高中立體幾何基礎(chǔ)題庫(kù)600道（附詳細(xì)答案）

高中立體幾何精品基礎(chǔ)題庫(kù)600道

立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)一(有詳細(xì)答案)

1、二面角是直二面角，Aea,Bw。,設(shè)直線48與a、尸所成的角分別為N1和/2,則

(A)Zl+Z2=90°(B)Zl+Z2>90°(C)Zl+Z2^90°(D)Zl+Z2<90°

解析：C

如圖所示作輔助線，分別作兩條坷二面角的交線垂直的線，則/I和/2

分別為直線AB與平面夕所成的角。根據(jù)最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)

經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角.../ABO>Z2QZABO+Z1=90°Z2+Z1<90°

2.下列各圖是正方體或正四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)中不共面的一個(gè)

圖是,一

C項(xiàng)：是個(gè)平行四邊形

D項(xiàng)：是異面直線。

3.有三個(gè)平面a,B,Y,下列命題中正確的是

(A)若a,B,Y兩兩相交，則有三條交線(B)若則￡〃？

(C)若a，丫，a=a,￡Ay=b,貝lja_L，(D)若?！ā?月nr=0,則aAr

=0

解析：A項(xiàng)：如正方體的?個(gè)角，三個(gè)平面相交，只有一條交線。

B項(xiàng)：如正方體的一個(gè)角,三個(gè)平面互相垂直，卻兩兩相交。

C項(xiàng)：如圖

4.如圖所示，在正方體488-48CQ1的側(cè)面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P到直線與直線81G的距離

相等，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形狀為

C

解析：8|GJ_平面ZS.?.與GJ.P8,.如圖:P點(diǎn)到定點(diǎn)B的距離與到定直線AB的

距離相等，建立坐標(biāo)系畫圖時(shí)可以以點(diǎn)B|B的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。

5.在正方體Z8CD—481GA中與成60°角的面對(duì)角線的條數(shù)是

(A)4條(B)6條(C)8條(D)10條

C

解析：如圖這樣的直線有4條，另外，這樣的直線也有4條,

共8條。

6.設(shè)4,B,C,。是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足益?就=0,ACAD=0,ABAD=0,則△88是

(A)鈍角三角形(B)宜角三角形(C)銳角三角形(D)不確定

C

解析:假設(shè)AB為a,AD為b,AC為c,且。>力>C則,BD=>1a2+b2,CD=>Jc2+b2,BC=d/+c2

是銳角三角形。

7.設(shè)a、b是兩條不同的直線，a、B是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題()

①若a_LJ.a,則b〃a②若則a_L(3

③a1/3,a1/3,則a//a④若a_Lb,a_La,bJ-民則a_L￡

其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

B解析：注意①中b可能在a上；③中q可能在a上；④中b〃a,或均有a_L￡,

故只有?個(gè)正確命題

8.如圖所示，已知正四棱錐S—ABCD側(cè)棱長(zhǎng)為正，底

面邊長(zhǎng)為石，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC

所成角的大小為

A.90°B.60°

C.45°D.30°

B解析：平移SC到S5,運(yùn)用余弦定理可算得BE=S'E=S'B=V2.

9.對(duì)于平面M與平面N,有下列條件:①M(fèi)、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③M

內(nèi)不共線的三點(diǎn)到N的距離相等;④/,M內(nèi)的兩條直線,且/〃M,m//N;⑤/,m是異面直線,且/〃

M,m//M;///N,m//N,則可判定平面M與平面N平行的條件的個(gè)數(shù)是

()

A.1B.2C.3D.4c

只有②、⑤能判定M//N,選B

AB

10.已知正三棱柱ABC—A|B|Ci中，A|BJ_CBi，則AR與AC|

所成的角為C1

(A)45°(B)60OA乙---------------B,

(C)90°(D)120°

C解析：作CDLAB于D,作C|D」A|Bi于Di，連BQ、ADlt易知ADBQ1是平行四邊形，由三垂

線定理得A|BJ_AC”選C。

11.正四面體棱長(zhǎng)為1,其外接球的表面積為

A.JJnB.—nC.—萬(wàn)D.3〃

22

解析：正四面體的中心到底面的距離為高的1/4。（可連成四個(gè)小棱錐得證

12.設(shè)有如下三個(gè)命題：甲：相交直線/、m都在平面a內(nèi)，并且都不在平面B內(nèi)；乙：直線/、m中

至少有一條與平面B相交；丙：平面a與平面B相交.

