數(shù)理方法課件 01第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

第一篇復(fù)變函數(shù)論復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)柯西定理柯西積分解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示留數(shù)及其應(yīng)用19世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受CauchyWeierstrassRiemann復(fù)變函數(shù)在物理中的典型應(yīng)用1.偏微分方程的邊值問題：保形變換2.偏微分方程的初值問題：積分變換PRB78,075417(2008)保形變換應(yīng)用于石墨烯量子點(diǎn)3.計(jì)算積分、求和Wiki:MatsubaraFrequency要求第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算區(qū)域與簡單曲線復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性FunctionsofaComplexVariable復(fù)數(shù)的運(yùn)算和表示方法了解區(qū)域的特性作業(yè)：習(xí)題一2(1),3,6,

11偶,14

1.復(fù)數(shù)

(complexnumber)實(shí)部(realpart)：虛部(imaginarypart)：虛數(shù)單位

i滿足：復(fù)數(shù)相等

復(fù)共軛

(conjugate)：復(fù)數(shù)不能比較大小1

復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算加法：乘法：減法：除法：涉及復(fù)共軛的運(yùn)算：

加法與乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律2.

復(fù)數(shù)的表示方法z=x+iy(1)

直角坐標(biāo)為(x,y)的點(diǎn)(2)

矢量oz(平面幾何)(3)

極坐標(biāo)o

實(shí)軸虛軸x

y

模(modulus)：幅角(argument)：兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等模相等&幅角相差2kπ(4)

三角形式與指數(shù)形式：復(fù)數(shù)的三角形式定義指數(shù)函數(shù)在虛軸上的值為單位復(fù)數(shù)：(歐拉公式)復(fù)數(shù)的指數(shù)形式：z=x+iyo

x

y

z=x-

iyz=x+iyo

實(shí)軸虛軸x

y

幅角的計(jì)算幅角是多值函數(shù)，在z=0

處無定義規(guī)定主值幅角角形：射線：x

y

o

對(duì)的復(fù)數(shù)組成角形圓：有幅角位于區(qū)間(方程的解集)用幅角與模表示幾何圖形解：例1：將復(fù)數(shù)化為指數(shù)形式，

其中模求幅角要看象限：z

在第一或第四象限o

x

11+i-1i-iy

-1-i畫圖定幅角3.指數(shù)表示下的乘法運(yùn)算模相乘，幅角相加DiMoivre

公式：

推廣到

n個(gè)復(fù)數(shù)：若，則冪函數(shù)：除法運(yùn)算：(1)加減法：矢量加減法o

x

y

z3=z1z2z2x

y

o

z1z2a=z1+z2b=z1-z2z1(2)乘法：：兩點(diǎn)間的距離旋轉(zhuǎn)伸縮先將復(fù)數(shù)z1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角

度

arg

z2，再伸縮|z2|倍復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義球面緯線平面圓周：球極投影中與北極對(duì)應(yīng)的假想點(diǎn)(3)復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(§3)球極投影：對(duì)a0

：(北極)作為數(shù)，唯一有意義的是模：h4.復(fù)數(shù)的

n

次方根(n>1)問題：對(duì)復(fù)數(shù)z0，求所有滿足wn=z的復(fù)數(shù)w

解：設(shè)在復(fù)平面上組成正

n邊形恰好有n

個(gè)不同的n

次方根：定義n

次根式函數(shù)xyo例2：求z=1+i

的四次方根解：1.(平面)曲線---實(shí)變復(fù)值函數(shù)定義：單參數(shù)化的點(diǎn)集

{z(t)，α≤t≤β}稱為

平面上的曲線，若函數(shù)Rez(t)

和Imz(t)連續(xù)

簡單曲線(Jordan曲線)：若從曲線C

的起點(diǎn)

出發(fā)走遍該曲線，在到達(dá)終點(diǎn)之前遇到的點(diǎn)

互不相同，則稱C

為簡單曲線閉曲線：起點(diǎn)

z(α)=終點(diǎn)

z(β)2

復(fù)數(shù)函數(shù)的基本概念z(a)z(b)光滑曲線

z=z(t)在點(diǎn)處的切線：與實(shí)軸夾角為，段的線元長度為z(t0)z'(t0)z(t0+Dt)若除起點(diǎn)和終點(diǎn)外處處連續(xù)且不為零，則稱曲線z=z(t)是光滑曲線

