

過程參數(shù)；5.分析

解算結(jié)果。第2頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三通用程序第一步：提煉物理模型

(1)

當(dāng)你面對一個傳遞問題時,要做的第一件事就是從物理層面對問題進行仔細(xì)的分析：首先給出問題的完整物理描述，再列出問題所涉及的所有變化不大因而可以忽略的因素，由此提煉出決定性的關(guān)鍵因素，從而使問題的物理圖像盡可能地簡化。

第3頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三通用程序第一步：提煉物理模型

(2)例如:過程是否穩(wěn)態(tài)過程?局部復(fù)雜傳遞情況是否可以忽略，以便物理量場可以簡化為更均勻的結(jié)構(gòu)？流體物性在過程中的變化是否可以忽略，以便可以采用常物性假設(shè)和不可壓縮流體近似？傳遞過程是否具有某種幾何對稱性，例如軸對稱或中心對稱？第4頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三通用程序第二步：建立數(shù)學(xué)模型

(1)按照以下步驟建立數(shù)學(xué)模型：1）遵循以下兩點選擇一個合適的坐標(biāo)系：

(1)利用傳遞過程的對稱性以便降低

物理量場的幾何維度；

(2)用最簡單的方式表達物理量場的

邊界條件。第5頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三通用程序第二步：建立數(shù)學(xué)模型

(2)2)化簡變化方程組

按照物理模型，把對應(yīng)于每一項物理簡化的數(shù)學(xué)表述逐一列出。然后把變化方程組中等于零的項統(tǒng)統(tǒng)略去，從而得到該特定傳遞問題的控制方程組。此控制方程組與相應(yīng)的邊界條件和初始條件一起構(gòu)成了該傳遞問題的數(shù)學(xué)模型。第6頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三通用程序第三步：求解數(shù)學(xué)模型傳遞問題的數(shù)學(xué)模型一般是一組微分/積分方程，用解析法求解這些方程通常需要應(yīng)用特別的數(shù)學(xué)方法。我們將在隨后的課程內(nèi)容中討論其中的一些典型方法。求解傳遞問題的關(guān)鍵步驟是獲得速度場、溫度場和濃度場的分布函數(shù)。第7頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三通用程序第四步：計算過程參數(shù)獲得速度場、溫度場和濃度場的分布函數(shù)后，就可在此基礎(chǔ)上計算過程參數(shù)和導(dǎo)出過程參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。諸如流量、阻力、扭矩、升力、最大速度、壓力分布、傳熱通量、傳質(zhì)通量等等。一般只需在相應(yīng)分布函數(shù)的基礎(chǔ)上進行積分或微分運算即可。第8頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三通用程序第五步：分析解算結(jié)果獲得上述結(jié)果后，還應(yīng)該仔細(xì)檢查以下幾點：1）結(jié)果是否合理，包括定性的合理和

定量的合理；2）結(jié)果在什么時空區(qū)間里有效；3）結(jié)果帶有哪些限制條件。第9頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(1)問題的描述:一塊平板被浸沒在大空間里的液體中，平板和液體在初始時刻都處于靜止?fàn)顟B(tài)。平板突然在沿其表面的方向上以恒定速度滑動。希望知道靠近平板表面的流體怎樣流動。第10頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(2)1.

物理模型:

當(dāng)平板突然滑動時，由于液-固界面處的粘附邊界條件，緊靠壁面處的流體首先受到影響，然后動量將傳遞給距壁面更遠的流體，從而使流動區(qū)域的厚度將隨時間增大。第11頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(3)1.物理模型（續(xù)）：如果在所考慮的時間區(qū)間內(nèi)流動區(qū)域的厚度遠小于平板的長度和寬度，而我們感興趣的又僅僅是靠近平板中心區(qū)域的流動，我們不妨認(rèn)為平板具有無窮大的長度和寬度。如果受影響的流體區(qū)域并沒有到達平板對面的外邊界，我們不妨認(rèn)為外邊界距離平板無限遠。第12頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(4)1.物理模型（續(xù)）：

于是，我們獲得了此問題的一個簡化的物理圖像：1)在一個充滿流體的半無窮空間中，邊界面突然以恒定的速度滑動；2)流動處于層流狀態(tài)；3)流動在平行于邊界面的方向上一致不變；4)具有恒定和的牛頓流體。第13頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(5)2.