當(dāng)甲成立時(shí)，

A.乙是丙的充分而不必要條件B.乙是丙的必要而不充分條件

C.乙是丙的充分且必要條件D.乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件

解析：當(dāng)甲成立，即“相交直線/、m都在平面a內(nèi)，并且都不在平面B內(nèi)”時(shí)，若“/、m中至少有

一條與平面8相交”，則“平面a與平面B相交.”成立；若“平面a與平面B相交”，則“/、m中至

少有一條與平面B相交”也成立.選（C）.

13.已知直線機(jī)、〃及平面a,其中用〃〃，那么在平面a內(nèi)到兩條直線加、〃距離相等的點(diǎn)的集合可

能是：（I）一條直線；（2）一個(gè)平面；（3）一個(gè)點(diǎn)；（4）空集.其中正確的是

解析：（1）成立，如〃都在平面內(nèi)，則其對(duì)稱軸符合條件；（2）成立，加、〃在平面。的同一側(cè)，

且它們到a的距離相等，則平面a為所求，（4）成立，當(dāng),〃、〃所在的平面與平面a垂直時(shí)，平面a內(nèi)

不存在到機(jī)、〃距離相等的點(diǎn)

14.空間三條直線互相平行，由每?jī)蓷l平行線確定?個(gè)平面,則可確定平面的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.1或2C.1或3D.2或3

解析：C如三棱柱的三個(gè)側(cè)面。

15.若4、為異面直線，直線。〃4,則C與的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面C.平行D.異面或相交

解析：D如正方體的棱長(zhǎng)。

解析：DBQ在平面AC上的射影BD與AC垂直，根據(jù)三垂線定理可得。

17.如圖，點(diǎn)P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是

異面直線的一個(gè)圖是（）

解析：CA,B選項(xiàng)中的圖形是平行四邊形，而D選項(xiàng)中可見圖:

18.如圖，是一個(gè)無蓋正方體盒子的表面展開圖，A、B、C為其上的三個(gè)點(diǎn)，則在正方體盒子中,

ZABC等于()

A.45°B.60°

C.90°D.120°

A___________

解析：B如圖n

★右圖是一個(gè)正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題:

①AB與CD所在直線垂直:②CD與EF所在直線平行

③AB與MN所在直線成60°角;④MN與EF所在直線異面

其中正確命題的序號(hào)是()

A.①③B.①④C.②③D.③④

解析：D

DB

◎

19.線段的,OB,優(yōu)1不共面，ZJ60=ZBOOZCfl4=600,OAF\,60=2,貽3,則是

()

A.等邊三角形B『等邊的等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

解析：B.設(shè)AC=x,AB=y,BC=z,由余弦定理知：/=1'+3?-3=7,y=r+2?-2=3,z2=22+3L，-6=7?

△/笈是不等邊的等腰三角形，選（8）.

7T

20.若a,b,/是兩兩異面的直線，a與。所成的角是一，I與a、1與6所成的角都是a,

3

則a的取值范圍是()

n5萬(wàn)、一＜冗兀、

A.r[―,—]D.［一,一］

66B?5f]C號(hào)與62

解析：D

TT

解當(dāng)/與異面直線a,。所成角的平分線平行或重合時(shí)，a取得最小值當(dāng)/與a、b的公垂線平行

6

7T

時(shí)，a取得最大值一，故選（〃）.

