2012數(shù)值分析試卷答案

昆明理工大學2012級碩士研究生試卷科目：數(shù)值分析考試時間：出題教師：集體考生姓名：專業(yè)：學號：題號一二三四五六總分分數(shù)考試要求：考試時間150分鐘；填空題答案依順序依次寫在答題紙上，填在試卷卷面上的不予計分；可帶計算器。填空題（每空2分，共40分）1．設是真值的近似值，則有

位有效數(shù)字，的相對誤差限為。2．設，則，。3.過點和的二次拉格朗日插值函數(shù)為=，并計算。4．設在上的最佳二次逼近多項式為，最佳二次平方逼近多項式為。5．高斯求積公式的系數(shù)，，節(jié)點，。6．方程組，建立迭代公式，寫出雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的迭代矩陣，，。7．，其條件數(shù)。8．設，計算矩陣A的范數(shù)，=，=。9．求方程根的牛頓迭代格式是

。10．對矩陣作LU分解，其L=________________，U=__________________。二、計算題（每題10分，共50分）1.求一個次數(shù)不高于4次的多項式P(x),使它滿足:并寫出其余項表達式（要求有推導過程）。2.若用復合梯形公式計算積分，問區(qū)間[0,1]應分成多少等分才能使截斷誤差不超過?若改用復合辛普森公式，要達到同樣的精度區(qū)間[0,1]應該分成多少等份?由下表數(shù)據(jù)，用復合辛普森公式計算該積分的近似值。00.250.50.75111.281.642.112.713.線性方程組，其中，，（1）建立雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的分量形式。（2）問雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法都收斂嗎

?4.已知如下實驗數(shù)據(jù),用最小二乘法求形如的經驗公式，并計算最小二乘法的誤差。1234544.5688.55.用改進的歐拉公式(預估-校正方法)，解初值問題，取步長計算到（保留到小數(shù)點后四位）。三、證明題（共10分）1．如果A是對稱正定矩陣，則A可唯一地寫成，其中L是具有正對角元的下三角陣。，為任意初始值。(2)Jacobi迭代法的迭代矩陣，故Jacobi迭代法不收斂。Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣，故G-S迭代法收斂。4.已知實驗數(shù)據(jù)，如下表，用最小二乘法求形如的經驗公式，并計算均方誤差。1234544.5688.5解：令故由法方程得線性方程組解得于是所求擬合曲線為2-范數(shù)的誤差5.用改進的歐拉公式（預估-校正方法）解初值問題，為步長，（1）取步長計算到（保留到小數(shù)點后四位）。解：（1）由改進的歐拉公式因為，所以0，=0.00050.0015=0.0030三、證明題（共10分）1、證明：如果A是對稱正定矩陣，則A可唯一地寫成，其中L是具有正對角元的下三角陣。法一：因為A對稱正定，A的所有順序主子式不為零。A有唯一的Dooli