數(shù)學(xué)模型:選擇右圖所示的直角坐標(biāo)系，因為該坐標(biāo)系(1)利用了流動在x方向和z方向的對稱性，使流場簡化為一維流動。(2)使邊界條件簡化為“y

=0

處，……”。第14頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(6)2.

數(shù)學(xué)模型:2)物理簡化的數(shù)學(xué)描述：(1)根據(jù)物理模型(3)，(2)根據(jù)物理模型(2)和(4)，運動方程可采用納維-斯托克斯方程(B.5-1,2,3)并將壓強和重力項合并用修正壓強表達。第15頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(7)2.

數(shù)學(xué)模型（續(xù)）:(3)化簡納維-斯托克斯方程x–

分量化簡為(a.1)第16頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(8)2.

數(shù)學(xué)模型（續(xù)）:y–分量(a.2)(a.3)化簡為化簡為z–分量第17頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(9)從式(a.2)

和式

(a.3),

(a.4)將式(a.1)對x求導(dǎo)，得2.

數(shù)學(xué)模型（續(xù)）:化簡為第18頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(10)對式(a.4)積分，得于是式(a.1)化簡為(4.1-1)2.

數(shù)學(xué)模型（續(xù)）:式(4.1-1)即為此問題的控制方程第19頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(11)相應(yīng)的初始條件和邊界條件可表達為(4.1-2)(4.1-3)(4.1-4)式(4.1-1,2,3,4)一起構(gòu)成了此問題的數(shù)學(xué)模型。2.

數(shù)學(xué)模型（續(xù)）:第20頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(12)1)使數(shù)學(xué)模型無因次化(a.5)令v0、T和L分別代表系統(tǒng)的特征速度、特征時間和特征長度，式(4.1-1)可以被重新表示為無因次形式：于是對所有動力學(xué)相似的系統(tǒng)，必然存在下列形式的相似解(a.6)2.

求解數(shù)學(xué)模型:第21頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(13)在此問題中，并不存在代表性的特征時間和特征長度，因此

T和

L的選擇是隨意性的。于是對于給定的流體，以下兩種得到

vx(y,t)/

v0的方法是等價的。(1)在函數(shù)f(y*,

t*;

T/L2)中，保持相似準(zhǔn)數(shù)T/L2

不變而改變無因次坐標(biāo)

y*和

t*2)組合變量第22頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(14)于是，我們不妨令

y*=1和

t*=1因而(a.7)(2)在f(y*,

t*;

T/L2)中，保持無因次坐標(biāo)

y*和

t*不變而改變特征時間

T和特征長度

L：第23頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(15)3)

把控制方程變換為常微分方程式(a.7)可以重寫為(a.8)根據(jù)式(a.7)，無因次速度

v*的值僅依賴于組合變量t/y2的值。令(a.9)第24頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(16)然后我們可以把式(4.1-1)中的各個導(dǎo)數(shù)用新變量表示為第25頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(17)選擇適當(dāng)?shù)膎和k值可以使這個方程的結(jié)構(gòu)更為簡單。把這些表達式代入式(4.1-1)

，我們有(a.10)第26頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(18)令

n=-1/2和

k=4，(4.1-9)(4.1-10)(4.1-11)(4.1-6)式

(a.10)

的結(jié)構(gòu)變得非常簡單第27頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(19)4)常微分控制方程的解根據(jù)

B.C.1*,

式(4.1-9)的通解是

根據(jù)

B.C.2*,

第28頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(20)于是式(4.1-9)

的特解為(4.1-14)式中的積分函數(shù)erf(x)稱為誤差函數(shù)（參見附錄

C.6）。第29頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(21)變換回原始變量，我們得到以下速度分布式：(4.1-15)式中的函數(shù)cerf(x)稱為余誤差函數(shù)（參見附錄

C.6）。第30頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(22)4.

計算過程參數(shù)

以單位平板面積上的流動阻力為例。根據(jù)式(4.1-15)，我們有即，流動阻力隨時間減小。第31頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(23)5.