2

21.小明想利用樹影測(cè)樹高，他在某一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)為1m的

竹竿影長(zhǎng)0.9m,但當(dāng)他馬上測(cè)樹高時(shí)，因樹靠近一幢建

筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墻如圖所

示.他測(cè)得留在地面部分的影子長(zhǎng)2.7m,留在墻壁部分的

影高1.2m,求樹高的高度（太陽(yáng)光線可看作為平行光線）

4.2米

CD121

解析：樹高為AB,影長(zhǎng)為BE,CD為樹留在墻上的影高，；.——=——=——,CE=L08米，樹影長(zhǎng)

CECE0.9

BE=2.7+1.08=3.78米,樹高

AB=-----BE=4.2米。

0.9

22.如圖，正四面體

A-BCD（空間四邊形的四條邊

長(zhǎng)及兩

對(duì)角線

的長(zhǎng)都

相等）

中，

刀尸分

別是棱

AD,BC

的中點(diǎn),

則

EF和ZC所成的角的大小是.

解析：設(shè)各棱長(zhǎng)為2,則EF=JL取AB的中點(diǎn)為M,cosZA^￡=—=

24

23.OX,OY,OZ是空間交于同一點(diǎn)。的互相垂直的三條直

線，點(diǎn)尸到這三條直線的距離分別為3,4,7,則OP長(zhǎng)

為.

解析：在長(zhǎng)方體0X4-Z8PC中，OX、OY.OZ是相交的三條互相垂直的三條直線。又尸Z_LOZ,

PY1OY,PXA.OX,有0^+0^=49,0^=0^=9,OY2+OZ2=\6,

得以+w+a=37,0六國(guó).

24.設(shè)直線a上有6個(gè)點(diǎn)，直線6上有9個(gè)點(diǎn)，則這15個(gè)點(diǎn)，能確定個(gè)不同的平面.

解析：當(dāng)直線。，6共面時(shí)，可確定一個(gè)平面；當(dāng)直線a,b異面時(shí)，直線。與b上9個(gè)點(diǎn)可確

定9個(gè)不同平面，直線6與。上6個(gè)點(diǎn)可確定6個(gè)不同平面，所以一點(diǎn)可以確定15個(gè)不同的平面.

25.在空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn).求證：EF和AD為異面直線.

解析：假設(shè)EF和AD在同一平面a內(nèi)，…（2分），則A,B,E,Fea；.......（4分）又A,EeAB,

.?.ABua,.,.Bea,.......（6分）同理Cea.......（8分）故A,B,C,Dea,這與ABCD是空間

四邊形矛盾。；.EF和AD為異面直線.

26.在空間四邊形ABCD中，E,H分別是AB,AD的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別是CB,CD的中點(diǎn)，若AC+BD

=a，AC-BD=b,求EG?+FH’.

解析：四邊形EFGH是平行四邊形,（4分）

EG2+FH2=2(EF2+FG2)=^(AC2+BD2)(/-2b)

27.如圖，在三角形/ABC中，ZACB=90°,

AC=b,BC=a,P是/ABC所在平面外一點(diǎn)，PB1AB,M是PA的中

點(diǎn)，AB1MC,求異面直MC與PB間的距離.

解析:作MN〃AB交PB于點(diǎn)N.（2分）：PB，AB,；.PBJ_MN。（4分）又

AB_LMC,；.MN_LMC.（8分）MN即為異面直線MC與PB的公垂線段，

（10分）其長(zhǎng)度就是MC與PB之間的距離，則得

MN=—AB=—yja1+b~.

22

28.已知長(zhǎng)方體ABCD—AiBiGDi中,AiA=AB,E、F分別是BD】和AD中點(diǎn).

（1）求異面直線CD|、EF所成的角；

（2）證明EF是異面直線AD和BD）的公垂線.

