高等數(shù)學(xué)曲面及其方程

1.空間直角坐標(biāo)系右手系2.兩點(diǎn)間的距離公式為復(fù)習(xí)(fùxí)M(x,y,z)3.兩向量(xiàngliàng)的數(shù)量積4.兩向量(xiàngliàng)的夾角第一頁(yè)，共60頁(yè)。15.兩向量(xiàngliàng)的向量(xiàngliàng)積6.兩向量互相平行垂直(chuízhí)的條件7.向量(xiàngliàng)的混合積第二頁(yè)，共60頁(yè)。2衛(wèi)星接收(jiēshōu)裝置(旋轉(zhuǎn)拋物面).化工廠或熱電廠的冷卻塔(旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)雙曲面)第三頁(yè)，共60頁(yè)。3第三節(jié)曲面(qūmiàn)及其方程一、曲面(qūmiàn)方程的概念二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面

三、柱面

四、二次曲面第四頁(yè)，共60頁(yè)。4一、曲面方程(fāngchéng)的概念平面(píngmiàn)解析幾何中如果某曲線c上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的解建立了如下的關(guān)系(guānxì)：

(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；

(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，

那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。第五頁(yè)，共60頁(yè)。5任何曲面(qūmiàn)都可以看作是點(diǎn)的幾何軌跡.曲面S與三元(sānyuán)方程那么(nàme)方程(1)就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程(1)的圖形.有下述關(guān)系：①

曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(1);②

不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程(1),空間解析幾何中第六頁(yè)，共60頁(yè)。6解(2)若球心在原點(diǎn)，則球面(qiúmiàn)的方程為半徑(bànjìng)為R的球面方程.就是以為球心,(3)例1求到點(diǎn)M0(x0,y0,z0)的距離等于R的點(diǎn)的軌跡(guǐjì)方程.設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z)即那么以下給出幾例常見(jiàn)的曲面.第七頁(yè)，共60頁(yè)。7解：例2求到A(1,2,3),B(2,-1,4)兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡(guǐjì)方程.設(shè)軌跡(guǐjì)上的動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z)即整理(zhěnglǐ)得即為所求點(diǎn)的軌跡方程.線段的垂直平分面.有第八頁(yè)，共60頁(yè)。8配方得