分析解算結(jié)果1）問題

1

在時刻t

=

0

時，單位平板表面的阻力s的值趨于無窮大。

在實際情況下這是不可能發(fā)生的現(xiàn)象。

導(dǎo)致這一結(jié)果的原因是什么？第32頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(24)

問題1的答案

在我們的物理模型中，假定平板的速度在

t

=

0

時刻突然從0改變到v0，這意味著平板的加速度是無窮大，這顯然是不真實的。在實際情況中，平板以一個有限的速率逐漸加速，其加速度的大小取決于傳遞給它的動量通量。

因此，以上所得到的壁面阻力表達式在接近

t=0區(qū)間是無效的。第33頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(25)1）問題

2

余誤差函數(shù)cerf(x)的值從cerf(0)=1到cerf()=0連續(xù)變化。因此，我們的解——式(4.1-15)

表明：當(dāng)

t>0時，在任何有限的y值處的流體速度vx值都不等于零。這與實際情況相矛盾。導(dǎo)致這一結(jié)果的原因是什么？第34頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(26)在我們的物理模型中運用了牛頓粘性定律，而在牛頓粘性定律中我們只考慮了動量傳遞的量是速度梯度的函數(shù)，但并沒有考慮動量從一個空間位置傳遞到另一個空間位置還需要時間。

問題2

的答案第35頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§4.1-1突然滑動的壁面附近的流動

組合變量法(27)

為了緩解這一矛盾，廣泛接受的約定是定義流體速度下降到壁面速度的1%，即vx=0.01v0處，的距離為流動區(qū)域的邊界，記為(t)，稱作動量滲透深度或流動邊界層厚度。第36頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§12C.5太陽熱量的滲透深度

漸近解方法(1)問題的描述:在沙漠里，熾熱的陽光可使正午時地面溫度達到60℃。許多沙漠小動物為了生存而采取了鉆到地下去躲避白天的高溫。如果地表溫度的變化可近似表達為余弦函數(shù)，式中T0=60℃，T=35℃，

=2/24h-1。而沙層的

=1515kg/m3，k=0.389W/mk，Cp=800J/kgK，試問需要深入地下多少距離才能使最高環(huán)境溫度不高于36℃。

第37頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§12C.5太陽熱量的滲透深度

漸近解方法(2)物理模型:此問題是一個非穩(wěn)態(tài)傳熱問題。假定地層最初是處于T的均勻溫度狀態(tài)，在受到周期性的地表溫度影響后，地層溫度將經(jīng)歷一個從均勻態(tài)到周期性波動的過渡過程。但當(dāng)?shù)貙釉谥芷谛缘臏囟冗吔鐥l件下經(jīng)歷足夠長時間后，初始條件的影響將越來越弱直至消失殆盡。溫度場將趨近一種與邊界溫度同步波動的周期性穩(wěn)定狀態(tài)，即溫度場波動的頻率處處相同，但振幅與相位隨深度發(fā)生變化，稱之為強迫振蕩狀態(tài)。第38頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§12C.5太陽熱量的滲透深度

漸近解方法(3)物理模型（續(xù)）：此問題的簡化物理圖像：在一個半無窮空間中，邊界溫度按時間的余弦函數(shù)變化；各向同性介質(zhì)，物性為常數(shù)；介質(zhì)處于靜止?fàn)顟B(tài)；溫度在平行于邊界面的方向上一致不變；邊界溫度周期性變化的時間足夠長，介質(zhì)初始溫度的影響可以忽略，介質(zhì)溫度處于強迫振蕩狀態(tài)。第39頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§12C.5太陽熱量的滲透深度

漸近解方法(4)2.數(shù)學(xué)模型:選擇右圖所示的直角坐標(biāo)系，因為該坐標(biāo)系(1)利用了傳熱在x方向和z方向的對稱性，使溫度場簡化為僅沿y方向變化。(2)使邊界條件簡化為“y

=0

處，……”。第40頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§12C.5太陽熱量的滲透深度

漸近解方法(5)2.數(shù)學(xué)模型（續(xù)）:2)物理簡化的數(shù)學(xué)描述：(1)根據(jù)物理模型(4)，(2)根據(jù)物理模型(2)，能量方程可采用附錄B中的（B.9-1)。(3)根據(jù)物理模型(3)，第41頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§12C.5太陽熱量的滲透深度

漸近解方法(6)2.數(shù)學(xué)模型（續(xù)）:3)化簡能量方程：簡化為第42頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§12C.5太陽熱量的滲透深度

漸近解方法(7)2.數(shù)學(xué)模型（續(xù)）:

記，稱為介質(zhì)的導(dǎo)溫系數(shù)，此問題的數(shù)學(xué)模型可表達為(12.1-33)第43頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§12C.5太陽熱量的滲透深度

漸近解方法(8)3.