（1）解析：???在平行四邊形氏42G中，E也是的中點(diǎn)，...EE〃G。，（2分）

兩相交直線DQ與CD,所成的角即異面直線CD,與EF所成的角.（,分）又_______

A1A=AB,長(zhǎng)方體的側(cè)面288/,C0QG都是正方形T---------------------A

，.?.DCCDi.

F

.異面直線CD、EF所成的角為90。.（7分）B

p

(2)證：設(shè)AB=AAi=a,VD|F=+?'=gp，EF_LBD].(9分)

由平行四邊形知E也是Ng的中點(diǎn)，且點(diǎn)E是長(zhǎng)方體ABCD—A|B|CQ|的對(duì)稱中心，（12

分）；.EA=ED,AEF1AD,又EFJ_BD1,，EF是異面直線BD1

AD的公垂線.（14分）

29./ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，在/ABC所在平面外有

一點(diǎn)P,PB=PC=—,PA=-,延長(zhǎng)BP至D,使

22

BD=J7,E是BC的中點(diǎn)，求AE和CD所成角的大小和這兩

條直線間的距離.

解析:分別連接PE和CD,可證PE//CD,（2分測(cè)/PEA即是

AE和CD所成角.（4分）在Rt/PBE中，

PB=—,BE=1,?在/AEP中，AE=JL

22

,39

3d--------?

cosZ.AEP-------------二—.

2.瓜22

2

/.ZAEP=60°,即AE和CD所成角是60°.（7分）

VAE±BC,PE±BC,PE〃DC,...CDLBC,；.CE為異面直線AE和CD的公垂線段，（12分）它們之間的

距離為1.（14分）

30.在正方體ABCD—AIBICJDJ中，E,F,G,H,M,N分別是正方體的棱AB,BC,

CC|,A4的中點(diǎn)，試證：E,F,G,H,M,N六點(diǎn)共面.

解析：：EN〃MF,；.EN與MF共面a,（2分）又：EF〃MH,，EF和MH共面，.（4分）：不共線

的三點(diǎn)E,F,M確定一個(gè)平面，（6分）...平面a與力重合，.?.點(diǎn)Hea。（8分）同理點(diǎn)Gea.（10

分）故E,F,G,H,M,N六點(diǎn)共面.

31.三個(gè)互不重合的平面把空間分成六個(gè)部份時(shí)，它們的交線有()

A.1條B.2條C.3條D.1條或2條

D

解析：分類：1)當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí),有兩條交線;2)當(dāng)三個(gè)平面交于一

條

直線時(shí)，有一條交線，故選D

32.兩兩相交的四條直線確定平面的個(gè)數(shù)最多的是)

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

解析：c如四棱錐的四個(gè)側(cè)面，C；=6個(gè)。

33..在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)如果EF與HG交

于點(diǎn)M,則()

A.M一定在直線AC上

B.M一定在直線BD上

C.M可能在AC上，也可能在BD上

D.M不在AC上，也不在BD上

解析：：平面ABCA平面ACD=AC,先證MG平面ABC,MW平面ACD,從而M6AC

A

34..用一個(gè)平面去截正方體。其截面是一個(gè)多邊形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)最多是

解析：6條

35.已知：aua,bua,acb=A,Pwb,PQHa.

求證：PQua..(12分)

本題主要考查用平面公理和推論證明共面問題的方法.

解析：PQ〃冬二PQ與q確定一個(gè)平面伉：.直線au0,點(diǎn)Ped

Qp&b,bua,:,pea

又。aua，a與笈重合:.PQua

36.已知AABC三邊所在直線分別與平面a交于P、Q、R三點(diǎn)，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線。（12分）

本題主要考查用平面公理和推論證明共線問題的方法

解析：:A、B、C是不在同一直線上的三點(diǎn)

...過A、B、C有一個(gè)平面￡

又。ABr>a=P,^.ABu/?