半徑為的球面.解原方程表示球心在點(diǎn)一般(yībān)地，三元二次方程例3

方程表示怎樣的曲面?(1)x2,y2,z2項(xiàng)系數(shù)(xìshù)相同;(2)缺xy,yz,zx

項(xiàng).其圖形可能(kěnéng)是一個(gè)球面，或點(diǎn)，或虛軌跡.特點(diǎn)：第九頁(yè)，共60頁(yè)。9以上幾例說(shuō)明(shuōmíng)研究空間曲面有兩個(gè)根本問(wèn)題：〔2〕坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面(qūmiàn)形狀．〔討論(tǎolùn)旋轉(zhuǎn)曲面〕〔討論柱面、二次曲面〕〔1〕曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程．第十頁(yè)，共60頁(yè)。10二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線(qūxiàn)繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線(qūxiàn)和定直線分別稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第十一頁(yè)，共60頁(yè)。11二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義：以一條(yītiáo)平面曲線繞其平面上的一條(yītiáo)直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第十二頁(yè)，共60頁(yè)。12二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周(yīzhōu)所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第十三頁(yè)，共60頁(yè)。13二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)軸。第十四頁(yè)，共60頁(yè)。14二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線(zhíxiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線(zhíxiàn)一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第十五頁(yè)，共60頁(yè)。15二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義：以一條平面(píngmiàn)曲線繞其平面(píngmiàn)上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第十六頁(yè)，共60頁(yè)。16二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義：以一條(yītiáo)平面曲線繞其平面上的一條(yītiáo)直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第十七頁(yè)，共60頁(yè)。17二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義(dìngyì)：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第十八頁(yè)，共60頁(yè)。18二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義：以一條(yītiáo)平面曲線繞其平面上的一條(yītiáo)直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第十九頁(yè)，共60頁(yè)。19二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周(yīzhōu)所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第二十頁(yè)，共60頁(yè)。20二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周(yīzhōu)所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第二十一頁(yè)，共60頁(yè)。21二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線(qūxiàn)繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線(qūxiàn)和定直線一次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第二十二頁(yè)，共60頁(yè)。22二、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為(chēnɡwéi)旋轉(zhuǎn)曲面。這條曲線和定直線一次稱為(chēnɡwéi)旋轉(zhuǎn)曲面的母線和旋轉(zhuǎn)軸。第二十三頁(yè)，共60頁(yè)。231、yOz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面(qūmiàn)的方程:點(diǎn)到軸的距離將代入（4）得就是(jiùshì)所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.(5)，點(diǎn)M1(0,y1,z1)在曲線(qūxiàn)C,那么第二十四頁(yè)，共60頁(yè)。24當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)時(shí)，方程如何？思考(sīkǎo)：第二十五頁(yè)，共60頁(yè)。252、注意：繞哪個(gè)軸旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)，哪個(gè)變量不變1.yoz平面上的母線(mǔxiàn)繞oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面2.yoz平面(píngmiàn)上的母線繞oy軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面3.xoy平面上的母線繞ox軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面第二十六頁(yè)，共60頁(yè)。26解這兩種曲面(qūmiàn)都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面(qūmiàn).一周,求所形成的旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面的方程.將zOx平面(píngmiàn)上的雙曲線例4繞x軸旋轉(zhuǎn)得繞

z

軸旋轉(zhuǎn)得分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面第二十七頁(yè)，共60頁(yè)。27旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)面---圓錐面第二十八頁(yè)，共60頁(yè)。28兩邊(liǎngbiān)平方例5建立頂點(diǎn)(dǐngdiǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐(yuánzhuī)面方程.解在yOz面上的直線L的方程為:L繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為的大小與圓錐面的張口大小有何關(guān)系？思考：第二十九頁(yè)，共60頁(yè)。29旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)拋物面第三十頁(yè)，共60頁(yè)。30特點(diǎn)(tèdiǎn)：曲面方程中若除一個(gè)變量外，另外兩個(gè)變量能寫(xiě)成平方和的形式，則該曲面是旋轉(zhuǎn)曲面例：

第三十一頁(yè)，共60頁(yè)。31例6試判斷(pànduàn)方程表示(biǎoshì)何種曲面?并作圖.yOz面上(miànshànɡ)的拋物線繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面.或zOx

面上的拋物線繞z

軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面.1解第三十二頁(yè)，共60頁(yè)。32播放(bōfànɡ)定義(dìngyì)三、柱面觀察柱面的形成(xíngchéng)過(guò)程:沿定曲線C移動(dòng)的動(dòng)直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C

叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。第三十三頁(yè)，共60頁(yè)。33定義(dìngyì)三、柱面沿定曲線(qūxiàn)C移動(dòng)的動(dòng)直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線(qūxiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過(guò)程:第三十四頁(yè)，共60頁(yè)。34定義(dìngyì)三、柱面沿定曲線C移動(dòng)的動(dòng)直線L所形成(xíngchéng)的曲面稱為柱面。這條定曲線(qūxiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過(guò)程:第三十五頁(yè)，共60頁(yè)。35定義(dìngyì)三、柱面沿定曲線C移動(dòng)(yídòng)的動(dòng)直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線(qūxiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過(guò)程:第三十六頁(yè)，共60頁(yè)。36定義(dìngyì)三、柱面沿定曲線C移動(dòng)的動(dòng)直線L所形成(xíngchéng)的曲面稱為柱面。這條定曲線(qūxiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過(guò)程:第三十七頁(yè)，共60頁(yè)。37定義(dìngyì)三、柱面沿定曲線C移動(dòng)的動(dòng)直線L所形成(xíngchéng)的曲面稱為柱面。這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線(zhíxiàn)L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過(guò)程:第三十八頁(yè)，共60頁(yè)。38定義(dìngyì)三、柱面沿定曲線C移動(dòng)的動(dòng)直線L所形成(xíngchéng)的曲面稱為柱面。這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線(zhǔnxiàn)，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過(guò)程:第三十九頁(yè)，共60頁(yè)。39定義(dìngyì)三、柱面沿定曲線C移動(dòng)的動(dòng)直線(zhíxiàn)L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線(zhíxiàn)L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過(guò)程:第四十頁(yè)，共60頁(yè)。40定義(dìngyì)三、柱面沿定曲線C移動(dòng)(yídòng)的動(dòng)直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線(qūxiàn)C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過(guò)程:第四十一頁(yè)，共60頁(yè)。41定義(dìngyì)三、柱面沿定曲線C移動(dòng)(yídòng)的動(dòng)直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線(zhíxiàn)L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過(guò)程:第四十二頁(yè)，共60頁(yè)。42定義(dìngyì)三、柱面沿定曲線C移動(dòng)的動(dòng)直線L所形成(xíngchéng)的曲面稱為柱面。這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線(zhǔnxiàn)，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過(guò)程:第四十三頁(yè)，共60頁(yè)。43定義(dìngyì)三、柱面沿定曲線(qūxiàn)C移動(dòng)的動(dòng)直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線(zhǔnxiàn)，動(dòng)直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過(guò)程:第四十四頁(yè)，共60頁(yè)。44柱面舉例(jǔlì)拋物柱面平面(píngmiàn)第四十五頁(yè)，共60頁(yè)。45母線平行(píngxíng)于z軸的柱面方程為：一般地，已知準(zhǔn)線方程注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程表示母線平行于z軸的柱面。一般地，在空間(kōngjiān)直角坐標(biāo)下〔缺z〕，表示母線(mǔxiàn)∥？，準(zhǔn)線為？的柱面?！踩眣〕，表示母線∥？，準(zhǔn)線為？的柱面?！踩眡〕，表示母線∥？，準(zhǔn)線為？的柱面。二元方程的幾何圖形為柱面第四十六頁(yè)，共60頁(yè)。46問(wèn)：〔1〕表示(biǎoshì)什么曲面？〔2〕表示(biǎoshì)什么曲面？回憶(huíyì)1.三元方程F(x,y,z)=0表示空間的一張曲面S。2.表示一張球面。3.表示空間的一張平面。4.yoz平面上的母線繞oz軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面第四十七頁(yè)，共60頁(yè)。47四、二次曲面三元(sānyuán)二次方程所表示的曲面稱為二次曲面。目的(mùdì)：利用截痕法討論二次曲面的形狀。即：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線〔即截痕〕的形狀，然后(ránhòu)加以綜合，從而了解曲面的全貌。5.xoy平面上的準(zhǔn)線方程母線平行于z軸的柱面方程為：其根本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面第四十八頁(yè)，共60頁(yè)。48〔一〕橢球面橢球面與三個(gè)坐標(biāo)(zuòbiāo)面的交線：橢球面與平面(píngmiàn)的交線為橢圓同理與平面(píngmiàn)x=x1和y=y1的交線也是橢圓第四十九頁(yè)，共60頁(yè)。49截痕法用z=h截曲面(qūmiàn)用y=m截曲面(qūmiàn)用x=n截曲面(qūmiàn)abcyx

zo

橢球面第五十頁(yè)，共60頁(yè)。50橢球面的幾種特殊(tèshū)情況：旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)橢球面由橢圓(tuǒyuán)或繞z軸旋轉(zhuǎn)而成。球面方程可寫(xiě)為第五十一頁(yè)，共60頁(yè)。51xzy0截痕法用z=a截曲面(qūmiàn)用y=b截曲面(qūmiàn)用x=c截曲面(qūmiàn)1.