數(shù)學(xué)模型的解根據(jù)在物理模型中的討論，我們可以舍棄初始條件而假定解具有三角函數(shù)的形式：式中T

o(y)是一個復(fù)函數(shù)。將其代入式(12.1-33)

，我們有(A)第44頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§12C.5太陽熱量的滲透深度

漸近解方法(9)

因為上式必須對任意值都成立，所以必然有相應(yīng)的邊界條件如下：第45頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§12C.5太陽熱量的滲透深度

漸近解方法(10)其通解為根據(jù)B.C.2,根據(jù)B.C.1,

于是得到

第46頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三

§12C.5太陽熱量的滲透深度

漸近解方法(11)代入到式(A)中，得到上述解表明溫度波動的振幅隨距地面距離呈指數(shù)規(guī)律減小，并存在一個正比于該距離的相位移：第47頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§12C.5太陽熱量的滲透深度

漸近解方法(12)在溫度分布式的基礎(chǔ)上可以計算其它過程參數(shù)。例如，本題所要求的溫度不超過36℃的地下深度。因為4.計算過程參數(shù)所以溫度不超過36℃即第48頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§12C.5太陽熱量的滲透深度

漸近解方法(13)將已知條件代入，得于是，小動物只需潛入地下30cm即可躲避酷熱，安全度過白天。第49頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§20.1-1擴散系數(shù)的非穩(wěn)態(tài)法測定(1)問題的描述:在一個測定氣相擴散系數(shù)的實驗中，一根細(xì)長管子的底部盛有揮發(fā)性液體A，液體的液位保持恒定，液面上用一隔板將液體封閉。隔板上部的空間中充滿不溶于液體A的氣體B。待系統(tǒng)穩(wěn)定后，突然將隔板移走，讓A的蒸汽穿過B向上擴散。實驗在低壓下進行且盡量保持系統(tǒng)的溫度和壓力穩(wěn)定。試導(dǎo)出需要測量的實驗參數(shù)和計算擴散系數(shù)DAB的公式。第50頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§20.1-1擴散系數(shù)的非穩(wěn)態(tài)法測定(2)1.

物理模型:組分A在氣-液界面上的分壓始終等于在該溫度下的飽和分壓；氣相可視為理想氣體混合物；氣相的溫度和壓力處處相同；在管子的橫截面上濃度和速度均勻；組分A尚未達到管子的另一端；擴散系數(shù)可視為常數(shù)；無化學(xué)反應(yīng)。第51頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§20.1-1擴散系數(shù)的非穩(wěn)態(tài)法測定(3)2.

數(shù)學(xué)模型:1）選擇右圖所示的直角坐標(biāo)系，因為該坐標(biāo)系(1)利用了濃度和速度在x

方向和y

方向的對稱性，使問題簡化為一維問題。(2)使邊界條件簡化為“z=0

處，……”。第52頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§20.1-1擴散系數(shù)的非穩(wěn)態(tài)法測定(4)2.

數(shù)學(xué)模型:2)物理簡化的數(shù)學(xué)描述：(1)根據(jù)物理模型(4)，(2)根據(jù)物理模型(2)和(3)，第53頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§20.1-1擴散系數(shù)的非穩(wěn)態(tài)法測定(5)2.

數(shù)學(xué)模型（續(xù)）:(3)根據(jù)物理模型(1)和(2)，(4)根據(jù)物理模型(5)，(5)根據(jù)物理模型(7)，第54頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§20.1-1擴散系數(shù)的非穩(wěn)態(tài)法測定(6)2.

數(shù)學(xué)模型（續(xù)）:3)化簡混合物連續(xù)性方程和組分連續(xù)性方程(1)用摩爾表達的混合物連續(xù)性方程見教材式(19.1-12)

，簡化為(20.1-1)第55頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§20.1-1擴散系數(shù)的非穩(wěn)態(tài)法測定(7)2.

數(shù)學(xué)模型（續(xù)）:積分式(20.1-1)

，得摩爾平均速度與摩爾通量的關(guān)系為(20.1-2)結(jié)合上兩式，有(20.1-3)第56頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§20.1-1擴散系數(shù)的非穩(wěn)態(tài)法測定(8)2.

數(shù)學(xué)模型（續(xù)）:由于B不溶于液態(tài)A，有NBz0=0，式(20.1-3)可寫為將費克定律[式(表17.8-2.D)]代入上式，得(20.1-4)第57頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§20.1-1擴散系數(shù)的非穩(wěn)態(tài)法測定(9)2.

數(shù)學(xué)模型（續(xù)）:(2)組分連續(xù)性方程見教材式(19.1-17)

，第58頁，共65頁，2023年，2月20日，星期三§20.1-1