二點(diǎn)P既在月內(nèi)又在a內(nèi)，設(shè)acfi=/,則pe/.同理可證：°'人及《'

，尸,。,尺三點(diǎn)共線.

37.已知：平面ac平面2=a/uCQ=4。u毋Lc〃生

求證：b>c是異面直線

解析：反證法：若b與c不是異面直線，則b〃c或b與c相交

⑴若b//c.&a//c,a//b這與acb=4矛盾，

（2）若瓦《相交于民則8e°,又acb=A,:.Aw尸

ABu/3,即6u/?這與be夕=力矛盾

b,c是異面直線.

38.在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，EF=百，求AD與BC所成

角的大小

（本題考查中位線法求異面二直線所成角）

解析：取BD中點(diǎn)M,連結(jié)EM、MF,則

EM//AD,HEM=-AD=\,MFHBC且MF=-BC=1,

22

在AWEF中,。EF=石,由余弦定理得cosZEMF=+MF-EF=1+1-3=_j_

2-EM-MF22

ZEA/F=120°

.?.異面直線4。,8c所成角的大小為60°

39.如圖，在正方體ABCD—AiBiGDi中，M、N分別為棱AA|和BB1的中點(diǎn)，求異面直線CM

與DiN所成角的正弦值.（14分）

（本題考查平移法，補(bǔ)形法等求異面二直線所成角）

解析：取DDi中點(diǎn)G,連結(jié)BG,MG,MB,GC得矩形MBCG,記MCClBG=O

則BG和MC所成的角為異面直線CM與D|N所成的角.

=.2+402=弓302（設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為㈤

BC=a

cosZSOC=-sinZBOC=-

99

而CM與D|N所成角的正弦值為生叵

9

40.如圖，P是正角形ABC所在平面外一點(diǎn),M、N分別是AB和PC=AB=a。

（1）求證：MN是AB和PC的公垂線

（2）求異面二直線AB和PC之間的距離

解析：（1）連結(jié)AN,BN,?.,△APC與△BPC是全等的正三角形，又N是PC的中點(diǎn)

，AN=BN

又；M是AB的中點(diǎn)，,MN1.AB

同理可證MN±PC

XVMNAAB=M,MNAPC=N

AMN是AB和PC的公垂線。

2）2

（2）在等腰在角形ANB中，QAN=BN=—a,AB=a,MN=IAN-（-AB=—a

2V22

即異面二直線AB和PC之間的距離為旦a.

2

41空間有四個(gè)點(diǎn)，如果其中任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上,那么經(jīng)過其中三個(gè)點(diǎn)的平面[]

A.可能有3個(gè)，也可能有2個(gè)B.可能有4個(gè)，也可能有3個(gè)

C.可能有3個(gè)，也可能有1個(gè)D.可能有4個(gè)，也可能有1個(gè)

解析：分類，第一類，四點(diǎn)共面，則有一個(gè)平面，第二類，四點(diǎn)不共面，因?yàn)闆]有任何三點(diǎn)共線，則

任何三點(diǎn)都確定一個(gè)平面，共有4個(gè)。.

42.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是[]

①三角形是平面圖形②四邊形是平面圖形

③四邊相等的四邊形是平面圖形④矩形一定是平面圖形

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：命題①是正確的，因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)不共線，所以這三點(diǎn)確定平面。

命題②是錯(cuò)誤，因平面四邊形中的一個(gè)頂點(diǎn)在平面的上、下方向稍作運(yùn)動(dòng)，就形成了空間四邊形。命

題③也是錯(cuò)誤，它是上?個(gè)命題中比較特殊的四邊形。

命題④是正確的，因?yàn)榫匦伪仨毷瞧叫兴倪呅?，有一組對(duì)邊平行，則確定了一個(gè)平面。

43.如果一條直線上有一個(gè)點(diǎn)不在平面上，則這條直線與這個(gè)平面的公共點(diǎn)最多有—1個(gè)。

解析：如果有兩個(gè)，則直線就在平面內(nèi)，那么直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，這就與己知有一個(gè)點(diǎn)