逐段光滑曲線：由有限條光滑曲線銜接而成逐段光滑的

簡單閉曲線+光滑的簡單

閉曲線光滑閉曲線，

不是簡單曲線D點(diǎn)z0

的δ鄰域

：圓盤

a

區(qū)域：稱點(diǎn)集

D為區(qū)域，若它為連通的開集：2.區(qū)域?qū)儆?/p>

D

的每個(gè)點(diǎn)都有鄰域

D。屬于

D的任意兩點(diǎn)可用

D的折線連接；點(diǎn)集D

的邊界：D={a|點(diǎn)a

的任一鄰域既有

點(diǎn)D，也有點(diǎn)D}邊界點(diǎn)閉區(qū)域：帶形圓環(huán)D1角形是區(qū)域嗎？D2區(qū)域的邊界：兩個(gè)同心圓區(qū)域的邊界：角的兩邊oxy.r1.

點(diǎn)集不是區(qū)域，也不是閉區(qū)域是區(qū)域單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域定義：對(duì)區(qū)域D，若D

的任何簡單閉曲線都

可以不經(jīng)過D

的邊界而連續(xù)收縮為D

內(nèi)的某點(diǎn)，

則稱

D

單連通；否則稱之為復(fù)連通。常見的單連通區(qū)域：圓盤，帶形，角形，

割去一條射線的平面常見的復(fù)連通區(qū)域：圓環(huán)，去心鄰域，

割去一條線段的平面外部內(nèi)部Jordan曲線定理

每條簡單閉曲線

C

把復(fù)平面唯一地分成三個(gè)

互不相交的點(diǎn)集I(C)，E(C)和C，其中C(1)I(C)為有界單連通區(qū)域，稱為C

的內(nèi)部；(2)E(C)為無界復(fù)連通區(qū)域，稱為C

的外部；(3)連接aI(C)、bE(C)

的曲線必與Ｃ相交a.b.有界點(diǎn)集：包含于

某個(gè)圓盤的點(diǎn)集D單連通區(qū)域D進(jìn)行如下操作可得復(fù)連通區(qū)域E：孔槽洞鉆孔(去掉某個(gè)點(diǎn))、開槽(去掉某條簡單曲線)、打洞(去掉某條簡單閉曲線及其內(nèi)部)有界復(fù)連通區(qū)域有內(nèi)邊界

和外邊界，去掉連接內(nèi)外

邊界的曲線可變?yōu)閱芜B通D打洞到

邊界？3.復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的定義設(shè)E為非空復(fù)數(shù)集。若E

中的每個(gè)復(fù)數(shù)z

都

對(duì)應(yīng)到唯一的復(fù)數(shù)w，則稱此映射w=f(z)為

E上的(單值)復(fù)變函數(shù)；若E中有些復(fù)數(shù)z

對(duì)應(yīng)若干個(gè)復(fù)數(shù)w，則稱此對(duì)應(yīng)w=f(z)為

E上的多值復(fù)變函數(shù)多值復(fù)變函數(shù)：約定：所提到的復(fù)變函數(shù)都是單值函數(shù)復(fù)變函數(shù)兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)復(fù)變函數(shù)兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)例：o

x

y

(z)

(w)

o

u

v幾何表示：值域和定義域?qū)?yīng)的幾何圖形R=2R=4o

x

y

(z)

o

u

v

(w)

兩張復(fù)平面當(dāng)時(shí)復(fù)變函數(shù)的極限w0

對(duì)復(fù)變函數(shù)w=f(z)

及點(diǎn)z0

，若有復(fù)數(shù)w0

滿足：則稱

f(z)在z0

處有極限w0

，記為定義中z→z0

方式任意(z)

xy(w)

uv

的ε鄰域：證明：設(shè)連續(xù)性：若，則稱

f(z)在z0

處連續(xù)極限存在(連續(xù)性)的判斷：復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性在定義、性質(zhì)