不在平面上矛盾，所以這條直線與這個(gè)平面的公共點(diǎn)最多有一個(gè)。

44.空間一條直線及不在這條直線上的兩個(gè)點(diǎn)，如果連結(jié)這兩點(diǎn)的直線與已知直線,則它們?cè)?/p>

同一平面內(nèi)。答案：相交或平行

解析：根據(jù)推論2,推論3確定平面的條件。

45.三角形、四邊形、正六邊形、圓，其中一定是平面圖形的有3個(gè)。

解析：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不在一條直線上，故可確定一個(gè)平面，三角形在這個(gè)平面內(nèi)；圓上任取三點(diǎn)

一定不在一條直線上，這三點(diǎn)即確定一個(gè)平面，也確定了這個(gè)圓所在的平面，所以圓是平面圖形；而

正六邊形內(nèi)接于圓，故正六邊形也是平面圖形；而四邊形就不一定是平面圖形了，它的四個(gè)頂點(diǎn)可以

不在同一平面內(nèi)。

46.三條平行直線可以確定平面?zhèn)€。答案：1個(gè)或3個(gè)

解析：分類、一類三線共面，即確定一個(gè)平面，另一類三線不共面，每?jī)蓷l確定一個(gè)，可確定3個(gè)。

47.畫出滿足下列條件的圖形。

(1)aDP=l,a<=a,b<=P,aPb=A

(2)aDp-a,bUB,b〃a

解析：如圖1-8-甲，1-8-乙

圖1-8

48.經(jīng)過平面a外兩點(diǎn)A,B和平面a垂直的平面有幾個(gè)？

解析：-個(gè)或無數(shù)多個(gè)。

當(dāng)A,B不垂直于平面a時(shí)，只有一個(gè)。

當(dāng)A,B垂直于平面a時(shí)，有無數(shù)多個(gè)。

49.設(shè)空間四邊形ABCD,E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點(diǎn)，若AB=12A/5,CD=4J5,

且四邊形EFGH的面積為12石，求AB和CD所成的角.

解析：由三角形中位線的性質(zhì)知，HG/71B,HEaI),...zEHG就是異面直線AB和CD所成的角.

EFGH是平行四邊形，HG=-AB=6后，

2

HE=-,CD=2A/J，

2

S?=HG-HE-sin1276sinzEHG,.*.12J^sin/HG/\=

12V3.

J.AB和CD所成的角為45。

注：本例兩異面直線所成角在圖中已給，只需指出即可。

50.點(diǎn)A是BCD所在平面外一點(diǎn)，AD=BC,E、F分別是AB、

V2

中點(diǎn)，且EF=*—AD,求異面直線AD和BC所成的角。(如

2

解析：設(shè)G是AC中點(diǎn)，連接DG、FGo因D、F分別是AB、

F

C

點(diǎn)，故EGZBC且EG=LBC,FGZW,且FG=，AD,由異面直線所成角定義可知EG與FG所成銳角或直角

22

為異面直線AD、BC所成角，即zEGF為所求。由BC=AD知EG=GF=-AD,又EF=AD,由余弦定理可得

2

cosWGF=0,即』GF=90°。

注：本題的平移點(diǎn)是AC中點(diǎn)G,按定義過G分別作出了兩條異面直線的平行線，然后在4EFG

中求角。通常在出現(xiàn)線段中點(diǎn)時(shí)，常取另一線段中點(diǎn)，以構(gòu)成中位線，既可用平行關(guān)系，又可用線段

的倍半關(guān)系。

51.已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)。

求：AM與CN所成的角的余弦值；

解析：⑴連接DM,過N作NE〃AM交DM于E,貝UNCNE

為AM與CN所成的角。

VN為AD的中點(diǎn),NE〃AM省.\NE=-AM且E為MD的中點(diǎn)。

2

1V3V31

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,貝ljNC=-—且ME=-MD=

2242

317

在RtAMEC中，CE2=ME2+CM2=—+—=—

16416

22,他）2+（3尸工

―二厘工^=（4）E16=_2

2-CN-NEV3733

/.---,--

44

JT

又；NCNEG（0,—）

2

2

，異面直線AM與CN所成角的余弦值為一.

3

注：1、本題的平移點(diǎn)是N,按定義作出了異面直線中一條的平行線，然后先在4CEN外計(jì)算CE、CN、

ENK,再回到4CEN中求角。

2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補(bǔ)角，在直觀圖中無法判定，只有通過解三角

形后，根據(jù)這個(gè)角的余弦的正、負(fù)值來判定這個(gè)角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角（異面

直線所成的角的鄰補(bǔ)角）。最后作答時(shí)，這個(gè)角的余弦值必須為正。

52..如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，已知AB=4,CD=20,EF=7,

ApRF1

-=—=-?求異面直線AB與CD所成的角。

FDEC3

解析：在BD上取一點(diǎn)G,使得也=!，連結(jié)EG、FG

GD3

.,BEBG,?

在△BCD中，——=——，故EG//CD,并且

ECGD

EGBE

DF_3

所以，EG=5；類似地,可證FG//AB,且——

AB~AD~4

故FG=3,在AEFG中，利用余弦定理可得

cosZ

FGE二些上Q二生二匕」

-,故/FGE=120°。

2EGGF2-3-52

另一方面，由前所得EG//CD,FG//AB,所以EG與FG所成的銳角等于AB與CD所成的角，于

是AB與CD所成的角等于60°。

53.在長(zhǎng)方體ABCD—ABCD中,AAkc,AB=a,AD=b,且a>b.求AG與BD所成的角的余弦.

解一：連AC,設(shè)ACCBD=0,則0為AC中點(diǎn)，取GC的中點(diǎn)F,連OF,則OF〃AC1且0F=^AC1,

2

所以/FOB即為AC1與DB所成的角。在aFOB中，OB」Ja：+b2,OF=-yJa2+b2+c2,

22

BE=y2,由余弦定理得

D15

A

1B1

Dc

o

AB

-(a2+Z)2)+-(a2+h2+c2)-(b2+^c2)2,2

,444a-b

cosZOB=------------——---------='0

2--yla2+b2^a2+b2+c2)(〃+/)(/+/+/

4

解二：取AG中點(diǎn)0”BiB中點(diǎn)G.在△COG中，/COG即AC1與DB所成的角。

解三：.延長(zhǎng)CD到E,使ED=DC.則ABDE為平行四邊形.AE〃BD,所以/EAG即為AG與BD所成的角.連

ECi,在△AEC1

中，AE=A/O2+b2,AC1=7?2+b2+c2,C1E=J442+02由余弦定理,得

/，萬(wàn)(?2+Z>2)+(a2+b2+C2)-(4(72+C2)b2-a2

cosNEAC]=-----------=—/=-----=-1=<0

2-yja2+b2-7?2+b2+c2y](a2+b2)(a2+b2+c1)

所以NEAG為鈍角.

a2-b2

根據(jù)異面直線所成角的定義，A。與BD所成的角的余弦為

7(?2+62)(?2+b2+c2)

54.己知AO是平面a的斜線，A是斜足，OB垂直a,B為垂足，則

直線AB是斜線在平面a內(nèi)的射影，設(shè)AC是a內(nèi)的任一條直線，

O

解析：設(shè)AO與AB所成角為a，AB與AC所成角為仇，AO與AC所成

角為0,貝!!有cos。=cos。1-cos。2。/

4JB/

在三棱錐s—ABC中，ZSAB=ZSAC=/

ZACB=90°,AC=2,BC=43,SB=429,求異面直線SC與AB所成角的大小。（略去了該題的

1,2問）

由SAL平面ABC知，AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影,

設(shè)異面直線SC與AB所成角為0,

貝ijcos0=cosZSCA-cos/BAC,

由AC=2,BC=6,SB=e^得

AB=后,SA=25SC=2

cosZSCA--，cosABAC=-^=,

2V17

/.cosO=H,即異面直線SC與AB所成角為arccos'亙

1717

55.已知平行六面體的底面ABCD是菱形，且

NCgB=NC】CD=NBCD=60°,證明QOLBD。

（略去?了該題的2,3問）

解析：設(shè)C,在平面ABCD內(nèi)射影為H,貝IJCH為G。在平面ABCD內(nèi)的

射影，

，cosZCtCD=cosZC}CH-cosZDCH,

/.cosZC,CB=cosNC[CH-cosZBCH,

由題意ZC1CD=ZC1C5,AcosZDCH=cosZBCH.

又,:NDCH/BCH70,TI)

，ZDCH=ZBCH,從而CH為ZDCB的平分線,

又四邊形ABCD是菱形，CHVBD

，G。與BD所成角為90°,即C.C1BD

56..在正四面體ABCD中，E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),

求異面直線AE與CF所成角的大小。

解析：連接BF、EF,易證AD,平面BFC,

，EF為AE在平面BFC內(nèi)的射影,

設(shè)AE與CF所成角為0,

cos9=cosNAEF-cosZ.CFE,

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,則ZE=CE=8E="a

2

顯然EF_LBC,AEF=—a

2

：.c°s4EF=^=見，cos/AFE=^=旦

AE3CF3

22

/.cos0=—,即AE???與CF所成角為arccos—。

33

57.三棱柱—與，平面08與Q，平面OAB,

NOQB=6Q°,ZAOB=90。，且08=O。=2,OA=后,求異面直線與NO1所成角的大小,

（略去了該題的1問）

解析：在平面BO,內(nèi)作BClOOtC,連4。,

由平面8OOi8」平面AOB,ZAOB=90°知,

A0,平面BOOI81,Z.AOLBC,

又NOcOQ=O,BCL平面40a4,

4c為48在平面ZOQ4內(nèi)的射影。

設(shè)48與所成角為。，4c與ZO1所成角為。2,

貝ijcos0=cosNBA。cos02,

由題意易求得BC=?A\C=2,A[B=ypi,

Ar2

...cosN54C=^=,，

A{BV7

在矩形ZOQ4中易求得A,C與AO,所成角0,的余弦值:…立,

214

/.cos0=cosZB^,C-cos0=—

1297

即48與NO1所成角為arccosyo

58.已知異面直線。與6所成的角為50°,P為空間?定點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與a,6所成的角均是30°的

直線有且只有（）

A、1條B、2條C、3條D、4條

解析：過空間一點(diǎn)P作?！╝,b'//b,則由異面直線所成角的定義知：。與b'的交角為50°,過P

與a,6成等角的直線與“，6亦成等角，設(shè)a,6確定平面a,a,6交角的平分線為/,則過/且

與a垂直的平面（設(shè)為p）內(nèi)的任一直線/'與a,Z/成等角（證明從略），由上述結(jié)論知：，與a',b'

所成角大于或等于/與a,d所成角25°,這樣在p內(nèi)/的兩側(cè)與a,6'成30°角的直線各有一條，共

兩條。在a',Z/相交的另一個(gè)角130°內(nèi)，同樣可以作過130°角平分線且與a垂直的平面丫，由上述結(jié)

論知，丫內(nèi)任一直線與a,6所成角大于或等于65°,所以y內(nèi)沒有符合要求的直線，因此過P與"，

6成30°的直線有且只有2條，故選（B）

59.垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.以上都有可能

解析：D

60.1卜卜是兩條異面直線，直線rm、m2與h、b都相交，則皿、nu的位置關(guān)系是（）

A.異面或平行B.相交

C.異面D.相交或異面

解析：D

三